LIVRE PREMIER

Si Ton fait

rxl— 1

tz=ax '' - »

elle devient

fdtc-";

ici l'intégrale relative à / doit être prise depuis / = — ^ — ^jusqu'à t

infini, parce que ces deux limites répondent à x nul et à a? infini. En faisant r négatif dans cette formule, on aura l'expression de Tin-

tégrale /rfo^c""*'*"'''^'; mais, dans ce cas, les limites de Tintégrale re-

lative à t sont t = — et t infini; la réunion de ces deux intégrales

est donc égale à

^--fdtc-",

l'intégrale étant prise depuis / = — oo jusqu'à / = ao ; car la première intégrale ajoute à la seconde ce qui lui manque pour former la moitié de l'intégrale prise entre les deux limites infinies; or cette dernière in-

tégrale est — ; on a donc

fdxcosrx.c-''*''=^c *«'.

L'analyse qui vient de nous conduire à ce résultat est fondée sur le passage du réel à l'imaginaire; car on y traite les intégrales relatives a / et prises entre deux limites, dont une est imaginaire et l'autre est infinie, comme si ces limites étaient toutes réelles. Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante.

Nommons j' l'intégrale /circosra^.c"^''', prise depuis a: nul jusqu'à j7 infini; on aura

-4- =-— fxdxsinrx.c'^*** = — rSinrx.c^"''* fdxcosrx.c '**'*;

dr '' ia^ 7.a^^ '

OEuvret de L. — Vil. 13

on aura donc, en prenant l'intégrale depuis x nul jusqu'à .r iuliut ,

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