LIVRE PREMIER

la formule (B) du numéro précédent deviendra

rfaU3 3 rf2l-»-2U2'+2

^ , ^ . 1.2,. dx^ ii 1.^.3. . .(21 -H alrfx^'-*-* aA-(*> Y ( .

3(:ii-f-3) (f4/^-aU4'-Hs

rfai-a U2I-I a / — I rf*'» U*'"»

\ 1.2.3(21— 2)rfx2'-

(21— 2)rfx2'-a 21 I.2.3...(4l— 2)ûfj:*'-»

"* ' * ^ • (2l-l)(4f-l) rf6l->U6/-l

"^ 4ia 1 .2.3. . .(6i - 2) dx»'-3 "^" "

Cette formule est la somme d'un nombre i de suites différentes, dé-

croissantes comme les puissances de a, puisque U est de Tordre a'*, et multipliées respectivement par les transcendantes k, k^^\ . . . , qu'il est, par conséquent, important de connaître; mais il suffit pour cela d'en

connaître un nombre égal au plus grand nombre entier compris dans -•

Considérons pour cela la double intégrale

les intégrales étant prises depuis stix nuls jusqu'à leurs valeurs infinies. En l'intégrant d'abord par rapport à s^ elle se réduit à

dx

IH- x*'

mais cette dernière intégrale est » n étant un nombre quelconque

/ism n

entier ou fractionnaire; on a donc

TT

ffdMdxc-'^'"^"^ —

nsmn

Intégrons maintenant cette double intégrale, d'abord par rapporta x.

En faisant fa:* =/", elle devient

et si l'on fait s — f, on aura

les intégrales étant prises depuis t nul jusqu'à t inflai. Si l'on chang^^ n en ~— -, cette équation devient

n*/dnr""'fr-'' dter^

et si dans cette nouvelle équation on change t en f-\ on aura (T) n'fl'-'dtc— fP—^dlc-'-:== ^-

On aura, au moyen de cette formule, eu y faisant n— 21, toutes les valeurs de i, <('" i^'-*\ lorsque l'on en connaîtra la moitié, si i esl

pair, ou la moitié moins un demi, si i' est impair.

En faisant n — 2 et r= 2, cette formule donne ce résultat remarquable

fdic~''^^^n.

25. On peut, en vertu de la généralité de l'analyse, étendre les résultats précédents au cas 011/ est imaginaire. Considérons l'intégrale