LIVRE PREMIER

Il est facile d'intégrer les divers termes du second membre de cette équation, puisqu'il ne s'agit que d'intégrer des termes de la forme ft^ du-'.

Si Ton prend l'intégrale relative à t\ depuis /' nul jusqu'à t' infini, et que Ton nomme Q le résultat de l'intégration, on aura

rintégrale relative à x' étant prise depuis j?' == 6' j usqu'à la valeur de x' qui répond à i' infini. Si l'on change ensuite, dans Y et Q, 6' en tj\ et que Ton nomme Y' et Q' ce que deviennent alors ces quantités, on aun

fjrdx'=YQ\

l'iotégrale étant prise depuis or' = u' jusqu'à la valeur de x' qui répond à /'infini.

En nommant R et R' les intégrales /Q dt et fQ'dt prises depuis / nul jusqu'à/ infini, on aura

ffX dxdx'z=zYR- r R',

l'intégrale relative à x' étant prise depuis x'= 6' jusqu'à x'= w\ et l'intégrale relative à x étant prise depuis ^ = 6 jusqu'à la valeur de r qui répond à t infini. Si dans Y, R, Y', R', on change 6 en ct, et que l'on nomme Y,, R,, Y',,R', ce que deviennent alors ces quantités, on aura

//rrfxrfx'=Y,R,-Y;R;,

l*iutégrale relative à x' étant prise entre les limites 6' et u', et l'intégrale relative à X étant prise depuis x = t3 jusqu'à la valeur de x qui ^pond à / infini ; on aura donc

//rd^di' = YR-Y'R'-Y,R, + Y;R',,

I intégrale relative à x étant prise entre les limites 9 et o, et l'intégrale relative à a/ étant prise entre les limites 6' et or'.

Cette formule répond à la formule (A) du n® 22, qui n'est relative 4^ à une seule variable; elle a, comme elle, l'inconvénient de ne pou-

voir s'étendre aux intervalles voisins du maximum de y. II faut, pour ces intervalles, employer une méthode analogue à celle du n"" 23. Ainsi, en supposant que, dans l'intervalle compris entre 0 et u, j^ devienne un maximum relativement à x^ en sorte que la condition de ce maximum ne fasse disparaître que la différentielle de j^, prise par rapport à j?, on fera

Y étant la valeur de y qui convient à ce maximum et à jf'= 0'; et si, dans rintervalle compris entre les limites des intégrations relatives à x et à x\ y devient un maximum, on fera

Comme nous aurons besoin principalement, dans la suite, de l'intégrale ffydxdx'j^vise entre les limites de x et de a:' qui rendent y nul, nous allons discuter ce cas.

Considérons l'intégrale ffydxdx^^ y étant une fonction de a:, x\ qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Si l'on nomme a, a' les valeurs de x^ x' qui répondent au maximum de y, et que Ton nomme Y ce maximum, on fera

en supposant ensuite

on substituera ces valeurs dans la fonction log -> et, en la développant

dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de 6, 6', on aura une équation de cette forme

Cette équation peut être mise sous la forme

^(®"*"S^y-^(^"'F)^'*=^'-^'"' on fera donc