gJ^/|^(;f^7-i)(^(^^7^)(^^f;-3\^ cos
' 1.2 (4fX-h3)(4fJL-M)(4fX-l)(4fJL— 3)
Si Ton substitue présentement, au lieu de sin^O', i — cos^ô', dans la valeur précédente de C, et que, après avoir intégré, on restitue i — sin^O au lieu de cos'O, on trouvera pour CA une expression de cette forme
CA := [6 sin((p — w) — a cos(9 — GT)] cosô(> -+- X<»sin*0 -h X<«)sin*Ô -4-. . .-4- ><'*^sin«'-ô)
-1- [6' sin(2cp — 2w) — a'cos(29 - 2cj)] sinô(/ -+- /t<»^sin*0 -f- /(<«>sin*0 -+- . . .-+- /<''>sin«'-^),
X, X^'\ ..., i, i^*^ ..tétant des coefficients constants que l'on déterminera facilement par ce qui précède, et Ton aura
>.(.,= 4Ae^ et /<^.= ^^^!^.
ayant ainsi C A, on aiira sur-le-champ B A, par la remarque de l'article V,
car l'équation
diB a.Csing
que nous avons trouvée dans cet article, donne
BA = A/ — -r^ — ^GJ-f-HA,
H étant une fonction de 0 sans o; or B étant, comme on Ta vu, égal à — / / ûnp^^^^^y dpdq^ il est clair que l'on aura
H = ~/ / £sin/> -r— ^(Scos'ô'— i)dy?é/7;
d'où l'on tire
H = — Y7r£sin20.
Dans la question présente, nous avons
£=— a/c, r = o, /=6l et /? = 6/;
partant,
CA = [6sin(9 — w) — acos(9 — gj)] ^t^ A/cos(?
■+- [6'sin(ao — aw) — a'cos(acp — acr)] *^7r A/sin9 OU
donc
a C A = y Tra A /r sin ô ;
on aura parçill,ement
BA = V7r A/csmaô-4- / — ^ — dw;
d'où Ton tirera faeilement
les équations (12) et (i3) deviendront ainsi
-H K j sina0[i sin'v — cos'v -h isin*v 005(39 — aci)] -h acos a ^ sinv cosv cos(9 — ci)!, -4- V^f ^^^ sin'5 H- K sinv cosv sina 0 sin(9 — ci) -t- K Bin*v sin*ô sin(a9 — acr) ;
en intégrant ces équations par la méthode de l'article VII, on parviendra aux deux suivantes :
(19) o=:--^H-(6/^--y7rA/)a?— K[|sin«v — cos'v-h isin'vcos(a9 — acr)], (ao) 0 = ^ H-(6/^ — y7rA/)5— aKsinvcosvco8(9 — d),
équations qui ne diffèrent des équations (16) et (17) qu'en ce que g' se
QEu9r€t de L.— IX. 1 6
change en g—^iz^; d'où Ton voit'qu'à cette différence près, lorsque le fluide a une densité quelconque, son mouvement se détermine précisément de la même manière que lorsqu'il est infiniment rare.
Pour donner une application des formules précédentes, supposons que Tastre reste toujours à la même distance du centre G de la planète et sur le même parallèle, mais qu'il tourne autour de la planète avec un mouvement angulaire égal à /n/; K et v seront alors constants, et si, pour plus de simplicité, on prend pour premier méridien celui où l'astre se trouvait a l'origine du mouvement, ou lorsque f = o, on aura (f z=mt; soit de plus
on aura, en intégrant les équations (19) et (20),
Ht . ï^ / 1 • • • ^ Ksin*v . ^ .
smcr^H- Lcosa^H — =(ism*v — cos*v) h r — 5 — =cos(am^— 21st),
M • . Te * aKsinvcosv ,
H, L, M et N étant des constantes arbitraires qu'il faut déterminer par la supposition de
dx ^ dz
lorsque / = o, ce qui donne les quatre équations suivantes
» . K,, . , , . Ksin'v
0= L 4--5(tsm'v — cos*v) H — 5 cosaci,
a' aa* — 8/n*
mKsin*v .
o = an H — ; — 7 — - smatij,
T^T aKsinvcosv
0= IN H r — COSGT,
^\M , a/wKsinvcosv .
on aura ainsi
x--^ -^(i8in*v--co8*v)(i — cosa^)
Ksin^v r / . X am . . 1
■^ 17:j% — oTrî C08(2m^— im) — cosaGJCosa^ sinacrsina^ 1
2 a" — o mr ( ^ J
aKsinvcosv f / - x m . . 1
"* — — ~z% — ::n — cos(m^ — e) — coscicosa^ sincisina^ ,
or — wi' L ^ J
ce qui donne
w = -^sina0(J8in»v — cos*v) (i — cosaf)
Ksin'v . ûf / - X . 2m . . I
-î- —"li — Q — i sin20 cos(2m^ — 2bj) — cos2tiJcosa^ sin2!STSinar
^ 2Ksînvcosv ûf / * V . 'w . • J
-! i i — COS2 0 cos(m^-— e) — cosecosa^ sincisina^
cos6 2Ksinvcosv r . , ^ . m . 1
^ — rnTû \ i — sin(/w^ — Bj) -+- sincicosa^ cosesina^
sin0 a* — m* L ^ J
Ksin'v r • / . X . 2 m .1
-i — i — 7 — i sin(2m^— 2?sj) -h siQ2i!JC0sa^ cos2esinar
or — l\m^ L ^ J
6/Ksinvco8v . ^ f / . x m . . 1 7= i i — sin29 cos(m^ — e) — c08!STC0sa^ sinfij8ina/
3/Ksin'v . ,^ r / X am . . 1 '
H — i — 7 — rSin"0 cos(2mr — aoj) — C082iiJC0sa^ sin2i!JsiQa^
/K j-(|8in*v — cos*v)(i -h3co82 0)(i — co8a^);
telles seraient les valeurs de m, v et j, si la planète n'avait aucun mouvement de rotation.
Si Ton suppose l'astre attirant au-dessus du pôle ou à l'origine de l'angle 0, on aura le cas que M. d'Alembert a traité dans ses excellentes Recherches sur la cause des vents; dans ce cas» v == o ; partant on a
11=: -Tsin2 0(co8af — i),
y = -^(i4-3co820)(i — cosa^).
Le cas que nous venons de considérer serait à peu près celui du Soleil et de la Lune par rapport à la Terre, si cette planète n'avait pas de mouvement de rotation sur son axe; on aurait donc alors, par Tarticle précédent, les lois des oscillations des eaux de la mer, en la supposant partout de la même profondeur; mais on doit observer que lety termes qui, dans ces expressions, sont indépendants de la position actuelle de Tastre attirant, ou, ce qui revient au même, de son aspect par rapport aux différents points du fluide, doivent s'anéantir à la longue en vertu du frottement et de la ténacité des parties fluides; ces termes sont évidemment ceux qui sont multipliés par sinai et par cosa/; en les négligeant, on aura
u =:z -r(|sin*v — co8*v)sin2 0
H z — 5 — rsma0cos(2/w/ — aoj) -\ — cos^dcoslmt — m),
cosô aKsmvcosv . , , Ksm'v . ,
--- — sin{me — w) H — z — 7 — iSm(am^ — aoj),
y— — j-(cos'v — {sin*v)(i -v- 3 ces 2 9)
6/Ksinvcosv . ^ / - x 3/Ksin*v . ^^ ,
-^ — sm2 0cos(m^ — i«j) h r — .—-t sm*0cos(2m^ — acj).
On peut parvenir à ces mêmes expressions en supposant que les molécules fluides éprouvent une légère résistance proportionnelle à la vitesse; sur cela, nous observerons que cette supposition, qui semble limitée, a cependant toute la généralité possible; car, toutes les hypothèses de résistance que Ton peut physiquement admettre devant ramener à la longue le fluide à un même état de mouvement, il est indifférent, pour déterminer cet état, d'employer telle ou telle hypothèse de résistance; les résultats seront toujours les mêmes après un long intervalle de temps, et ils ne différeront entre eux que près de l'origine du
mouvement, lorsque le fluide n'est pas encore parvenu à son état de permanence.
La supposition d'une légère résistance, proportionnelle à la vitesse,
• introduit dans le second membre de Féquation (12) le terme — P ^»
et dans le second membre de l'équation (i3) le terme —^ ? jr sin^ 8, p étant une très petite quantité constante, dépendante de l'intensrité
de la résistance; or, en suivant le calcul des articles VII, VIII et IX, il est aisé de voir qu'il ne résulte de changement, par l'introduction de ces nouveaux termes, qu'en ce que les équations (19) et (20) prennent la forme suivante
dp oc dûc 0= -T-^ '^P'Jî -Ha*j?~K[Jsin*v — cos*v -f-4sin'vcos(am^ — aoj)],
d*z dz 0= --Tji "^P^J + ^"-5 — 3K sinvcosvcos(m^ — Bj),
a* étant, comme précédemment, égal à 6lg --^Tzàl. Si l'on intègre ces deux équations, et qu'ensuite on néglige^ dans les intégrales les quantités périodiques multipliées par p, à cause de la petitesse de cette quantité, on aura
y = c"«'^'(H sinr v/a*— {p*H- L cosf ^a*—|p*)
-^- ^ (i sm«v — cos«v) + ^^,__g^, cos(2mt — aw),
s = e-^^'(M sin t )/a^^ip* -^ N cos ^ y/a«— |p«)
aKsinvcosv H i ; — cos(mt — GJ),
e étant le nombre dont le logarithme hyperboli((ue est l'unité, et H, L, M et N étant des constantes arbitraires qui dépendent des valeurs de
doc d%
^f ^? ^ ^^ 'di ^l'o^'g'ïï^du mouvement; or, quelles que soient ces valeurs, il est clair qu'après un temps considérable e"»^' devient extré-
mement petit; on pourra donc, après ce temps, supposer
K ,, . , , . Ksin*v , . V
^=X«(t8»» V — cos«v)-i- —5 — g---.cos(amf — aw),
aKsinvcosv . ^ z = z T-^cos(/?ir — e);
d'où Ton tire les yaleurs précédentes de a, v et y.
Si Ton supposait le globe recouvert d'un nombre n de fluides de densités différentes, et tels que la somme de leurs profondeurs fût très petite relativement au rayon du globe, on parviendrait, facilement, en ayant égard aux attractions et aux pressions de ces différents fluides, à des équations différentielles dont on déterminerait les intégrales par la méthode que nous venons d'exposer dans les articles précédents; les valeurs de u, i^ et y auraient pour chaque fluide une forme analogue à celle que nous avons trouvée, et il n'y aurait de différence qu'en ce que les quantités x et 5, relatives à chaque fluide, seraient déterminées par un nombre un d'équations différentielles du second ordre, dans lesquelles ces variables seraient mêlées lès unes avec les autres, les œ étant mêlées avec les x et les z avec les z; mais toutes ces équa* tiens sont facilement intégrables par les méthodes connues. Je supprime ici tous les calculs que j'ai faits sur cette matière, parce qu'ils n'ont plus, d'après ce qui précède, d'autre difficulté que leur longueur; cette discussion étant d'ailleurs purement mathématique, je préfère exposer avec étendue une nouvelle méthode qui, par sa simplicité, peut mériter l'attention des géomètres, et qui me servira dans la suite pour déterminer les oscillations du fluide, lorsque la planète a un mouvement de rotation, ce qui est le cas de la nature.
Concevons un astre immobile au-dessus d'une planète pareillement immobile, et considérons comme le pôle de cette planète le point audessus duquel l'astre répond ; si l'on fait abstraction du frottement et de la ténacité du fluide, il résulte des formules que nous avons don-
nées pour ce cas à la fin de Tarticle X, que ce fluide ferait éternellement des oscillations et que chacun de ses points reviendrait à sa position primitive, toutes les fois que, par Taccroissement successif de l'angle at, cosa/ redeviendrait égal à Tunité, c'est-à-dire lorsqu'on aurait at égal à un multiple de la circonférence; partant, la durée de
chaque oscillation serait égale à — ; mais il est aisé de voir que le frottement et la ténacité des parties fluides doivent altérer sans cesse ces oscillations, en sorte qu'elles cesseront après un temps considérable, et le fluide finira par être en équilibre sous l'astre qui l'attire. Considérons-le dans cet 'état d'équilibre et voyons la figure qu'il doit prendre.
On aura, dans ce cas, -^ = o ; de plus, l'astre étant supposé au pôle,
on a V = g; et comme le fluide, par l'action de cet astre, n'a éprouvé aucun déplacement en longitude, on a (^ = o; les équations (i i) et (12) de l'article YII donneront ainsi, en supposant la densité A du fluide égale à zéro,
d'où l'on tire, en intégrant,
Yz=c-\ cosad;
pour déterminer la constante arbitraires, on observera que, la quantité du fluide restant toujours la même, on a
f ysï{i6d6dw=zo;
de là on tirera
partant,
7= g-(i4-3cos2 6);
l'équation
donne ensuite, en l'intégrant,
iisin6 = — ^y- ({cosô — Jcos30) -+- A;
pour déterminer la constante Â, on observera que Tastre étant supposé au pôle, on doit avoir u = o pour tous les points du fluide situés au pôle; partant,
A = o et 11=:— ^j- sîn*^.
Supposons maintenant le fluide d'une densité quelconque, et concevons que dans cette supposition u soit égal à esin20, on aura, par l'article IX,
l'équation (12) donnera donc soit
et l'on aura, comme précédemment,
y = ^— (i -h 3cos20) el a =— ^-7- sîna9;
partant,
— ^7- =e ou -î — J7-7 — « ;
d'où Ton lire
or
a} étant égal à 6/^ — ^T'-àl; donc
u=z rsinad el y=- —^(i-h3cos2
Considérons présentement le cas dans lequel l'astre se meut uniformément sur le même parallèle, en conservant toujours la même distance au centre C de la planète, et voyons quel doit être alors reflet du frottement et de la ténacité du fluide. Par la même raison pour laquelle nous venons de voir que les oscillations du fluide doivent s'anéantir à la longue, lorsque l'astre est immobile au-dessus du pôle, quels qu'aient été d'ailleurs la figure et le mouvement primitifs du fluide, il est visible que tous les termes qui, dans les expressions de w, i' ety^ dépendent de la position primitive de l'astre au-dessus de la planète, doivent disparaître après un temps considérable, en sorte qu'il sera impossible de reconnaître par l'observation, et la position de l'astre attirant, à l'origine du mouvement, et l'instant auquel on doit fixer cette origine. Ces expressions seraient donc encore les mêmes, si l'astre avait eu une position diflerente à l'origine du mouvement, ou si cette origine était plus reculée, ou même encore si à cette époque le mouvement et la figure du fluide eussent été entièrement différents. De là, il est aisé de conclure que m, f' Hy ne seront plus fonctions que de 0, des sinus et des cosinus de l'angle mt — n; car, si elles renfermaient encore ny, il est clair que les expressions de ces quantités seraient différentes pour les différents points du fluide situés sous le même parallèle; or cette différence ne peut évidemment résulter que de la différence de la position primitive de l'astre; pareillement, si elles renfermaient encore le temps t écoulé depuis l'origine du mouvement, l'angle 6 et les sinus et cosinus de l'angle m/ — ny et de ses multiples restant les mêmes, les valeurs de u^v eiy seraient différentes, suivant que / serait un peu plus ou un peu moins grand, c'est-à-dire suivant que l'on avancerait ou que l'on reculerait l'époque de l'origine du mouvement. Il suit de là que, si l'on suppose comme ci-dessus ç = /w/, on aura
du du d*u ,d*i/
dt "'dm' di' "'(te»'
dv dv dt âfSJ
d}v ^d^v dt^ ""'" dis^'
OEupres de L.— IX.
les équations (i i), (12) et (i3) donneront conséquemment
K sina $[ J sin*v — cos'v -h { sin*v cos(2 ml — acj)] aK cosQ (? sinv cosv cos(m^ — gj).
m' -r-i sin* 6 =1 — i' -T^ +CAsind
+ K sinv cosv sinad sin(m^ — fsr) -f-K8in*v8in*0sin(am^— aw).
En difiercntiant la première de ces équations deux fois de suite par rapport à u et en la multipliant par m^ sin^O, on aura
(a) m*-5:fisin*& = — /m*sm*9-r— r — im* smQ ,, . ,^ ;
si Ton multiplie la seconde par sinO et qu'on la différentie une fois par rapport à 0, on aura
-H K T^ [| sm*v — cos*v 4- f sm*v cos(am^ — aoj)]
-, J.sindcosad . / . x
-+- aK 77 smvcosvcos(m^ — w);
enfin, si Ton différentie la troisième une fois par rapport à a, on aura
^d^v . ,. â^y . . .JC
ôw^ ^ àuj* dus
— K sinv cosv sin a Q cos (m^ — w)
— aKsin*vsin*0cos(am^ — acj);
en substituant les valeurs de ' ,^ et de ^-,> que donnent ces deux
dernières équations, dans Féquation (a), on aura
— A/sinô Tz A/sin^-T—
ad fm
— iKsin& j7 (f sin'v — cos*v)
4-ia/Ksinvcosvsin'Ôcos0cos(m/ — Bj) •+■ 3/K8in*vsin*0cos(2m^ — 2m).
Supposons d'abord A = o, et Ton aura pour déterminer y une équation aux différences partielles du second ordre, dont Tintégrale complète, si elle est possible, se déterminera facilement par la méthode que j'ai donnée pour cet objet dans les Mémoires de l'Académie pour Tannée 1778 (*); mais il n'est pas nécessaire ici, comme nous le verrons bientôt, de connaître cette intégrale complète, il suffit d'avoir une intégrale particulière. Pour cela, soit
y = £-♦- Icosimt — w) -+-6 ces (a m/ — acj),
£, X et 6 étant fonctions de 0 seul et de constantes; en substituant cette valeur de y dans l'équation précédente, on aura, pour déterminer ces fonctions, les trois équations suivantes :
^ ^^ • û o=g ^ K(}sm«v~cos«v) ^^ ,
— X(m'sin*0 — /^)=^/^^gjsin'0-t- /^sin0cos^^-+-i2/Ksinvcosvsin'0cos9,
— 46(m«sin»9-/^)=/^^sin«Ô-h/^sin0co80j|-4- 3/Ksin*vsin*^.
Pour satisfaire à ces équations, on fera
e =a-h 6cosad, X=:csina0, 6 = esin*9;
(1) Page 5 du présent volame.
a, A, € et e étant des coefficients constants, et l'on trouvera facilement
6 = — (cos'v — J 8in*v),
ô/Ksinvcosv 3/Ksin*v
partant, on aura
V = « H (cos*v — |sin'v)cosQd
6/Ksinvcosv . /^ , , v —j7-, T- sina9cos(m^ — cj)
;t-; 7 r SI H* 9 C08 ( 2 /W ^ — Q d ) ;
pour déterminer la constante a, on observera que Ton doit avoir, comme on Ta vu dans l'article précédent.
•7C ^tlC
d'où Ton tire
/ j'sin^c^ôéfer^o;
a = 3— (cos*v — 1 sin*v).
La valeur précédente de y satisfait à la vérité à Téquation (A), mais elle n'est pas la seule, car, si l'on nomme Y cette valeur et que Ton fasse y =y'i' Y, on aura, pour déterminer y, Téquation
à^y' d^y' ây'
Soity= R l'intégrale complète de cette équation, R devant être, par ce qui précède, fonction de 0, de sin(/w/ — o) et de cos(m/ — u), on aura j' = R -h Y pour l'expression complète do y dans le cas de A = o; d'où l'on voit que les oscillations du fluide peuvent être variées à Tin-
fini» et qu'il peut en avoir une infinité dépendantes des angles 0 et mt — xs^ en ne supposant aucun astre attirant; mais il sera facile par cette considération même de les distinguer, car les valeurs de i/, v et j", que Ton aurait dans ce cas, satisferaient' aux équations différentielles (F) de l'article précédent, en supposant K = o et A = o dans ces équations; il est visible de plus que tous les termes des exprès* sions de ii, v et y^ qui dans ces mêmes suppositions satisfont à ces équations, subsisteraient encore quand iln*y aurait aucun astre; mais, dans ce cas, le frottement et la ténacité du fluide anéantiraient à la longue les oscillations qui en résultent, et, comme ces oscillations sont visiblement produites par les^termes qui' renferment le temps /, on doit rejeter de Texpressiôn complète de y tous les termes qui, renfermant le temps ^ satisfont aux équations (F) en supposant K = o etA = odans ces équations, et admettre tous ceux qui, renfermant pareillement le temps ^ ne peuvent y satisfaire. Gela posé, il est clair que tous les termes de la quantité R qui dépendent du temps doivent être rejetés, puisqu'ils auraient encore lieu dans le cas où la masse de Tastre attirant serait nulle; la quantité Rse réduit ainsi à une fonction de 0 seul, que nous nommerons H, en sorte que Ton aura j^ = H -h Y. Voyons présentement quels sont les termes qu'il faut encore rejeter de cette expression de j^; pour cela, supposons dans les équations (F),
y z=H-f- Y = H-+-«-t-^cos(m^ — e) -f- 6cos(amf — anj),
£, X et 6 étant des fonctions de 0 que nous avons déterminées dans l'article précédent; la seconde des équations (F) donnera, en l'intégrant deux fois de suite par rapport à o,
H-^^cos(m^ — cj) -h j ^cos(am^-- 2©),
H' et H" étant deux constantes arbitraires qui peuvent être fonctions
quelconques de 0; la troisième des équations (F) donnera, en Tintégrant une fois par rapport à a,
/w*-rzsin*0 = — ^(H-He) -f-G — ^>co8(in^ — oj) — ^6co8(2m/ — aci),
(7GJ
G étant une constante arbitraire qui peut être fonction quelconque de 0; si Ton substitue, au lieu dey^ u et ^« ces valeurs dans Téquation
,/du dv co8(?\
et que Ton compare séparément lesjîoefficientsde (m/ — u)*, (mt — ts)^ cos(m/ — u) et cos(2m/ — 2ct), on verra facilement que les valeurs trouvées dans l'article précédent, pour X et 6, ne peuvent satisfaire aux équations de condition qui en résultent; d*où il suit que les deux termes X cos(/w/ — u) et 6cos(2m/ — 2ct) sont uniquement dus à Faction de Tastre et qu'ils doivent conséquemment être admis. Partant, si dans l'expression
H H-e 'hlcosimt — ns) -h 6 ces ( a m^ — acj)
de j" il y a quelques termes à rejeter, ils ne peuvent se rencontrer que parmi ceux de la quantité H + e; pour déterminer ces termes, supposons A = G et K quelconque dans la seconde des deux équations (F); si au lieu de j^ on y substitue H-*-£-*-Xcos(m/ — CT)4-6cos(2m/ — 2ct) et que Ton observe que la quantité u ne devant renfermer que des quantités périodiques, afin que au reste toujours de Tordre a, comme
nous le supposons ici, -r-i ne doit renfermer aucun terme qui soit
fonction de 6 seul, on aura
'^^'àS "^^55 -h Ksina9({sm*v — cos'v) =o;
mais, par la nature de e, on a
de o= — ^^ -HKsina0(|sin'v-— cos'v);
partant, -^ = o, ce qui réduit H à une consente que l'on déterminera au moyen de Féquation
d*où Ton tirera facilement H = o; il suit de là que Ton doit conserver tous les termes de Y, et que cette intégrale particulière de l'équation (A), lorsqu'on y suppose A = o, est la plus générale qu'on puisse admettre dans la question présente.
Considérons maintenant le fluide comme ayant une densité quelconque A, si l'on suppose
j = a(n-3cosa0) -^ c smi B cos {mt — xn) 4-esin*0cos(am^ — aw),
on aura, par l'article IX,
B A = — '4^ TT Aflf sin a ^ -h I TU Ac cos a 9 cos{mt — gj )
H- |7r A^sina9cos(am^ — aw),
CA = {7rAccosôsin(m^--Gj) 4- Jtt Aeslndsîn(a//t^ -— acj);
en substituant ces valeurs dans l'équation (A) de l'article XIII, on aura
g(m«sîn«0-/,^)
= /^-^ sin'9 -h Ig sinô cos0-j^
-h[Yî^^*«— /K(J sm'v--cos«v)]smÔ -rr
-f-(^7rA/c -f-ia/K8invcosv)sin*0cos0cos(/n^ — Bj) H- (3/Ksin*v-h ^^7rA/e)sin*0co8(am^ — acj);
en substituant dans cette équation, au lieu de y sa valeur, on trouvera
K(cos*v — |sin'v) ~ 6^ — ^ttA
6/Ksinvcosv
3/Ksin>v
6/^-.Y7rA/-4'n*'
ayant ainsi j^, on aura la vitesse de chaque molécule du fluide, en observant que cette vitesse dans le sens du méridien est a >t- ou
— oLm-^9 et que, dans le sens du parallèle, cette vitesse est a^sinO ou — a/w^sinO. Si l'on intègre présentement la seconde et la troisième des équations (r), en remarquant que u et t' ne devant renfermer que (les quantités périodiques, ^ ^^ ^ ne doivent renfermer aucun terme qui soit fonction de 0 seul, on aura
du !)mKsinvcosv ^ . ,
"77 =— ^i il — À, i cos29sin( mf— w)
dt olg — ^izàl—m^ '
— -pr-, Tï — 7-j — 7 — ;sma0sm(amf — aci),
dv . ^^ amKsinvcosv r, , .
-7:smOi= ^-7 =^ — T-j ; cos9 cos( mf— cj)
dt oiK — ^izàl—m* ^ '
