LIVRE PREMIER
32. L'analyse exposée dans les numéros précédents s'étend encore aui équations à différences partielles, finies et infiniment petites. Pour cela, considérons d'abord Téquation linéaire aux différentielles partielles dont les coefficients sont constants. En désignant par y,,, la variable principale, 5 et^' étant les deux variables dont elle est fonction, et représentant cette équation par celle-ci, V= o, V étant une fonction linéaire de y^^- et de ses différences partielles, on y supposera
9 étant une fonction de x\ alors l'équation V =0 prend cette forme
M étant une fonction de x et de x\ sans s ni s'. En égalant donc M à >, on aura la valeur de x' en j?, et cette valeur, substituée dans l'in- ;rale Jafx^cfdxy donnera l'expression générale/,,', dans laquelle ç est une fonction arbitraire de j?, les limites de l'intégrale étant indépeadantes de x^ mais d'ailleurs arbitraires. Si l'équation proposée V =0 est de l'ordre n, il faudra, au moyen de l'équation M= o, déteriner un nombre n de valeurs de .r' en x. La somme des n valeurs de ^x'' (fdx qui en résulteront, et dans lesquelles on pourra mettre pour ç des fonctions arbitraires différentes de x, sera l'expression
Il résulte de ce que nous avons dit dans la première Partie de ce Livre que l'équation M == o est l'équation génératrice de l'équation proposée V = o.
Considérons présentement l'équation aux différences partielles
^ns laquelle V, T et R sont des fonctions quelconques linéaires de ^M'etcle ses différences partielles, soit finies, soit infiniment petites. Si l'on y suppose, comme ci-dessus.
v' étant une fonctioa de x qu'il s'agit de déterminer, on aura une équation de cette forme
o =/x'x''' 9 rf:r (M 4-N5-4- P*'),
M, N et P étant des fonctions de x et de x\ sans j ni ^'; or on a
dx \jr x'dxj^
donc, si l'on détermine x' par cette équation
dx* Vdx
on aura
X' a:'*' (N* 4- Pi' ) = ^x"^^,^ ;
dx
par conséquent, si l'on désigne x'x''^ par Sy, et si l'on suppose que l'on a substitué dans M et N pour x' sa valeur en x^ on aura
o = f(fdx (m dx -^ ^^ -^j
Cette équation, intégrée par parties, comme dans les numéros précédents, donne les deux suivantes :
La première détermine ç en Xy et la seconde donne les limites de l'intégrale fiytfdx.
Cette valeur de y,y ne renfermant point de fonction arbitraire, elle n'est qu'une intégrale particulière de l'équation proposée aux différences partielles. Pour la rendre complète, on observera que l'intégrale de l'équation
dx^ ?dx
x' "" "Nj: '
qui détermine x' en a?, est a?' = Q, Q étant une fonction de x et d'une constante arbitraire que nous désignerons paru; en représentant donc
