LIVRE PREMIER

Je î — I et 'Ay^,a?' au lieu de y, — i ; a® en développant alors s* suivant

les puissances de ^y^^x et '^yx,x^ ®t en appliquant aux caractérisliques A et 'A les exposants de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque tel (\Vi^ k[^ysp,x'T{^^yx,x'T\ celui-ci k\^'\^'y^^-^ et par conséquent ky^^x' ^^ lieu du terme constant k.

Soit 1 la caractéristique des intégrales finies relatives à œ, el "1 celle des intégrales finies relatives à x'; soit de plus z la fonction génératrice de 2"2''j'x.x'; on aura 5(^ — 1) (77 — M pou^* 'a fonction

génératrice de yx,x* Cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives ou nulles de t et de /', se réduire à ;/; on aura ainsi, parle n®2,

(\ \'/i \^' abc a

fl. b, Cf ..,, q étant des fonctions arbitraires de t\ et a\ //, c\ . . ., (/' étant des fonctions arbitraires de /; partant

De l'interpolation des suites à deux variables, et de Vintégmtiou des équations linéaires aux différences partielles,

*'• J^*+i;«'+/' est évidemment égal au coefficient de ft^' dans le dc'»^ veloppement de ^-,-.7 ; or on a

Qfi aura donc, par le numéro précédent.

en développant le second membre de cette équation, on aura

Supposons maintenant ((u'au lieu d'interpoler suivant les différentt-^

de la fonction jj,^-, on veuille interpoler suivant d'autres lois. Poirr^

cela, soit

■ C , n' '^ it' ~^ ('(

on aura pour s une expression de cette forme

dente, comme dans le n^ 5, les valeurs successives de

/«-t-l in-h'À

-Lf ...t en fonction de a, 6, c, ..., et s^ et il est visible que, dans chaque terme de l'expression de -.^ la puissance la plus élevée de -

sera moindre que /i, et la somme des puissances de - et de -; ne sur-

passera pas i.

Considérons maintenant la formule (A) du n^ 5, et supposons qu'en

développant suivant les puissances de -p la quantité

"^~ ^ ^i-n+z -H ^ 2 ZJ 2;n.3 -4- . . .

on ait

les puissances ultérieures de -p disparaissent d'elles-mêmes dans ce développement, puisque l'expression de r^ ne doit point les contenir. Supposons pareillement qu'en développant la quantité

on ait

^"PPosons encore qu'en développant la quantité

nn ail

M,+ N, j -(-...+ i (M'," + N',"- + ...} + ...+ p-j M','-" et ainsi de Biiilp. La Tormule (A) du 0*^5 donnera

.,- 'rMI'lH-NMî+.-.l

+ i(Ml" + Ni,"=+...)

+ j,MÏ' + Ni"3+...

-j-ïti "'■'""