LIVRE PREMIER

de dxf, et supposons que Ton ait

on aura

d/x' = dx'xl, + dx'^Sjc» -{- . . . ,

dzxf^dx'z'^,-^. . ., partant

L'expression précédente de 'Ay^?' deviendra ainsi

^^^ ^ -4-rfx' -4-aa(5^+ z;, + ...)'

6^ étant indéterminé; les termes indépendants de da/ doivent être égalés séparément entre eux; on a donc

àr^= »rx' 4- rz/x» + • • • •

Maintenant jV ^^t 1^ coefficient de da/ dans le développement de

yx-hdx'9 c'est ce que Ton désigne dans le Calcul différentiel par -^5-

Pareillement yV est le coefficient de cta/ dans le développement dv

ytB-hdx'f c'est ce que l'on désigne par ^-> ou par ^^> et ainsi de

suite; en substituant donc, dans l'équation précédente, /xVa—J'x' »" lieu de '^y^'f on aura le théorème suivant :

Considéré comme résultat de la comparaison des termes indépendants

de dx' , ce théorôme ne laisse aucun doute sur son exactitudf rigoureuse, et il est visible par l'analyse précédente que cette comparaison revient à négliger les termes multipliés par dx' et ses puissances, relativement aux quantités finies; celte omission n'ote donc rien à la rigueur du Calcul dilTéreiitiel. Mais on voit de plus, a priori, que les termes affectés de la même puissance de l'indéterminée dx' doivent se détruire mutuellement, ce que l'on peut vérifier a posteriori. Ainsi ce que l'on néglige comme infiniment petit est rigoureusement nul, en sorte que l'omission des infiniment petits, relativement aux quantités finies, n'est au fond (ju'un moyen facile d'éliminer les termes superflus qui doivent disparaître dans le résultat final.

Ce rapprocliement du Calcul aux différences finies et du Calcul différentiel met en évidence la rigueur des résultats de ce dernier calcul, et donne sa vraie métaphysique; mais ses applications à rétendue, à la durée et au mouvement supposent de plus le principe des limites. On peut, par un rapprochement semblable, éclaircîr divers points de l'Analyse infinitésimale, qui ont été des sujets de contestation parmi les géomètres : telle est la discontinuité des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles. Ceux qui ont rejeté cette discontinuité se fondaient sur ce que l'analyse ordinaire des différences infiniment petites suppose que les différentielles successives d'une fonction doivent être infiniment petites relativement aux précédentes, ce qui n'a point lieu lorsque la fonction est discontinue. Pour éclaircîr cette question délicate, il faut la considérer dans les différences finies, et observer ce qui arrive dans le passage de ces différences aux différences infiniment petites.

Pi-iMions pour oxi'ninle l'éiiuation suivante aux différences lin