LIVRE PREMIER

on aura

c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. On aura pareillement

et ainsi de suite; partant

a? variant de a, a?' de a', ... , dans les deux premiers membres de ces équations.

Si, au Heu de supposer u infiniment petit, on le suppose égal à l'unité, et «infiniment petit et égal à ûtr; si l'on suppose encore i\ i", . . . infiniment petits et respectivement égaux à dx\ dx'\ . . . , on aura

on aura pareillement

(n-"Arx.x'. ...K= I -H dx' iog(i -4-"Arx,x',...).

D'ailleurs A^ja?,*,... se change alors dans rf^j^. a?' ; on aura donc

d''r^,x'....= [rfxlOg(l 4-'A7-x,.r',...) -+- rf^' l0g(l -h''A/a:,x',...) + . . .]«,

équation qui, en faisant n négatif, subsiste encore, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales. Ces divers résultats sont analogues à ceux que nous avons trouvés dans le n^ 10, relativement aux fonctions d'une seule variable, et l'on y retrouve l'analogie que nous avons observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Considérations sur le passage du fini à V infiniment petit.

19. Le passage du fini à rinfiniment petit consiste à négliger les différences infiniment petites par rapport aux quantités finies, et généralement les infiniment petits d*un ordre supérieur relativement à ceux d'un ordre inférieur. Cette omission semble ôter à ce passage la rigueur géométrique; mais, pour se convaincre de son entière exactitude, il suffit de le considérer comme le résultat de la comparaison des puissances homogènes d'une variable indéterminée, dans le développement des termes d'une équation qui subsiste, quelle que soit cette indéterminée ; car il est clair que les termes affectés de la même puissance doivent se détruire mutuellement.

Pour rendre cela sensible par un exemple, considérons l'équation suivante que donne l'équation [q] du n^ 10, en y faisant n = i,

'A est la caractéristique des différences finies, x' variant de a, et d est la caractéristique des différences, x' variant de dx'. L'équation précédente développée donne, en appliquant, conformément à l'analyse du numéro cité, les exposants des puissances de dy^,' à la caractéristique rf,

/A ûc f fit* — ût dx* . *

rfy^^est égal ^yx-^x'^yœ^ Supposons qu'en développant la fonction de a?' -h dx\ représentée paryarv^*» on ait

on aura

dxg,, =L dx'y'^, -4- dx'^Zjt-h. . . ,

d^Xx'^'dx^ d^x'-^ dx*^dzx'-\'

Développons pareillement yx'^dœ'f V+rf«'» • • • suivant les puissances