LIVRE PREMIER

Pour faire usage de cette expression, il faut réduire la fraction con* fin lie

iq

eci fractions alternativement plus grandes et plus petites que la fraction

tière. Les deux premières fractions sont -i ; les numérateurs des

ctions suivantes sont tels que le numérateur de la fraction i'*^™* est il au numérateur de la fraction [i— i)'^"® plus au numérateur de la fraction(i — 2)*^"% multiplié par [i— i)q\ les dénominateurs se forment de la même manière. Ces fractions successives sont

1 1 -t- 7 i-h37 \-\-oq -\-iq^ 14-1074-157^

Lorsque q ou -^ sera égal ou moindre que -p ces fractions donneront d'une manière prompte pt approchée la valeur de la fraction entière.

28. On peut facilement étendre l'analyse précédente aux doubles, triples, etc. intégrales. Pour cela, considérons la double intégrale Hydxdaf^ y étant une fonction de x et de x\ qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Supposons que l'intégrale relative i«' doive être prise depuis une fonction X de a? jusqu'à une autre fonction X' 4- X de la même variable. En faisant ;r'= X 4- 1\\ l'intégrale îfydxdx" se changera dans celle-ci, ffyX'drdt, l'intégrale relative a /devant être prise depuis ^ = o jusqu'à / = i : on peut donc réduire **nsi Tintégrale ffydxdx'k des limites constantes et indépendantes ^'wvariables qu'elle renferme. Nous supposerons qu'elle a cette forme, *t que l'intégrale relative à x est prise depuis x = ^ jusqu'à x = u, et fltie l'intégrale relative à a/ est prise depuis x' = 6' jusqu'à x' = ct'. Cela P^é, en nommant Y ce que devient y lorsqu'on y change x et x' en 0 ®t 9', on fera

en supposant ensuite

on réduira log- dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de u et de u\ et Ton aura une équation de cette forme

Ma -h M' 11= /H-/',

dans laquelle M est la partie du développement en série de log -9 qui

renferme tous les termes multipliés par i/, et M' est Tautre partie qui renferme les termes multipliés par u! et qui sont indépendants de i/. On partagera Téquation précédente dans les deux suivantes

d'où l'on tirera celle-ci, par le retour des suites,

N étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de / et de t\ et N' étant uniquement ordonnée par rapport aux puissances de /', et étant indépendante de t\ ces deux suites sont très convergentes, si y renferme des facteurs très élevés. Maintenant on a dxdx' = dudu' \ de plus on a

mais, dans le produit dudu', la difTérentielle du est prise en faisant u' constant, ce qui rend t' constant ou dt' = o; on a donc

par conséquent

dudu = -^-^^dtdt',

ce qui donne

SSr àx dx' = Y j j -^ -jjr- dt dt' c'-^ .