i^)e(''^ — ^ne('"^>] si'n''ô — 4/iV''^ sin

= «B 4- B<*> sin*e 4- Et*) sin*0 4- ... 4- B^'-^*) sin**^'©,

'B, B<*^ B^^\ ... étant des coefficients faciles à déterminer, et Ton trouvera

*B=: : — ^/4 : — aKsmvcosv

UrrH-l)^^y(r)('2^^2 4- -^A

Si 1*011 compare maintenant les coefficients des puissances de sinO, on

aura

(4/1* — i^)e-. : — g/-i ; — Qksmvcosv;

partant, •

2/1 — I fff 2 K .

— : — e -t- ^ =- smv cos

équation qui est la même que l'équation (23). On aura ensuite

— 4/'*^^''^ = ^/''^ ( ar-na H — 7^]

Si Ton compare cette équation avec Téquation (24)9 on en tirera

( ar«H-5r-+-3-H -.)

on déterminera ensuite les 2r-+-2 quantités/, /^*\/^*^ ...,/'*>, e^ e'*\ e^^\ ..., e'*^ au moyen des équations (23) et (24), et des 2r équations

(4/i«— i«)ef'^ — 4n*e = B«», '

(4/i'— i«)eW-4w*e<»> = B(*\

(4/1»— «■*)e<'') — 4/i*e<''->îi=B<''>.

Pour satisfaire ensuite à la cinquième et à la sixième des équations (L),

DU SYSTÈME DU MONDE. ii8

supposons

c = s\n*e{p 4-/><») sin'Ô -h/>t»' sïn^O-h- ... 4- p^n sin"*©),

Pf p^*K p^^\ ...» S, 6^•^ 6^*^ ... étant des coefficients constants qu'il s'agit de déterminer. Si Ton substitue ces valeurs de c et de c^'^dans la cinquième des équations (L), et que Ton ordonne cette équation par rapport aux puissances de sinO, on aura d'abord, en comparant les termes qui ne renferment point sinO,

, ., 2n — 2i^£^p Ksin-v

et si Ton divise tous les autres termes de l'équation par sin^O, on aura une équation de cette forme

p H-/?f'^ s\n*6-hp^*^ sin*ô-h...-+-/?''^ sin*'-0 = D -f- D<»J sin'Ô 4- D<*^ sin*04- . . . 4- D^''^ sin"-(?,

D, D^*\ D^*^ étant des fonctions de/?, p^*\ ... et de 6, 6^*\ . . . très faciles à déterminer, et l'on trouvera

Rn comparant les coefficients des différentes puissances de sinO, on a ou, en substituant au lieu de D^^^ sa valeur,

(26) • y^C.):.: ^6(r-i; ^ ri -• 2 n -^ 3 i ^ ^pj^ .

si l'on substitue pareillement au lieu de c et de é*^ leurs valeurs dans la sixième des équations (L), en la divisant par sinOcosO et Tordonnant ensuite par rapport aux différentes puissances de sinO, on aura une équation de cette forme

(4^— 4'*)ê -H [(4«»— 4i"*)6<»^ - 4^*'ê] sin«ô-h. . . -*4,i«€<'*-«^ sin*' = E 4- Et'> sin*^ 4- E(«^ sin*0 4^ ... 4- E«'-> sin*'*0,

tu RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS

E, E^*^ E^'', . . . étant des fonctions de p, faciles à déterminer, et Ton trouvera

"R^r, — __ gp{r) , .

Si Ton compare maintenant les coefficients des différentes puissances desinO, on aura d'abord

(4/*«-4'*')€=^^^(Ksin«v-2^/>), d'où Ton tire

un — ai^ gp Ksin*v

équation qui est la même que Téquation (25); on aura ensuite

on, en substituant au lieu de E^"*^ sa valeur,

ri -¥ i-^ n

in}^^'--\)^gp

Si Ton combine cette équation avec Téquation (26), on en tirera

on déterminera ensuite les 2r4- i coefficients /?, p^^\ p^^\ . . . , p^^\ 5, 6ï*\ ..., 6^'*~'^•au moyen des équations (25) et (26) et des 2r— 1 équations

La valeur de q^ que nous venons de trouver, étant la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus, lorsqu'il s'agissait de satisfaire à la troisième et k la quatrième des équations (L), il en résulte que les valeurs précédentes de 6, b^^\ c et é^^ ont été bien choisies; si Ton reprend maintenant la valeur précédente de j, et que Ton considère que Ton a

ysiTïBdddm =o.

on trouvera facilement que la constante arbitraire F de Texpression de a est égale à g- (cos^v — ^sin-'v); partant, on a

y=z^ (cos*v — J sin*v)(i -f-3cos20)

-+- sin0cos0cos(iV h- xa) (/-+-/'> sin*0 -+-. . . -hf^ sWO) sin'0cos(îriÏH-2Oj) {p -f-/>^*Um*0 -+-, . .-f-/>^'*^ sin"'0);

on aura ensuite la vitesse horizontale a -77 du fluide dans le sens dii méridien, en considérant que

^ =*3z: =— «sin(*7-+-Bj)(eH-et*^sin*^-he<'^ sin*ô-h. ..-+-e^'*> sin*''6)

— aisin(ai7 h- aGJsm0cos0(6 4- 6<») sin'ô 4-. . .H- 6('*-'^ sin*''-*);

enfin l'équation (/") donnera la vitesse du fluide dans le sens du parallèle, en observant que cette vitesse est égale à a^sinO = ai^-sinO.

Si l'on applique maintenant à la valeur précédente dey la méthode de l'article XIY, on s'assurera facilement qu'elle doit être admise en entier, ainsi que les valeurs correspondantes que nous avons trouvées

pour --77 et^-> et que ces valeurs sont les seules que l'on doive admettre

dans la question présente; comme ce calcul ne présente aucune difficulté d'après ce que nous avons dit article XIV, nous ne nous y arrêterons pas.

OEupres de L. ^ IX. IQ

si 1*011 intègre par rapport à u la dernière de ces équations, on aum

dm'^ iiiïiO /'sin'O^ £*sin*9

i* sin9 ^ ' a«* ^ '

H étant une fonction de 0 ajoutée en intégrant; soit

et Ton aura

âm /sin9 £*sin'0

'.Iwi (*0S 7 . K . - . V ■■

1 — ;r- SI11VCOSV-: — T cos(i/ -r-m) H — .r siii*v cos(ai/ -h 2W) 4- H;

or, si l'on nomme a et a ' les parties des expressions de y et de //, qui sont indépendantes de Tanglc il -+- 13, et que l'on considère que r ne devant renfermer que des quantités périodiques (voir ci-après Tar-

ticle XXI), -j- ne peut renfermer de termes qui soient fonctions de 0

seul, on aura.

2 na^^^ cosO ga

Hz::

isin^ i»sin«9'

partant,

. dv incosO. ... . g (a --y')

) âni isiuO r*sîn*9

i -îK cosO . / . V Ksin*v , . .

f -^ .r-7— 7, sinvcosvcos(// 4-iij) -:-• :^— <'0s(*ii/ 4- aw):

si Ton observe présentement que l'équation

àB f).CsinO

trouvée (art. V) donne, en l'intégrant,

â.CsinO

dm^

on aura

ÔY „ A à y'

substituant donc, au lieu de ^ et de g-^i leurs valeurs dans la première et dans la seconde des équations ( j), on aura les deux suivantes

' âS isinô L\ / ^ dO r*8in*6

2K/ycosô . / ., V /Kysin*v , . . ^', r, sinv cosv cos(i^ 4- p) ^-t; — cos(ai/-f- acj),

t»^H-4/i'(w-a(*0cos«ô

ây* 2ngcosO, ,.

-r-sinvcosv[(a/i -h a{)cos*0 — j]cos(iV + tB)

4-K8ina0(|sin'v — cos'v) 4- Ksin'vsinaô— ;-r-cos(2//-f- aro);

pour satisfaire à ces équations, faisons d'abord S = o, en sorte que l-on ait y =yf et supposons

fl, 6, c, a^'^ é^*^ c^*^ étant des fonctions de 0 seul, qu'il s'agit de déterminer; en substituant ces valeurs dans 'les équations (21) et (22), et comparant séparément les coefficients de cos(i/h-ct) et de cos(2e/ + 2a), on aura les six équations suivantes :

asmOzz— / f ^^ ,

g-jg = Ksin20(isin*v — cos'v),

^ ^ de ^ i ^^ sinô "^ d0^i«sîn«ô i»sinô «'"^cosv,

6^*^(4/i*cos*ô— «*)= — ^ -rg ? . Q ! — r- smv cosv [(a /l-f- 2 I ) cos'ô — /],

. ()c<*> a/i — e. ,,.cos0 , ,.^ày Igcy /Kysin'v ' âO i ' sind dO î*sin*9 ai^

^ ' ^ aô ismô a« '

indépendants de Tangle it + ta dans Téquation (21),

rf.a(«>8in9(i-h |sin«ô^ esin(^(3cos«ô — i) = — / ^ ^;

Téquation (22) donnera pareillement

£,=: îr--(cos»v— isin'v);

partant,

r? — ïSTx («'^•"-i «'"*")•

La comparaison des coe(!icients de cos(eV -h gt) dans Téquation (21)

donnera

, V 'xn — i ^A 2 K .

(37 ) : — e -h ^ v^- sinv cosv — o,

et cette équation répond à l'équation (aS) de l'article précédent; on aura ensuite •

A,, A^*, A',^', . . . étant pareilles fonctions de /«, /*/', f';^\ . . . que les quantités que nous avons nommées A, A^*\ A^^^ ... le sont de /, /^*\ /^^\ On aura donc

partant,

or on a

et, par l'article IX,

donc

^"=/"[- ûl^l-

ce qui donne

et cette équation répond à l'équation (24) de Tarticle précédent.

Si Ton compare les coefficients de cos(à h- gt) dans Téquation (22), on trouvera d'abord l'équation (27); on trouvera ensuite les équations suivantes

(4/1*- e'*)c<*>- 4/i'e =-'Bi«',

B\'\ B\^\\ . ., B;^'» étant pareilles fonctions de /,, //', //', . . ., /;'. que B<'\ B^^\ . . ., B(^-^*> le sont de/,/'>,.A^ . . .,/'^; on aura donc

Br'^ = ^-/t'-»(ar-+-2 4-^y

partant.

Si l'on compare cette équation avec l'équation (28), on en tirera

^M— /-T ^FT- (2r'-H5r4-3-f- ^ )

on déterminera ensuite les 2r-h 2 quantités/,/*^/^^^ . . .,/^'^^; e, é*\ é^\ . . ., e^*^ au moyen des équations (27) et (28), et des 2r équations

(4/1*— i*)c<'')— 4/i'e('-» = Bi'*'.

Si l'on compare maintenant les coefficients de cos(2ï/ -f- 20) dans réquation(2i), on aura d'abord

/o^^ - - ^^-^^'g ■ ^Pt Ksin'v

i^)e(''^ — ^n*e('"^>] si'n*''ô — 4/iV''^ sin

i^)e(''^ — ^ne('"^>] si'n''ô — 4/iV''^ sin