CHAPITRE IL

DE l'intégration PAR APPROXIMATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENCES FINIES ET INFINIMENT PETITES.

29. On a vu, dans len^ 21, que les intégrales des équations linéaires aux différences entre une variable s, dont la différence est supposée constante, et une fonction y, de cette variable, peuvent être mises sous la forme/, =foo'(f dx^ <p étant une fonction de x de la même nature que la fonction génératrice de l'équation proposée aux différences, et l'intégrale étant prise dans des limites déterminées de x. En supposant 5 un très grand nombre, on aura, par l'analyse précédente, une valeur très approchée de cette intégrale et par conséquent de 7,. Mais cette méthode d'approximation étant très importante dans la Théorie des Probabilités, nous allons la développer avec étendue.

Considérons l'équation aux différences finies

(i) S = A7,-4- B A/,-+- C AV,-+- . . .,

Â, B, C, . . . étant des fonctions rationnelles et entières de^, auxquelles nous donnerons cette forme

A = fl-t- a^^U -^ a^^U[s — \] H»-af'>5{*— i){5 — a) -+-. . ., B = 6 + 6<<)5 -f- ¥^^ s[s - i) -f- b^^U[s - i) (5 - 2) H- ... ,

Ay, est la différence finie de y,^ s étant supposé varier de l'unité ; A*^',,

lis THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

A*)'„ , . . sont les seconde, troisième, , . . différences dey,, et S esl un fonction de *. Cela posé, représentons >', par /jj'(p(&, ç étant une Ton tion de ^ qu'il faut déterminer, ainsi que les limites de l'intégrale, désignant af par hy, on aura

iy,^fày[x — i)'fdjir. Ùi.*y,=fiy[x -ij'tpJx, ...;

on aura ensuite

dx

i);r*=xa:

dx^

l'équation (i) aux différences devient ainsi

ir{a +b {X-

î^*'ï[am + ii">(x-

Au lieu de faire y, égal à fx'ifdx, on peut le supposer égal fc-"ifiici alors on a

Ay, = fc-"{c--' — i]<fdx, ^^y,=ftr"[c^-' — i)*ffdx, .... De plus, si l'on désigne c~'^ par Sy, on aura

dx («r* '