LIVRE PREMIER. Vï
On a
==tfiiv...[(i4-i-iy(i+P~iy^i+i-îy...-ij^^^
Ed désignant donc par 'A^y^j^'Ljx • • • ^^ différence finie du produit /^jÂ'-m lorsque x varie de i, l'équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients
en observant les conditions prescrites ci-dessus relativement aux caractéristiques A, A\ A"", ... et à leurs puissances. Cette dernière équation subsiste encore en faisant n négatif, pourvu que Ton change les différences négatives en intégrales.
Supposons
/jtj^xi... deviendront des fonctions de a:', que nous désignerons par
Xxty'g,, ...; réquation (ii) donnera ainsi la suivante, en observant
qoe les caractéristiques A, A', ... se changent en rf, d\ . . ., et (jue Ton a
^iwtion qui subsiste encore en faisant n négatif et changeant les différences négatives en intégrales.
*^c considérons que deux variables y^ et y^^ et supposons y^ --- p^ \ on aura
(i -f. A')'=;i'H- iùip^\- ^^—^ AV«^-h ....
Oron a généralement, x variant de l'unité,
iS THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
on aura donc
L'équation (i i) deviendra ainsi
(.3} ■A"p'r'=p'lp'[' + Ar^)'-']";
en faisant n négatif, on aura
[/.'(n-Ar^)'-!]"
.bx"-
a, b, ... étant des constantes arbitraires dues à l'intégration n fois répétée Aep'y^. J'ajoute ici ces constantes au second membre de l'équation précédente, parce qu'elles ne sont implicitement renfermées dans son premier terme que lorsque/) = i .
Si Ton fait dans les deux équations précédentes x= 3p> ' = 5-7 t /)= I -\-da^\ogh, on aura
'i"h'yjf=
Si dans les équations (i3) et (i4) on suppose t infiniment petit et égal à dx, 'à"p^y3, se changera dans c^p^y^, et "S/'f^y^ se changera [|ans , -iiJ"p'yxd^'y 01 aura ensuite
p'(\ -f- \ys)'= t-t^x^l^i' + ij-^));
dx" cm aura donc
[/i'(i + Ar.*)'- ']"= ''^" HoBt/»!' + Ar^)] I'
imiia
MSWKMïasi,.
12 NommonsuMs((iift,( pant suivant les psjaioj^
r«.o +/'.«' +ri..p -,
Le coefficient de Ci" sm .
Si l'on désigne p:ir li ,-, seul varie de l'uni le ■t'\^^ seul varie de la nurut-q^^ par le n" 1, «h — 'j-Ht^ de conclure que la fonrt»^
En général, si l'on tlèi^
I ; ï" en développant alors s^ suivant
y, et en appliquant aux caractéris-
~ puissances, c'est-à-dire en écrivant,
..■I que *(Aj'^.,)"'('Ay^.^-)"", celui-ci
Vj.,x' au lieu du terme constant k.
ititégrales finies relatives à a:, et '1
s à x'i soit de plus z la fonction géné-
= 1^— ij (7 — 1) pour la fonction
iim doit, ep n'ayant égard qu'aux puis-
'( de t', se réduire au; on aura ainsi.
■; arbitraires de t', et a', b', c' q'
; partant
7f'^'-Ha'/''/'''-' + fr'f^f'^'-'+. ■ --t.?' ''
friables, et de l'inlégmtinn '''renées pariielles.
*ifint dr fT' dans le dé-
si l'on désigne pitrcillcinoi
.Olm*r€tdtL.— VII.
VJx.* entre de la même manière que j^^' dans vj^^ ; si l'on désigne encore par v'j'*,^' une fonction dans laquelle v^y^^x entre de la même manière que jar,a;' dans vj'ar,*» et ainsi de suite, la fonction génératrice
de Vj'xx sera
partant, la fonction génératrice de A"A*'V*j^^^. sera la fonction génératrice précédente, multipliée par (7 — 1) (p""M
s étant supposée une fonction quelconque de ~ et de j,9 si Ton développe s* suivant les puissances de ces variables, et que Ton désigne par —7^ un terme quelconque de ce développement, le coefficient de
i^t"^' dans j-i-i étant *7J,^.m,J^Vm', on aura celui de t't'^' dans 115', ou,
ce qui revient au même, on aura V'jx^' • i^ en substituant, dans j, y^
au lieu de -y yj.^ au lieu de p-, 2^ en développant ce que devient alors
us^ suivant les puissances de y^g et de j^, et en appliquant respectivement aux indices x et x' les exposants de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque tel que i{yx)"'{yx')r'* ^yx^m,x'-t-m9 et par conséquent ky^^^^- au lieu du terme tout constant i,
o^^yxyiyx'Y'
Si, au lieu de développer 5* suivant les puissances de - et de -7 > on le développe suivant les puissances de - — i et de -7 — i , et que l'on désigne par *(-— i) (p^— ') nn terme quelconque de ce développement, le coefficient de z*/'*' dans kui^—ij (p — 0 étant AA'*'A'"'yx,x, on aura V'Vx.a;' ' >*en substituant dans 5, Ay^r^^au lieu
