LIVRE PREMIER
et la fonction génératrice de ^'^yxy'xy'x • • • ^^^^
au
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On prouvera, comme dans le n** 2, que la fonction génératrice de ^"yxy'^yx . • . sera
c*est-à-<lire que l'on peut changer n en — n dans la fonction génératrice de à'^yxX'x • • • » pourvu que Ton change A"" dans 2".
Appliquons ces résultats à deux fonctions j^^ et j"^. La fonction génératrice de A^yar^x sera "'^'(77 *" 0 ' ^^ P^^* ^^ mettre sous cette forme
en la développant, elle devient
«"■[(7-)'-?G-r(?-)-"-fe^(T-)"(?-)'-]^
les fonctions
uu
sont respectivement génératrices des produits y]p A" jjp, Aj^^A""* ja?^-i» A'^^A^'^^ar^a» L'équation
donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
(8) A»rx/x=r'xA''/x+ « A/, Ao-'/x+i + "^"~'^ A»/xA»-»r^+.-H. . . .
En changeant n dans — n, on aura
(9) ^r^/j: ^y^^yjc- n A/,2"+«^x+i + "^"t'^ A'/^i'M-'rx^» - • • • •
En général, oq a
ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients, -^
pourvu que, dans chaque terme du développement du second membre de cette équation, on place immédiatement après chaque caractéristique
A, A', A' respectivement y^,, y'^, y',. et qu'on multiplie ce
terme par le produit des fonctions dont il ne contient point la caractéristique. Ainsi, dans le cas de trois variables, on écrira, au lieu de A**, la quantité ^^j^A*"^^; au lieu de A' A'", on écrira y^tTy^^y'^, au lieu dfl A'" A"", on écrira yxl:^'y'^^"y^, et ainsi du reste.
En faisant n négatif, l'équation (lo) subsiste encore, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales.
Dans te cas des différences infiniment petites, les caractéristiques A.
A', A", ... se changent end,d',d' L'équation (lo) devient ainsi,
en négligeant les différentielles d'un ordre supérieur relativement à celles d'un ordre inférieur.
Cette équation développée donne, relativement à deux fonctions y^
d''r'yjr=^y^d''jr;f-hndy^d«-*yx-
^rf»/,rf-»r^.
En faisant n négatif, les différences négatives se changeant en inté-
