LIVRE PREMIER

Théorèmes sur le développement en séries des fonctions de plusieurs variables.

18. Si l'on applique aux fonctions de plusieurs variables la méthode du n" 11, on aura sur le développement de ces fonctions en séries des théorèmes analogues à ceux du n" 10. Considérons la fonction génératrice u ( jp-^ il , et donnons-lui cette forme

u étant supposé une fonction de /, /', t", . .., dans le développement de laquelle )',,^',a',... est le coefficient de t't'"t"".... Ce coefficient

dans le développement de "■ijfii- A sera A"^*,*',»-,..., x, x',

x", ... étant supposés varier de l'unité dans7a>.i',ii',...- Ce même coefficient, dans le développement de la fonction génératrice

'A'-'A'' ''A''...rx.^.^. ....

les caractéristiques 'A, "A, 'A, ... se rapportant respectivement aux variables x, x' , xf, ... ; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

Aox^.r.j-,...

=t('+'Ar-,-.-'....)('+'ArA--.^....)(' + -Ar...r,.,-,.. .)...-.]«,

pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique aux caractéristiques 'A, "A, ... les exposants des puissances de 'A/,,,',j-,..., "A/,,^-,!-...., —

En changeant n dans ~ n, la même équation subsiste encore, pourvu que Ton change, comme dans les n"* 10 et 1 1 , les caractéristiques A, 'A, "A, .... lorsqu'elles ont un exposant négatif, en intégrales finies

correspondantes, les signes 2, '1, ""2, ... étant les caractéristiques des intégrales, correspondantes aux caractéristiques A, 'A, ""A, . . . des différences.

Il est clair que i^(,^., .!//// M est la fonction génératrice de la

différence finie /i^*"* de j^, <p',«',... » ^ variant de i, x' variant de i*, af variant de i\ .... Or on a

on désignant donc par A la caractéristique des différences, lorsque x varie de «, af de i', a?'' de i", ..., et par 2 la caractéristique intégrale correspondante, on aura

pourvu que, dans le développement du second membre de ces équations, on applique aux caractéristiques 'A, '"A, ... les exposants des puissances de 'Aj^^',,;- ..., "Ajj,,j,' .p* ..., ..., et que l'on change les différences négatives en intégrales. On peut ainsi se dispenser d'indiquer les arbitraires que l'intégrale finie 2" doit introduire, parce qu'elles sont censées renfermées dans les intégrales que donne le développement de son expression.

Les deux équations précédentes ont encore lieu en supposant que clans les différences '^yx^x\x\,.. » "^Jx.x.x'....» . . . , ^, ^'» ^'\ . . ., au lieu de varier de l'unité, varient d'une quantité quelconque tj, pourvu que, dans la différence Aya-.ar.j?*,... » ^ varie de m, x' de l'ci, xf' de i'xs^ .... Maintenant, si l'on suppose a infiniment petit, les différences 'Ayar.*>v..'

"^yx.x\x\...'^ ... se changeront, la première dans dx -^-^•'•' ••, la se-

conde dans dx' ^ ,''y •••• De plus, si l'on fait i, i\ i\ ... infiniment grands, et tels que l'on ait