LIVRE PREMIER

donc

On déterminera la constante arbitraire A au moyen d'une valeur particulière de j^^9 en supposant, par exemple, que, 5 étant égal à |x, on ait j^, = Y ; on aura

ce qui donne par conséquent,

Voyons maintenant de quelle nature est la fonction y g. Pour cela, il faut intégrer l'équation aux différences finies

On trouve facilement que son intégrale est

j, = Y(/x + i)(fi + a)(/x-4-3)...5;

on aura donc, en comparant cette expression à la formule (9),

(ç') (f. + .){f.+ a)(H + 3)...,= 7Si^.ï^x

Si l'on fait (i = o, on aura fx^dxc^ = i ; partant Si l'on fait jjl = — , /n étant moindre que /i, on aura

s' étant un nombre entier; ainsi

.ml

or on a

?H H-|IogH -=«'H h-) — i-7i +...)

m m' -f- mn

On a d'ailleurs, en faisant x = f^

x" dxc"^ z= — J x" dxc-^ = m ff^^^ dtc^y n ^ *' ,

l'intégrale relative à t étant prise depuis ^ = 0 jusqu'à i infini. En substituant ces valeurs dans la formule (7'), elle donnera

in(m-4-ff)(/iH-2ii)...(in-hyn)

. /-^^-^î ^ / — / n>-f-6mn4-6m« \

Ji^-^dic

en sorte que la valeur approchée du produit des termes de la progression arithmétique m, m 4- n, w 4- 2/1, . . . dépend des trois transcendantes c, TT et /r*-" rf/c~'*.

Si dans cette équation on fait, pour plus de simplicité, n = 1, ce

qui change m en |x, et si l'on observe que Jt^^dtc'-^^= - Jt^-dtc^ on

aura

(i 4-/x)(2 4-fx)...(5'-HfJi) =5' 'c-*^ v^27r

En changeant |x dans — - (a, on aura

(1 — /x) (2 — fJl). . .(5'— fx) =*' 'C-'' V'^^TT

ft-v-dic-'