I.'inlégrale de celte équation est
B étant une constante arbitraire que l'on déterminera en observant q^ rétant nul, ou a
r=Iî=/(/-r(— •".
Celte derniiire intégrale est, par le numéro précédeot, — ; do*
-; par conséquent
fdxcosrx.c
ce qui est conforme au résultat trouvé ci-dessus par le passage du rép/ ■A l'imaginaire.
En dilîérentiant 2/1 fois par rapport à r, on aura
fx^" dxcosrxc~'
a a dr*"
le signe -\- ayant lieu si 11 est pair, et le signe — si n est impair. Celle dernière équation, dilTérentiée par rapport à r, donne
/>'""■' i/jcsiar;
En intégrant une fois par rapport à r l'expression de j'dxcosrx.c "'**. on aura
X aa-'
26. On peut de là conclure les valeurs de quelques intégrales définies singulières auxquelles j'ai été conduit, comme on le verra dans la suite, par le passage du réel à l'imaginaire.
Considérons la double intégrale
//2 dxy dy 6~J^"<>^'' cos rXy
les intégrales étant prises depuis x ety nuls jusqu'à x et j infinis. En l'intégrant d'abord par rapport à y, elle devient
dxcosrx
Intégrons-la maintenant par rapport à ^. On a, par le numéro précédent,
rdxcosrxc'y'''=^c *^,
ce qui donne
//•a7rf/c/xcosrx.c-y*(>+'*>=v^/c//c ^ *r
11 s'agit maintenant d'avoir cette dernière intégrale, prise depuis j^ nul jusqu'à j' infini.
Pour cela, donnons-lui cette forme
r étant supposé positif, la quantité (— ~] a un minimum qui
répond à j = i/-> ce qui donne ar pour ce minimum ; soit donc
y devant s'étendre depuis y=o jusqu'à y=x>^ s doit s'étendre depuis 5 = — 00 jusqu'à z=: co . Cette valeur de j^ donne
dy = ^dz'hi
V^j2| ar
Rn prenant les intégrales depuis 5 = — oo jusqu'à 5 = « , on a
fdzc
/z da e-*' yl~z*-¥ir
Jdrc ^'V ):=/rf^c-..-,r^c-»-/.rf^c-='=:
partant
fàr<'
On aura généralement, par la même analyse, l'intégrale
prise depuis/ nul jusqu'à j* infini, et par conséquent aussi, dar mêmes limites, l'intégrale
Jx~~*dxc ■'■, n f>l h étant pusitifs et n étant impair. Cela posé, on aura fS^Tdydx cas rx-c-r'^*-*-'''>=: — -\
on a donc
/dxcosrx jt " ^+xi' ^^r'
En difTércntiai)! par rapport à r, on a
/xdxsnirx ^ jt
