LIVRE PREMIER

cette intégrale devient, en supposant — ~ == a',

(a!-\- hx')dx* [cos(r*' sjm — n^) cosrn -+- sm(rjr' ^m — n^ ) sîn rn]

Cette intégrale doit être prise comme celle relative à x, depuis ^'= — oo

jusqu à a:'= 00 ; or 1 intégrale 1 \j ,\ -> prise dans ces

limites, est nulle, parce que ses éléments négatifs détruisent ses éléments positifs correspondants; il en est de même de l'intégrale

I -^-?î?^'^^^^— ""--^•, la fonction intégrale précédente se réduit donc à

[a'cosr/icos(rx' ^m — n^) -h b sinrn sîn(rx' ^m — n^)x'^dx'

On a, par ce qui précède,

TT^^ -^=nc-«^-

En différentiant cette expression par rapport à r, on a

on a donc

X dx sin ( rx' Jm — n* ) , /— -=

/{a-\- bx)dxcosrx , , , . , ^j i

^ ^ -— = rt'cosr»-+-fcsinr/i TTC-'^*^"-'»'.

On trouvera, par la même analyse,

/[a-\-bx]dxsmrx ,. , * s ^/ i

m -h 2nx -h x^ ^ '

Si l'on différentie la première de ces deux équations i — i fois par rapport à m et ensuite 25 fois par rapport à r, on aura l'expression de l'intégrale

.. rx^'dx{a-hbx) cosrx

^ J (m-hinx -h x^Y *

Maintenant, M et N étant des fonctions rationnelles et entières de x,

le degré de la première étant supposé plus petit que celui de la seconde, et N étant supposé n'avoir aucun facteur réel du premier degré,

^dxcosrx en

différents termes de la forme («); on aura donc généralement l'expression de cette intégrale définie.

On aura de la même manière la valeur de l'intégrale

-^.dx smrx.

27. Reprenons maintenant la formule (B) du n^ 23. Le cas de (j. -h I = 2 étant le plus ordinaire, nous allons exposer ici les formules qui y sont relatives. La formule (B) devient, dans ce cas,

ici l'on a

/ = y/iog Y — log/, w = "~

ViogY — log^-

Y étant le maximum de j, et a étant la valeur de x qui correspond à

ce maximum; U, ^» ••• sont ce que deviennent u, — î lorsqu'on y

change x en a. (]ette formule donne, en l'intégrant depuis ^ = T jusqu'à t r= r,

^ ' J 2 \ax 1.2. dx^ 1.2.3. dx^ J

2 ' L c/a: 1.2 £/x^ 1.2.3. dx* * J '

l'intégrale Jdtc'^^ étant prise depuis ^ = T jusqu'à / = T', et l'intégrale /j^ctr étant prise depuis la valeur de x qui convient à / = T jusqu'à celle qui convient à / = T'.

Si l'on suppose T = — qo et T' = oo , on aura généralement

On a d'ailleurs par le n*" 24 Jdtc-^' = y^; la formule précédente devient ainsi

rintégrale fydx éi^ni prise entre les valeurs de x qui rendent y nul, et Y étant le maximum dej', compris entre ces valeurs. Les différents termes de cette formule se détermineront facilement par le n® 23, et t*on aura

•r- devant être changé en a, après les différentiations. On a

la supposition de a? = a fait disparaître dy\ on aura donc

d^ logr rf^Y

^» (PY rf^T

V et^~j étant ce que deviennent y et -^^ lorsqu'on y chanjço x en a.

Ainsi, en ne considérant dans la formule {d) que le premier terme de 1^1 série, on aura à très peu près

frdx =

V dx'^

^tte expression de Jydx sera d'autant plus approchée que les facteurs de y seront élevés à de plus hautes puissances.

U formule {c) renferme l'intégrale indéfinie Jdtc^* prise depuis '=T jusqu'à / = T', ce qui revient à la prendre depuis /=-o jusqu'aux limites T et T', et à retrancher la première intégrale de la se- ^nde. Il n'est pas possible d'obtenir en termes finis l'intégrale prise ^^puis /nul; mais on l'obtiendra d'une manière fort approchée, si Test

peu considérable, par la série suivante :

Cette série a Tavantage d'être alternativement plus petite ou plus grande que rintégrale, suivant que Ton s'arrête à un terme positif ou négatif. Ce genre de séries, que Ton peut nommer 5e>Te5-/ï>m/e5, a ainsi l'avantage de faire connaître les limites des erreurs des approximations. On a encore

Ces deux séries finissent toujours par être convergentes, quelle que soit la valeur de T; mais leur convergence ne commence qu'à des termes éloignés du premier, si aP a une valeur considérable; il convient donc de ne les employer que pour des valeurs égales ou moindres que quatre. Pour de plus grandes valeurs, on pourra faire usage de la série suivante, qui donne la valeur de l'intégrale Jdt€r** depuis / = T jusqu'à t infini,

Cette série est encore une série-limite. En la retranchant de ^V^, valeur de l'intégrale /rf/c~'* prise depuis / nul jusqu'à / infini, on aura la valeur de l'intégrale prise depuis t nul jusqu'à / = T. Mais la série a l'inconvénient de finir par être divergente : on obvie à cet inconvénient, en la transformant en fraction continue, comme je l'ai fait dans le

Livre X de la Mécanique céleste, où j'ai trouvé qu'en faisant q = -ç^» on a, rintégrale étant prise depuis / = T jusqu'à l'infini.

2fl

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