a cosad sinv cosv cos(iY h- ©)j , ^â*v . ,û .au
dfST* (hsj
dv = -— ^~- -hCAsinô — Ksinvcosv 8ina0sîn(i^-t-aj)
— K8in*vsin*0sîn(aï7 4-aw);
QRu9r€9 de /.. — IX. |8
si Ton intègre par rapport à u la dernière de ces équations, on aura
iW cknucosO ffY A/Crfbjsin^
-:- -T7-sinvcosv-r-^rC03(i7-+-oj) H :Tsin'vcos(ai7 h- am) -+- H,
H étant une fonction de 0 ajoutée en intégrant; soit
^' K — ^J t^ ^ sin 5 ~ gy\ et l'on aura
<)uf " /sin9 i*sin*^
h k . cos 0 . . K • • / •. X u
T- -T- siiiv CUSV-: — -T cos(f/ -m) 't — ^iSin'v cos(a</ -h aw) -h H;
or, si l'on nomme a et « ' les parties des expressions de y et de //, qui sont indépendantes de l'angle il 4- o, et que Ton considère que r ne devant renfermer que des quantités périodiques {voir ci-aprés Par-
licle XXI), -rr- ne peut renfermer de termes qui soient fonctions de 0
seul, on aura.
'^ " i%\iih ^ i'»sin*9' partant,
^ (^ £SinO l'sin'^
i '.3iKrosO . . .^ Ksin*v . . .
f -r- .1 -.— ^ sinvcosvcos(/r 4-®) -;-• ^— (!Os(ji/ 4- acT);
si l'on observe présentement que l'équation
f^ f}^Csin(>
trouvée (art. V ) donne, en l'intégrant.
(^9 on aura
£Ad,
— fr
— i— -4- H A nz — SI --— '
substituant donc, au lieu de ^ et de g-^i leurs valeurs dans la première et dans la seconde des équations (j), on aura les deux suivantes
(ai) {
aK/ycosô . / ., v /Kysin*v , . ^', e, sinv cosv cos(i^ 4- xa) ^— = — cos(ai/ 4- acj),
<^y 2/Ifi^COS0, ,.
4 — r-sinvcosv[(a/2 4- ai)cos'0 — 1] cos(«V 4-©)
/i 4- 1 4- Ksina0(|sin*v — cos'v) 4- Ksin'vsinad — r- 003(2// 4- aro);
pour satisfaire à ces équations, faisons d'abord S = o, en sorte que l-oii aîty = j^, et supposons
y=:a 4-6 cos(i7 4-.cj) 4-c cos(2/V 4- aoj), u ^a''J4- 6^*Jcos(i/4-ro) 4- c^*^ cos(2i7 4- am),
a, 6, c, a^^\ b^^\ é^^ étant des fonctions de 0 seul, qu'il s'agit de déterminer; en substituant ces valeurs dans 'les équations (21) et (22), et comparant séparément les coefficients de cos(i/4-ct) et de cos(2eV + 2a), on aura les six équations suivantes :
. « , {^. ya<'^ sinô gsmg = — / ^ ^^ ,
g-r^ = Ksin20({sin'v — cos'v),
, . db^^^ 2n — i, ./n COS0 t.ti^ày Igby a/Kycosd .
' dB i ' sm0 dB i*8m*ô l'smô '
6(>^(4/i*cos*ô— 1*)= — ^ ? . 1 — r- smvcosv [(2/1 4- 21) cos'0 — 1],
^"" 5^ (^0 ^ « '>^^ sinô ^ (^0^i"»sin«0 21^ '
4c<*î('» cos'6— <*)== — i§^3û ?-^— S i 7-Ksm«vsm2Ô;
° oB «smô 2« '
iU) RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
toute la difficulté de la détermination des oscillations du fluide se trouve ainsi réduite à satisfaire à ces équations.
La quantité y ou» ce qui revient au même, la loi de la profondeur du fluide étant indéterminée dans ces équations» la supposition la plus naturelle que Ton puisse faire sur cette profondeur consiste à regarder le sphéroïde et le fluide comme ayant eu primitivement une figure elliptique; dans ce cas, on a
y = n- ?sin*0,
q étant un coefficient constant; nous adopterons conséquemment cette valeur de y dans la suite de ces recherches; cela posé, si Ton intègre la seconde des équations (L), on aura
a = — cosQd(cos'v — Isin'v)-^- F,
F étant une constante que nous déterminerons dans la suite; en substituant cette valeur dans la première de ces équations, on aura en rintégrant.
fadOsmO
(i4-|sm«0^/sin0
K(cos*v — }- sin'v) (3 cosô — cos30) — ia>^Fcosd 4- F'
IQ
fflsinO ( i-h jsin*6j
F étant une nouvelle constante ajoutée en intégrant. Pour satisfaire maintenant à la troisième et à la quatrième des équations (L), supposons
b =sinôcos0(/-+-/(»^sin«9-H/<«)sin^O4-...4-/<''>sin«''O),
/,/«>, /^'^ . . . , e, é*\ e^^\ . . . étant des coefficients constants. En substituant ces valeurs de b et deb^*\ dans la troisième des équations (L),
DU SYSTÈME DU MONDE. Ul
on aura d'abord, en comparant les coefficients de-r-^^ Téquation suivante •
(a3) ; — e-h ^ :r sinvcosv = o;
en divisant ensuite tous les autres termes de l'équation par sinOcosO, on aura une équation de cette forme
/4-/t'> sin*ô -h/t*> sin*e 4-. . . -f- /«''^ sin*''0 = A 4- Af»J sin«ô -f- A<*) sin*Ô -4- . . . -f- A<'-)sin*'-0,
A, A^*\ A^^\ ...f\^^ étant des fonctions de/,/f*\ . . . , e, ^<*\ .-. . très faciles à déterminer, et l'on aura
en comparant séparément les coefficients des différentes puissances de sinO, on aura les r+ i équations suivantes
et cette dernière équation donne, en y substituant au lieu de A^''^ sa valeur,
Si Ton substitue pareillement les valeurs précédentes de b et de 6<*^ dans la quatrième des équations (L), on aura une équation de cette
forme
(4/1*— «•)« -4- [(4i'— i**)e<»— 4'**«] sin*ô
