O ^= : OH
et cette équation répond à Téquation (25) de Tarticle précédent; on aura ensuite
D,, D;", D^"', . . ., d;^^ étant pareilles fonctions de Pt,p\'\ p'f\ . . ., p\'^, que D, Df*>, D^»^ ..., D^"^ \e sont de p,p^'\p'*\ ...,p^'^; on aura donc
donc
or on a
et, par l'article IX,
donc
partant.
(3o) [.--9^(^i- (4r + 5)jJ^"=g^'^^ 1 '
cette équation répond à l'équation (26).
Si l'on compare ensuite les coefficients de cos (2 ù -+• 2 ts) dans l'équation (22), on aura d'abord Téquation (29); ensuite on aura
E„ E',", E;=" Ep étant pareilles fonctions de />,,/,". pf pT'
que E'^', E<*' E<^ le sont dep,p^*\p^*K ...,pf^\ on aura donc
partant,
en combinant cette équation avec l'équation (3o), on en tirera
L (4r-+-D)^'JV '/ ^
on déterminera ensuite les 2r-4- i coefficients p, p^^\ p^'\ ...,/?^'^; 6, 6^'^ . . ., 6^''~*^ au moyen des équations (29) et (3o) et des ir — i équations
(4/i'-4'')€<»> — 4«'ô =EV^ (4/i«-4<')6('^ — 4ai'6(»* =E\*-,
(4w*— 4«*)6('-*^-4/»'Sf'--«)izzE*,'-*^
Les deux valeurs de q que nous venons de trouver dans cet article étant entièrement les mêmes, il en résulte que les valeurs précédentes de w et de j ont été bien choisies; nous pouvons conséquemment déterminer par la méthode précédente les oscillations du fluide, toutes les fois que sa profondeur sera égale à
, 2/i'sin'9
/§" '— ,/ \^ (2/'-f-5rH-3-+- ^ )
/étant une constante quelconque très petite relativement au demi-axe du sphéroïde, et r étant un nombre entier quelconque, ce qui donne une infinité de cas dans lesquels la détermination rigoureuse du flux et du reflux de la mer est possible.
Si l*on nomme A^*^ la densité moyenne du sphéroïde* on aura à très peu près g = ^itA^*^; la quantité précédente peut donc être mise sous la forme suivante :
a/i*8in*ô
Si n = o, cette quantité se réduit à la constante A et nous aurons le cas que nous avons discuté ci-dessus avec étendue.
^ exprime, comme l'on sait, le rapport de la force centrifuge à
fi
Téquateur à la pesanteur; ce rapport est pour la Terre égal à ^; la quantité précédente devient ainsi
Qsîn*^
^«9['-(47TI)Aôt](-*-5'-^^^7)'
on supposera donc la loi de la profondeur de la mer représentée par cette quantité, et Ton déterminera dans cette supposition les valeurs
de y, -7T et -r- résultantes de l'action de la Lune. Les quantités A, v et
m, au lieu d*étre constantes comme nous l'avons supposé, sont un peu variables; mais on pourra substituer au lieu de m sa valeur moyenne dans la formule qui exprime la loi de la profondeur de la mer, et dans toutes les autres quantités on pourra, conformément a la remarque de l'article XIV, substituer au lieu de v, A et/w leurs véritables valeurs variables; nous verrons dans la suite jusqu'à quel point cette supposition est exacte.
Lorsqu'on aura calculé l'effet de la Lune sur la mer, il sufRra de changer dans les résultats les quantités relatives à la Lune dans celles qui sont relatives au Soleil, et en ajoutant la somme de ces effets on aura l'effet total résultant de l'action du Soleil et de la Lune sur la mer.
Il y a cependant une observation essentielle à faire et qui peut donner lieu à une difficulté qu'il est à propos de résoudre. La loi de la profondeur du fluide dépend de la valeur de i\ et cette quantité dépend elle-même du mouvement de l'astre attirant dans l'espace; il résulte de là que, dans les mêmes hypothèses sur la profondeur de la mer, dans lesquelles on peut déterminer l'eiTet de la Lune^il est impossible, par la méthode précédente, de déterminer celui du Soleil. Pour répondre à cette difficulté, nous observerons que le mouvement angulaire du Soleil et de la Lune autour de la Terre, résultant de leur mouvement réel dans l'espace, est très petit relativement au mouvement de rotation de la Terre, puisque pour la Lune il n'en est que ^ environ et que pour le Soleil il en est à peu près 3^; on peut donc supposer sans erreur sensible pour ces deux astres i on n — m = n, en négligeant m par rapport à w, et alors la loi de la profondeur de la mer est entièrement indépendante des mouvements du Soleil et de la Lune. Pour avoir l'erreur qui résulte de la supposition de 1 = n, considérons le
cas le plus défavorable dans lequel m est à peu près égal à — : on aura la loi de la profondeur de la mer devient ainsi
Q sin*0
ou, à peu près,
. 2sin*0 r I 1
en sorte que ce que Ton néglige dans la supposition de n = i est
sin«0
quantité absolument insensible et qui ne va pas à ^ de lieue, dans le cas même où l'on suppose A = A^*\ r=i et sinO = i.
Œuvres df L, — IX. 20
liA RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
Examinons présentement comment on peut concilier la loi précédente de la profondeur de la mer avec la figure de la Terre qui résulte des observations; pour éclat supposons que le sphéroïde que la mer recouvre soit un ellipsoïde tel que les densités et les ellipticités de ses différentes couches varient du centre à la surface. Soit RA la densité d'une couche dont le demi^axe est 5; soit p Tellipticité de cette couche, et que Ton fasse
les intégrales étant prises depuis 5 = 0 jusqu'à s = 1; soient encore a Tellipticité de la surface du sphéroïde et h Tellipticité que les observations donnent à la Terre, on aura a-h q = h^ et Ton trouvera, par les formules que M. Clairaut donne dans sa théorie de la figure de la Terre, en observant qu*ici la profondeur de la mer est supposée très petite,
a-hg = hz=i -
3oA-6
Si Ton nomme maintenant/ le rapport de la densité moyenne de la Terre à celle de Teau, qui parait résulter des observations faites nouvellement dans les montagnes d'Ecosse,. il est aisé de voir que Ton aura
nous devons donc satisfaire aux trois équations suivantes
3oA - 6
de ces trois équations, on tirera
az^h — q, A = }/,
la première de ces équations donne l*ellipticité du sphéroïde; quant aux deux autres, on peut y satisfaire d'une infinité de manières. Pour le faire voir, supposons R=(jL(p(5), (f(s) étant une fonction quelconque de 5, et [/. étant un coefRcient constant quelconque; on satisfera à l'équation A = |/, en prenant
3 / s*(p{s)ds
et, comme la fonction 7(5) est indéterminée, il en résulte qu'il y a une infinité de manières de satisfaire à cette équation.
On peut satisfaire pareillement d'une infinité de manières à l'équation
car soit ^(5) une fonction quelconque de 5; on peut supposer
fRd.r^p ou iij'(p(s)d.s*p = ^(s);
il suffit pour cela de prendre
et de déterminer la constante arbitraire C de manière que l'on ait p = a lorsque 5 = 1; or, la fonction ^(s) étant indéterminée, on peut faire en sorte, et cela d'une infinité de manières, qu'elle soit égale à
^ — ■L^ lorsque s = 1.
En considérant l'expression trouvée ci-dessus pour la profondeur de la mer, dans le cas où, par la méthode précédente, nous pouvons on déterminer les oscillations, il est aisé de voir que, si l'on suppose run peu considérable, on aura à très peu près le cas où la mer a partout la
même profondeur; supposons, par exemple, r = lo, et Ton aura, pour Texpression de la profondeur de la m^,
2sin-9
quantité qui se réduit à très peu près à /, car le terme
nVxcède pas ^^ de lieue, dans le cas même où Ton s.uppose sinO = i et
Pour éclaircir maintenant par un exemple la méthode des articles XV et XVI, nous allons considérer ici le cas de r= i et déterminer les
valeurs do j, ^- et ^^-sinO. Pour cela, nous observerons que dans ce cas on a
y = £(3 cos'Ô — i) -h sin0cosO(/ 4-/'>sin«0) cos(*^ -+- ts)
— Q<6sin9cos9sin(aiV -+■ acj);
et Téquation (/) de l'article XV nous donnera
=:cos0cos(£^-hcj) -r^sinvcosv : ^ — sm*0( : h 2£J \
+ sin9cos(az7 + 3e)riisin'v-1^6-^+8in'e(^-^')l;
tout se réduit donc à déterminer £././«./"'./',";/>./»)./'"'./>',"; c, e'" et 6.
On aura d'abord, par l'article XVI,
et, si l'on nomme A''> la densité moyenne de la planète, on aura, à cause deff = iirA"',
e = -. Q A~\ (cos'v — Jsin'v);
^^('- stïï)
on aura ensuite, par le même article, les quatre équations
— : — e ■+- ^ =- sm V cosv = o,
on trouvera, par l'article XV,
A = i^î^T-li (/««) -H qe) H- f (qr/ -H //<)) i? K sin V cosv,
B^*ï=: — .— 2^/ ; gp^ — k — : — Ksmvcosv;
donc A, et B'/* étant pareilles fonctions de /, et de /;" que A et W^ le sont de /et de /'\ on aura
A,= ''''7^'(fe"' + ye) + |(g/. + //,")-:^Ksinvco8v.
D(i) '*"♦"'« /• 2/1-+-3* ( /'ï-i-'ir .
B'/'= — ; — 2^/, : gfx — 4 — r— Ksmvcosv;
de plus, on a, par l'article XVI,
h=f-~ et /." = /;.)-* et Ton trouvera facilement, par l'article IX,
158 nECIIERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
ce qui donne
partant, on aura les quatre équations
O = . e -4-^(1— ënr-rr 1 ëATn ^""=5 4" SinvCOSV,
i . I* \ 5At*v io5A^*> I* I*
•^f -^ V""3ÂrîTJ--7^sinvco8v,
, — /Ç/^'y- 3^j ~4K— ^sinvcosv,
on tirera facilement de ces équatioujs les valeurs de e, é*\ / et/^*^; et si, pour abréger, Ton fait
P = (a/.-i)^-^-Va/i»(a/n-3i)-(«-H2«)(4/»'-i')] 64A/I* ., ... .. ,-
R=(i-3^)|(2/«-307[2«M3'«-t-30-(« + ai)(4/i»-e')]
-t-4'»''[2«*— (an — 3i) (/i -+- ai)] j
, + 4/i«y[(a» - 3t) (w -f- 0 - an'] ^p'^^,,, » S = 8/i'i'fJH- 4/»*?l I— 5ÂM))[(^" — 3<) (/i + I) — an'],
on aura
/'>= — /i* sinv cosv ' — ^^ __ pV ^^ '-^-^ ;
on déterminera ensuite e et é*^ au moyen des équations
'aKsinvcosv-^/^i- g^^JH-^/»)-
2 ni — «'
Si Ton suppose n infiniment petit, on aura i= — m; d'ailleurs q sera infiniment petit de l'ordre n^^ en sorte que la profondeur de la mer sera partout égale à la constante /; nous devons donc retrouver ici les mêmes résultats que nous avons trouvés pour ce cas, article XI; or on a, en faisant n infiniment petit,
d'où Ton tirera
. __ 12 /K sinv cosv
4K — sinv cosv
[^^^(•-5^)-^('-3|(ïï)
et
aKsinvcosv
^''^('~5Â<ïï)~'^*
,,, 4Ksinvcosv
^'^('-sltiT)-'^* '
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé, article XI. Si Ton fait I r- n, ce qui a lieu à peu près pour la Terre, on aura, en observant
in^
— sinvcosv
sinv cosv
Cherchons présentement les valeui's de/», /?,, />^*\ p\*^ et 6, on aura, par l'article XVI, les trois équations
- a** jç'p, K . ,
— 6 -f- ^-^ - — ^ sm*v.
on trouvera facilement
-^ 3 £—2/1^. 2/1 — 4«-r, iÇ' , ,,,,^ <7K . ,
D, = -. 6/-+- —r-^- ^q H- ^, (/>,^ H- y^;»'/) - 1^ sm«v ;
on a ensuite
et, par l'article IX, on aura
JL 3A 8A ,,, 2g 5A<»^^ ' 35Ai»^^ '
Pi — Py^
les trois équations précédentes donneront ainsi les deux suivantes et si, pour abréger, on fait
^, / A \ /3i'— Q/ii -+- 2/1* , /Il — a«* \ 8A7 . Q-('-3Â<î)j( ^^ '^-— ^— *j-35Âfô'
on aura
— sin«v(Q'-+--^P') sin'v
on déterminera 6 au moyen de Téquation
Si Ton suppose n infiniment petit, on aura
, m»/ A \ „, 3mU/ A \
Qffttf^rM <£tf £. — IX. 31
d'où l'on tirera
smsin'v
jK — sin'ï
partant,
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé (art. XI). Si l'on fait I = n, on aura
d'où l'on tirera
'i'={-iS^,ni'-'^-
— sm*w —
'' "~ 7 5ÏT7 4 \„, ; 8A »■'
la valeur de ^ sera donc, dans le cas où i = n et r = i , K
-(cos'v — ls(n'v)(i + 3cosaâ)
vcosvsinScos?
— .■-• '^ î=-^? S jj— ^,sin'4cos(f.iH-J«>).
('-F4sj('-54ÏÏ^)«'-'')-35Ïîi7
Il est aisé de voir, par les articles XV et XVI, que l'on aura généralement, quelle que soit la loi de la profondeur de la mer,
y = H -hMsinvcosvsin0co50cos(*f 4-Bj) -hNsin*vsin*0cos(2i/-+- 2cj),
H, M et N étant fonctions de 6; pour avoir la plus grande élévation et le plus grand abaissement des eaux, il faut faire ^ = o, ce qui donne
o = Mcosvcos0sin(«V-i-Bj) ■+■ aNsinv sindsin(aiV -h 2bj);
or on a
sin(2/^-l- 2Bj) = 2sin(i^ -¥- ts) cos (il -h ts);
Téquation précédente se partage ainsi dans les deux suivantes
o=:sin(i7-hBj),
0 = M cosv cosô 4- 4N sinv sind cos(fY -h bj);
la première de ces équations se rapporte à la plus grande élévation, qui a lieu, par conséquent, lorsque it -+- u est égal à zéro ou à i8o®, c'estk-dire lorsque l'astre passe au méridien; la seconde équation est relative aux plus grands abaissements et donne
,. . Mcosvcosô
4Nsmvsin9
Il suit de là que la valeur de y^ dans la marée de dessus, est
/ = H -h M sin V cosv sin 9 cos 0 -f- N sin* v sin* 6,
et que cette valeu,r dans le plus grand abaissement des eaux, est
7 = H — ^cos*vcos*0 — Nsin*vsin*0;
la différence de ces deux valeurs est la différence de la haute à la basse mer, que l'observation donne immédiatement; on aura donc pour cette
différence
1^ (Nsinvsin0-4- ~cosvcos0j ;
la valeur de y^ dans la marée de dessous, est
/ = H — M sinv cosv sind cosd + N sin*v sin'0;
la différence des deux marées de dessus et de dessous est conséquem-
ment
3 H sin V ces V sîn 0 ces 9,
et le rapport de cette différence à la différence de la haute à la basse
mer est
NM sî n V cos V sin 0 ces 0
(Nsinvsin0 4- -rcosvcosô j
cette quantité que nous nommerons (A) est nulle lorsque Fastre ou lorsque le lieu de Tobservation sont dans Téquateur; mais, si le rapport de M à N était un peu grand, la quantité (A) serait considérable dans nos ports, lorsque le Soleil et la Lune seraient dans leurs plus grandes déclinaisons australes. Cherchons ce rapport dans la théorie ordinaire : cette théorie revient à supposer m infiniment petit dans la valeur de y de Tarticle XI et à changer m en — i, dans les angles iM — xs
et imt — 2ct; on aura donc, en observant que a' = 6^( i —.fâtît)» dans cette valeur
y = 5-— r- (cos*v — J sin*v) ( I -*- 3 cosa 6)
o If
sinv cosv sindcosd cos{U -+■ ts)
sin*v sin'd cos (2 </ -f- aoj),
ce qui donne M = 4N, partant.
. 4 sinv cosv sing cos^ sinavsinaQ ^
^ ' ~ (sinvsinô-hcosvcosô)* "~ co8*(ô — v)'
dans nos ports et dans les grandes déclinaisons australes du Soleil et de la Lune, (A) serait négatif et plus grand que — 2; or cette valeur de (A) est très considérable et beaucoup plus grande que suivant toutes les observations qui donnent pour (A) une quantité presque insensible.
Dans le cas où, en supposant la Terre immobile, on transporterait en sens contraire à l'astre attirant son mouvement angulaire de rotation, on trouverait par l'article XI
ce rapport serait très petit si la profondeur / de la mer différait très peu de — j-^ — 3Â^' ®* ^^^ pourrait expliquer ainsi pourquoi la dif-
férence des deux marées d'un même jour est aussi peu considérable; mais, d'un autre côté, N étant égal à — -. 't^^ ' '^ hauteur
des marées serait alors extrêmement grande, ce qui parait contraire aux observations faites nouvellement dans la mer du Sud, suivant lesquelles le plus grand effet de l'action du Soleil et de la Lune pour élever les eaux de la mer n'excède pas 2 pieds.
Voyons maintenant si, en ayant égard au mouvement de rotation de la Terre, il ne serait pas possible de satisfaire aux observations, et pour cela cherchons directement la loi de la profondeur de la mer, dans laquelle on aurait M = o.
Reprenons les équations (21) et (22) de l'article XV; soit 6^*^ le coefBcient de cos(i/ -h u) dans l'expression de ii\ puisque, par l'hypothèse, le coefficient de ce cosinus est nul dans l'expression de y, il est clair qu'il sera pareillement nul dans l'expression dey. Cela posé, si dans les équations (21) et (22) on suppose i = /i, ce qui est à peu près vrai pour la Terre, et que l'on n'y considère que les coefficients
de cos(iV + a), on aura» par la comparaison de c#s coefficients» les deux équations suivantes
âb^^^ ,,,,cos0 ,,,,ây qK . cosô
o=— y— 77- -f-y£>^*'-ï— 77 — ^^'^3^ ;-ysinvco8v-r-7r>.
/i*/>f*>(4cos'(? — i) = 2Ksinvcosv(4cos*ô — i); cette seconde équation donne
o^'^rz: — T-sinvc08v;
substituant cette valeur de 6^*^ dans la première, on en tirera ^ = o;
partant /y est égal à une constante que Ton peut représenter par /.
11 suit du calcul précédent non seulement que, dans la supposition de iM = o, la profondeur de la mer est constante, mais encore que, cette profondeur étant constante, on a M = o, car, en supposant
aK
M =1:0, ^^'5= — r-sinvcosv et /> = /,
on satisfait aux équations (21) et (22), et l'on prouvera, parles raisonnements de l'article XIV, que dans la question présente il n'y a que ce seul moyen d'y satisfaire dont on doive faire usage. Il est d'autant plus remarquable que l'on ait toujours M = o, lorsque la profondeur de la mer est constante, que si l'on suppose la Terre immobile, en transportant en sens contraire à l'astre son mouvement angulaire de rotation, la valeur que l'on trouve pour M peut être très considérable et qu'elle ne devient nulle que dans le seul cas où l'on a
ce qui fait voir d'une manière très sensible combien il est différent de supposer la Terre immobile, ou d'avoir égard à son mouvement de rotation.
En comparant les coefficients de cos(2iV -h 20) dans les équations (21) et (22), et supposant toujours /y = /, on trouvera faci-
lement que la supposition de N = o ne peut y satisfaire et que, ainsi, non seulement (A) = o, lorsque la profondeur de la mer est constante, mais que cette équation indique nécessairement une profondeur constante et, comme dans la nature cette équation a lieu à très peu près, il parait naturel d'en conclure que, si Ton en excepte le voisinage des côtes, la mer a partout à peu près la même profondeur. On peut même déterminer par la théorie précédente la loi des petites variations de la profondeur de la mer, en supposant, toutefois, les observations exactes. Cette détermination est fondée sur une remarque qui nous sera très utile dans la suite, et qui consiste en ce que Ton peut toujours avoir la valeur de M, dans le cas où le sphéroïde que recouvre la mer est un ellipsoïde de révolution. Pour cela, supposons d'abord la densité du fluide nulle, et considérons la troisième et la quatrième des équations (L) de l'article XV; si l'on y fait i = /î, ce qui a lieu à peu près pour la Terre, elles se changeront dans les deux suivantes
, , c^6<*> , ,,,,cos9 ,.,,,dy Igby a/Ky cosô .
' dQ ' smô dB /i*sin*ô n} sm0
/i*6<*)(4cos'0 — i) ^= — /^-Tz — '^gà-r-â -H aKsinvcosv(4cos*0— i);
pour satisfaire à ces équations, soit
b=/s\ndcos6;
la seconde équation doniTera
n«6<*) (4 cos'ô — i) = — ^/(4 cos'ô — i) 4- aK sin V cos(4 cos'ô — i) ;
partant,
Ad)— — j$/-H aKsinvcosv
Observons présentement que, dans le cas où le sphéroïde recouvert par la mer est un ellipsoïde de révolution, on a
y = n- ySÎn'O,
q étant une quanlité quelconque positive ou négative; si l'on substitue CCS valeurs de y, b et &<*', dans la première des deux équations précédentes, on trouvera
/— -~(f/— aKsiiivcosv); parlant.
liKfginvcosv
On prouvera facilement, par la méthode de l'article XIV, que ces deux valeurs de b et de Â"> sont les seules que l'on doive admettre dans la question présente.
Si Ton A. égard à la densité A du fluide, on trouvera par l'article XVI
-«/('— r-TTr) -i-aKsinvcosv
on observera ici que M est égal à t^ — ^ . > et que, ainsi, l'on a, quel que soit q.
cette valeur de M est d'autant plus remarquable, que d'elle seule dépend, comme nous le verrons dans la suit*, l'effet de l'attraction et de la pression des eaux de la mer sur la précession des équinoxes et la nutation de l'axe terrestre, et qu'elle nous met ainsi en état de déterminer généralement cet effet, dans le cas où la Terre est un ellipsoïde quelconque de révolution recouvert par la mer.
Nous venons de voir que, pour satisfaire aux observations, q doil être très petit, et dans ce cas le dénominateur de l'expression M esi une quantité négative; or, si l'on s'en rapporte aux. observationi dont M. Cassini fait mention dans les Mémoires de l'Académie poui l'année 17141 P^gc 250, la marée du soir à Brest est un peu plu:
grande que celles du matin dans les syzygies d'été, et un peu moindre dans les syzygies d'hiver, ce qui suppose que M est une très petite quantité positive; d'où il suit que la profondeur de la mer est un peu plus grande aux pôles qu'à Téquateur; mais cette conséquence étant fondée sur des observations fort délicates, puisque la différence des deux marées d*un même jour est toujours fort petite, on ne peut la regarder comme certaine que lorsqu'on aura un plus grand nombre d'observations faites en différents endroits.
La variation de la profondeur de la mer étant fort petite, on peut, sans erreur sensible, calculer la valeur de N comme si l'on avait r = oo ou, ce qui revient à très peu près au même, comme si r était égal à un nombre un peu considérable, tel que lo, ii ou 12, et Ton aura ainsi la loi des hauteurs des marées suivant les différentes latitudes; mais, comme il est impossible de comparer sur ce point la théorie avec les observations, parce que les causes locales, telles que la situation des côtes, la pente des rivages, etc. produisent dans la hauteur des marées des différences prodigieuses à latitudes égales, il est entièrement inutile de calculer cette valeur de N; il nous suffit d'avoir montré comment il est possible de concilier la théorie avec l'observation, sur le peu de différence qui existe entre les deux marées d'un même jour. L'explication de ce phénomène nous conduit à déterminer le temps des plus grandes marées dans nos ports; il est difficile de se refuser au grand nombre d'observations qui établissent directement que les plus grandes marées arrivent dans les équinoxes, et cela parait être une suite du peu de différence qui existe entre les deux marées d'un même jour; car, si cette différence était exactement nulle, on aurait
/=i:H4-Nsin*vsin'0cos(2i7 4- arsj);
la différence de la haute à la basse mer serait sNsin'Osin^v, laquelle est à son maximum lorsque sinv = i, ou lorsque l'astre est dans l'équateur; or on a observé que, dans nos ports, plus cette différence est grande, plus la hauteur absolue de la mer est considérable (Mémoires de l'Académie, année 17 12, p. 94); d'où il suit que les
QFMvreê de L. — W.' 22
plus grandes marées arrivent dans les équinoxes. Pour ce qui regarde les autres phénomènes des marées, comme leur explication est ici la même que dans la théorie ordinaire, nous renvoyons, k cet égard, à Texeellente pièce de M. Daniel Bernoulli , sur le flux et le reflux de la mer.
La considération des équations (4) et (5) de rarticIeVI nous donne facilement la vitesse d*un point quelconque pris dans Tintérieur du fluide; car elles nous montrent que cette vitesse est fonction de 0, cf, / et 5, et qu'ainsi, la profondeur du fluide étant supposée très petite, la vitesse est la même pour tous les points pour lesquels 0 et u sont les mêmes; connaissant donc, par ce qui précède, cette vitesse à un point cjuelconque de la surface extérieure, on aura celle de tous les points du fluide, situés sur le même ravon.
Supposons maintenant que Ton veuille déterminer la pression du fluide sur le sphéroïde qu*il recouvre; nommons {p) la pression du fluide dans le cas de Téquilibre sur le point n de la surface du sphéroïde, pour lequel l'angle wCA = 0 4- aw {fig. 3, p. gS); soit, dans cette même supposition, Q l'attraction du fluide et du sphéroïde sur re point, et 8? l'élément de la direction suivant laquelle elle agit; l'équation (3) de l'article IV nous donnera
soit présentement la pression p = {p) -h 0Lp'\ il est aisé de voir que Faction de l'astre attirant et l'attraction de la difl*érence d'une sphère, dont le rayon est i et dont la densité est la même que celle du fluide, et d'un sphéroïde de même densité et dont le rayon est i -f- ay^ il est aisé de voir, dis-je, que ces attractions multipliées par les éléments de leurs directions, donnent sensiblement les mêmes produits pour le point n placé à la surface du sphéroïde que pour le point N placé à la surface du fluide; Téquation (3) se changera conséquemment dans la
suivante» en observant qu*à la surface du sphéroïde Bs est de l*ordre g S6, et en négligeant ce qu*il est permis de négliger,
mais les quantités -yj ^^jn étant les mêmes» comme nous venons de le voir, au point n qu'au point N, Téquation (y) de Tarticle V donne
onauradonc -^ =^8y et, en intégrant,/?' = A^j -h G, G étant une
constante arbitraire qui peut être fonction de /, sans 0 ni 13; si Ton
observe cependant que, par les mêmes raisons pour lesquelles nous avons vu précédemment que j, u et v doivent être fonctions de ô et de Tangle it + xs^p ne peut être pareillement que fonction de ces deux quantités, on en conclura que G, ne renfermant point xs, ne peut renfermer le temps /, et qu'ainsi cette quantité doit être indépendante de /, 6 et 17.
Au moyen de cette valeur de p' et de celle que nous avons trouvée précédemment pour y^ on pourra déterminer la précession des équinoxes et la nutation de Taxe de la Terre qui résultent de l'action du Soleil et de la Lune sur la mer; nous allons nous occuper de cette recherche intéressante, mais il ne sera pas inutile de faire auparavant quelques réflexions sur le degré de précision de la théorie précédente.
Nous avons supposé, dans cette théorie, A, i et v constants; supposons, maintenant, que l'on veuille avoir égard à la variabilité de ces
(|uantit(';s; on reprendra les équations (6), (7) et (9) de rarticle M :
-7-- — a/i-r-smc/cost?
fit* dt
(7) { ---é'j^-^AB
"h Ksîn29[}sin*v — cos*v-f- îsin*v 005(29— 2ni — im)] 4- aKcos29sinvcosvcos(9 — /i/ — ©),
I dt^ dt
^ --=— fi'^ -4- ACsînQ-+- Ksinvco$vsina(?sin(9 — nt — m)
uJB
H- Ksin'vsin'0sin(a9 — an^ — 2©).
Prenons pour premier méridien celui qui est perpendiculaire au plan (le récliptiquo; soit 5 la latitude de Fastre au-dessus du plan de rérliptiquct s étant toujours une très petite quantité dont nous négligerons le carré et les puissances supérieures; soit encore 90®— e Tangle que forme le plan de Técliptique avec celui de Téquateur, et nommons :; le mouvement vrai de Tastre rapporté à Técliptique, en prenant pour origine Téquinoxe du printemps; 9 exprimera la distance de l'astre au premier méridien comptée sur Téquateur» et si Ton lait passer un plan par le centre de la Terre» par celui de Tastre et par le point de Téquinoxe, Tangle que formera ce plan avec Téquateur
sera <>t>*— £ -H ^i — ; or, en considérant le triangle sphérique formé
par oe plan, par Téquateur et par le méridien de Tastre, on trouvera par la Trigonométrie sphérique
\ sms/
cosv sins'
parlant, on aura
oosv=: cos€ sius -i-s$ia<
d'où Ton tire
sîn V = ^cos'«-H sin'f sin*j5 — a^sinecosssinjs; on aura ensuite
singsin<p
cos-scoscp'
sinfe ; — )
\ sin5/
d'où l'on tire
sincsinc — 5Cose
VC0S*-5-Hsin'esin"-5 — 35sins cosesin^
sin<p= ■ ;
VC0s'-5-hsin*f sin'-« — a^sine cose sine
partant,
sinvcosv sin9 = — (cosssinj3 + 5sin£)cosjs et
sinv cosv C0S9 = (sine %\nz — 5 cose) (cose sins -h ^sine); on a présentement
et
cos(9 — /i/ — ©) = sin^ sin(/i/ 4- gj) H- COS9 cos(/i^ h- xs);
substituant donc, au lieu de h^ s et s^ leurs valeurs en temps moyen
dans la quantité
K sinv cosv cos(9 — /i/ — ni),
on aura une suite de termes de cette forme
K'cos(/if -Hmf -hnj-H A).
On substituera la somme de tous ces terme;^ au lieu de
K sinv cosv cos(9 — nt — m)^
dans l'équation (7), et comme la quantité
K sinv cosv sin(9 — nt — xs)
de l'équation (9) résulte de la difTérentiation de la quantité
K sinv cosv cos(9 — ni — gj)
par rapport à cj» il est clair que chaque terme tel que
K' cos{ne -\- ml -hw-h A)
do l'expression de
K sinv cosv ces (9 — nt — w)
donnera le terme
— K'sin(/i/ -^ mt -hw -h A),
dans l'expression de
K sinv cosv sin(9 — ni — gj),
et ce sera la somme de tous ces termes qu'il faudra substituer au lieu de cette quantité dans l'équation (9).
On a pareillement
ros(2<p — 2nl — acj) = sin29 sin(a/i^ -h 2w) -h 00829005(2/1^4- 2m);
de plus, on a par ce qui précède
sin*v sin2 9 rrr— 2cos5(sine sin-3 — ^oosc), sin*vcos2o ^: sin'e sin*3 — cos*5 — 2.f sin£ cosc sin^;
on aura donc, au lieu de
Ksin'v 003(29 — 2nt — 210),
une suite de termes de cette forme
K'cos(2/i/ -h 2mt H- 2© 4- 2A),
et comme on a
.,.,., .1 fhKsin*vcos(2o — 2/1/ — 2Bj) Ksm*vsm(29 - 2nt — iw) := ^^:^ »
^ 2 ÙfS
le terme
K'cos(2/i/H- 2mt -h 2cy -4- 2 A)
donnera le terme
— K'sin(2/i^ ■+- 2ml 4- 2nj 4- 2A),
dans la quantité
K sin'v sin^(29 — 2nl — 2nj)
de l'équation (9).
Enfin la ^quantité
4K(sin'v — acos*v) ou ^K(i — Scos'v)
donnera une suite de termes de la forme
K'cos(m^-H A).
Considérons maintenant un terme quelconque de Téquation (7), tel
que
2K'cos20cos(/i/-h mZ-f-nj-H A),
et supposons, pour plus de simplicité, la densité du fluide nulle; on pourra facilement y avoir égard ensuite, comme nous Tavons fait précédemment. Le correspondant du terme
2K'COS2 0COS(/I^H- mt -^XD-\- X)
sera, dans Téquation (9),
— K' sin 2 9 sin ( /!/ -h m^ 4- GJ -I- A ) ;
en n'ayant égard qu'à ces termes, on supposera, conformément à la méthode précédente,
y =:acos(nl -i- nit -hvs -h X), u = b cos{nt -h me -^ m -h A)
V =ic sin(w^-H /n/-i-nj-h A),
Uy b etc étant fonctions de 6 seul ; en substituant ces valeurs de y, a et {^ dans les équations (6), (7) et (9), on aura les trois suivantes
— (/i-Hm)'6 — 2/i(/i-+- m)c HnB co^B :=• — g -^ + 2K'cos2 5,
— (/n- m)'csin'9 — 2/i(/t -i- /n)6sindcosd = ^a — K'sin2 9.
Lorsque m est très petit par rapport à /i, on peut, sans craindre aucune erreur sensible, déterminer a, b et c, comme si l'on avait /w = o; d'où il suit qu'alors les parties des expressions de jk, u et v^ qui dépendent
t76 KECIIERCUES SUR PLUSIEURS POINTS
ilt'S (|i]antités
3K<:os3^8invcosvcos(9 — ni — a)
K sinvcosv3in3$sin(9 ~nl— m),
seront à très peu pr^s les mêmes que celles que l'on aurait en regarilant 9, V et K comme constants dans l'intégration, et en substituant ensuite, au lieu de ces quantités, leurs véritables valeurs variables, ainsi qui- nous l'avons prescrit dans l'article XVII.
Onsidérons un autre terme quelconque de l'équation (7), tel que
JK'sin3 9coB(3n(-(- 2m't-h2V3 + a A'), dont !<■ rorrospondant dans l'équation (9) est
— lk'sia*0s\a{3nt + ani'f + aiin- aA')î on supposera, en n'ayant égard qu'il ce terme,
>■ — a'cos{inl + 2m' l -(-aro + 3 A'), Il :- b'cos(2 nt + 2m'i-\- 3SH-3A'), f — c' sin(3n^-!- am'n- ara + a A'),
t>t l'on aura, pour déterminer a', b' et K, les trois équations
, ,db' , ,,cose\
— 4(« + m'yb-—in{n+m')c'siaOcos6:=~ff~ -t- ÎK'sioad,
— 4(/n- m')'c'£in'5 — 4«(« -*- m')b'ainScoi6 = 2ffi^—K'sia*9;
on voit facilement encore que, si m' est tri?s petit par rapport à n, les parties des expressions de v, u et t- qui dépendent des quantités
J K sin a 5 sin*v cos(a9 — an( — ao)
k ¥În'MSin*5sin(a? — an/ — aw)
sont il très pou près les mêmes que celles que l'on aurait en regardant s. V et K comme constants tlurani l'intégration, et en substituant ensuite, au lieu de ces quantités, leurs valeurs variables.
Relativement au Soleil, les quantités /n, m\ . . . sont très petites par rapport à n^ parce que le mouvement moyen du Soleil dans son orbite n'est que la -^ partie environ du mouvement de rotation de la Terre; ainsi les parties des expressions de y, ueti^ qui dépendent des quantités
\K sin2 0sin'vcos(a9 — 2nt — 2nj),
K sin'v 8in*0 8in(29 — a/i^ — aor),
siKcos2dsînvcosvcos( 9— nt— m),
Ksinvcosvsinadsin( 9— nt— m),
qui se trouvent dans les équations (7) et (9), sont à très peu près les mêmes pour le Soleil que celles que nous avons déterminées par la théorie précédente. L'approximation est un peu moins exacte pour la Lune» parce que son mouvement est plus rapide; mais, comme il n'est encore que ^ de celui de rotation de la Terre, on peut la regarder comme suffisamment exacte.
Il nous reste présentement à considérer les termes de la forme
K'sinaôcos(/n/-i- A),
que donne le développement de la quantité
K sina 0(i sin'v — cos'v).
On supposera, comme précédemment,
jr:=a cos{mt -+- A), u = bcos{mt 4- A)
et
V =c sin(m/-f- A),
et l'on aura, pour déterminer a, 6, c, les équations
— m* 6-— 2/imcsin0cosô = — ^^ -t-K'sinaô,
— /n*c sin'ô — 2nmbsinOcosd = o.
OKttvret de L, — IX. a 3
Si Ton supposait la Terre immobile, en transportant en sens contraire à Tastre son mouvement angulaire de rotation» il faudrait faire n = o dans les équations précédentes; on aurait alors c = o, et en négligeant les quantités de Tordre m', ce qui est permis, à cause de la lenteur du mouvement de Tastre dans son orbite, on aurait les deux équations
(Voix il résulte que les parties des expressions de y^uelv qui dépendent de la quantité
K sin!i9({ 8ln*v — cos'v)
seraient alors à très peu près les mêmes que celles que Ton aurait en regardant v et K comme constants; mais il n*en est pas ainsi lorsqu'on a égard au mouvement de rotation de la Terre : dans ce cas, on a
an , CO80 m sinQ
et Ton déterminera a et 6 au moyen des deux équations
A»(4/i'cos*^ — m}) = — g-^ -h K'sina^,
en sorte que a et 6 ne sont plus ici les mêmes que dans la supposition de /î = o; la valeur de c, et par conséquent celle de v^ sera fort grande, si m est très petit par rapport à /i, ce qui a lieu pour le Soleil, car on verra facilement, par ce qui précède, que mt est égal au double du moyen mouvement du Soleil, qui est très petit par rapport à 2/1/, en
sorte que — est fort grand et à peu près égal à 365; mais le terme le
plus considérable de i^ est celui qui dépend de Tinclinaison de Torbite
lunaire» car il est facile de s'assurer que la quantité
K(|sîn*v — cos*v)
produira un terme de cette forme
K'/? sin 2 0 cos ( m' ^ -h A' )»
p étant la tangente de l'inclinaison moyenne de l'orbite de la Lune et
m't représentant le mouvement moyen de son nœud; or ce mouvement
étant environ dix-huit fois moindre que celui du Soleil, on aura» à peu
près,
partant
à la vérité, la tangente/' étant fort petite, 6 et a seront eux-mêmes peu considérables, et la valeur de c en sera beaucoup diminuée; malgré cette diminution, le terme csin(/n'/ -+- A') restera encore le plus considérable de l'expression de v.
Il résulte de là que les parties des expressions de j^, u^i v qui dépendent de la quantité
K sina0(|sin*v — cos'v)
sont bien différentes de celles que l'on a en regardant K et v comme constants; mais on doit observer qu'à cause de la lenteur avec laquelle les angles m/, m't^ ... croissent, on ne peut se dispenser, dans la détermination des quantités a, b et c, d'avoir égard à la résistance que les eaux de la mer éprouvent, et en vertu de laquelle elles se remettraient bientôt dans leur état d'équilibre si l'action du Soleil et de la Lune venait à cesser. Supposons ici que cette résistance soit proportionnelle à la vitesse, il faut alors ajouter au premier membre de l'équation (7) la quantité p^> et, au premier membre de l'équation (9), la
quantité p^sin'O, p étant un coefficient constant dépendant de l'intensité de la résistance. Pour avoir ensuite les parties des expressions
de j, Il et V qui dépendent du terme K'sin20cos(/n/ -4- A), on fera
7=:acos(mf-h A) -i- a' sin ( m/ -h A ), tt = 6 cos(m/ -+- A) 4- 6' sin(m^ -H A), i'=c sin(m/-h A) -i-c'cos(mf -H A),
et, en substituant ces valeurs dans les équations (6), (7) et (9), on aura, pour déterminer les six quantités a, a\ b^ b\ c, c\ les six équations suivantes :
, fdb , cos0\ ,, dy
'\dB sindj dd
— m^b -hpmb'-^inmc sinôcosôrr— ^ ^ -j-K'sinaô,
— - m>y— pmb -H a/imc/sinôcosôrr— ^ -^,
• — /n*c sin*^ — p me' sin'ô — a iiw6 sindcosd = o,
— m«c'sin"ô -h pmc 8in*ô -1- a/im6'8in9cosfl = o;
si p est beaucoup plus grand que /n, les quatre dernières de ces équations donneront, en négligeant les quantités de Tordre m,
a/i .,cos0 , an , cosô
p smd p sm9
0 = — ^^^- et — ^^-4-K'smaÔz=o. On satisfera donc à toutes les équations précédentes, en faisant
et on déterminant a, b, d au moyen des équations
, (db .cosôN .,dy
0= — ^^ -i-K'smaô,
2/1 , cosô p smd
On voit ainsi que les valeurs de a et 6 se détermineront comme si l'on avait m = o, et qu'ainsi la partie de Texpression de y qui dépend
de la quantité
K(^sm*v — cos'v)
est alors à peu près la même que celle que Ton trouve en regardant K et V comme constants.
La supposition de p beaucoup plus grand que m parait être vraie par rapport au Soleil, car on peut supposer p proportionnel au temps qui serait nécessaire pour que la mer reprit son état d'équilibre si l'action du Soleil et de la Lune venait à cesser; or il est très vraisemblable que ce temps serait beaucoup moindre qu'une année; d'où il suit que la valeur entière de j, que nous avons déterminée par la théorie précédente, peut être regardée comme fort approchée par rapport au Soleil. Cette même supposition de p beaucoup plus grand que m pourrait n'être pas exacte par rapport à la Lune, et alors la partie de l'expression de j^ qui dépend de la quantité
K(isin*v — cos*v)
pourrait être sensiblement différente de celle que l'on trouve en supposant K et V constants; il parait impossible de la déterminer par la théorie, parce qu'on ignore la loi de la résistance en vertu de laquelle la mer tend sans cesse à se remettre en équilibre; heureusement cette quantité n'influe que sur les hauteurs absolues de la mer, suivant les différentes déclinaisons de la Lune, et ne change rien aux autres phénomènes des marées, en sorte que, si l'on suppose, en vertu de l'action de la Lune,
j' = a-f- 6sinvcosvcos(t7-i-o) -+-c8in*vcos(ai7 4- aor),
fc et c seront à peu près les mêmes que par la théorie précédente, et il ne peut rester d'incertitude que sur la valeur de a ; nous croyons cependant que cette valeur ne s'éloigne pas beaucoup de celle que donne notre théorie.
La considération d'une résistance proportionnelle à la vitesse peut servir à lever une difficulté que Ton pourrait faire sur ce que nous
avons supposé, article XV, que ^ ne renferme aucun terme constant,
o'est-à-dire indépendant du temps /. En considérant, en effet, les articles II et III, on voit que, pour l'exactitude de nos calculs, il suffit
que V, M et ^ ne renferment que des termes constants ou périodiques, en sorte que r peut, sans nuire à cette exactitude, renfermer un terme proportionnel au temps; mais, si Ton reprend les équations (J) de Tarticle XV, on verra facilement que la supposition d'une résistance proportionnelle à la vitesse introduit, dans le premier
membre de la seconde de ces équations, le terme pi^* et, dans le premier membre de la troisième de ces équations, le terme pi^sin*6; or il est impossible do satisfaire alors à cette dernière équation, en
supposant que -^ renferme un terme constant, sans que ^ ^^ ^ ^■^ renferme.
On peut faire une remarque entièrement semblable sur toutes les manières de satisfaire aux équations (J) de l'article XV, différentes de celle que nous avons employée : il est clair, en effet, que la supposition d'une légère résistance proportionnelle à la vitesse ne fera que changer extrêmement peu les valeurs que nous avons trouvées ci-dessus pour V, a et r; or, dans Thypothèse d'une résistance proportionnelle à lu vitesse, le fluide n'a qu'une manière possible de se mouvoir; car, si Ton suppose, par exemple, qu'il en existe deux, et que l'on nomme y\ u' cl i ' ce que sont v, m et r dans la première et >'', uT et ^"00 que sont V, u et r dans la seconde, les équations du problème étant linéaires, il est clair que->''— y, u'''-ii' et r^— ♦»' satisferont pour V, u el r à ces mêmes équations, en y supposant K = o, c'està-dire en supposant Tastre attirant anéanti; mais il est évident que, dans ce cas, le fluide doit à la longue se mettre en équilibre, ce qui donne
Donc le fluide n'u qu'une façon possible de se mouvoir dans Thypothèse d'une légère résistance proportionnelle à la vitesse; or, en négligeant les termes de Tordre de cette résistance, on aura pour y, u et V les valeurs que nous avons trouvées précédemment, ce qui pont servir de confirmation aux raisonnements de l'article XIV.
RECHERCHES
(suite.)
QiM0r€S de L,- IX. ^4
RECHERCHES
8UR PLrSIEl'RS POI?<TS
(sriTB.)
Mémoires de l'Académie royale des Sciencet de Paris, année 1776; 1779.
Les recherches qui font l'objet de ce Mémoire étant une suite de celles que j'ai données dans le Volume précédent (p. 75 etsuiv.)(*) et que leur longueur ne m'avait pas permis d'y insérer en entier, je conserverai ici l'ordre des articles et les dénominations de mon premier Mémoire; et, comme il est nécessaire pour l'intelligence de ce qui suit d'en rappeler les principaux résultats, je saisirai cette occasion pour les présenter d'une manière plus simple, à quelques égards, que celle dont j'ai fait usage, et pour les développer avec plus d'étendue.
Considérons une molécule fluide M, placée à la surface de la mer, et dont, à l'origine du mouvement, 0 soit le complément de la latitude, xs la longitude par rapport à un premier méridien fixe, ou qui ne participe point au mouvement de rotation de la Terre ; supposons qu'après le temps /, 0 se change en 0 -h olu, n en u -h nt -h olç^ ni représentant le mouvement de rotation de la Terre, et a étant un coefficient extrê-
(*) Remis le 7 octobre 1778.
(*) Œuvres de Laplace, t. IX, p. 69 et suiv.
Œuvres de /.. — IX. 2^*
mcment petit; soit aj Télévation de la molécule au-dessus de la surface de la mer considérée dans l'état d'équilibre auquel elle serait parvenue depuis longtemps, sans l'action du Soleil et de la Lune. Représentons par aBA et aCA les composantes de l'attraction d*un sphéroïde aqueux dont le rayon est i 4- ay sur la molécule M, décomposée perpendiculairement au rayon du sphéroïde, dans le plan du méridien et dans celui du parallèle, A exprimant la densité des eaux de la mer. Soient encore S la masse de l'astre attirant, v le complément de sa déclinaison, ç sa longitude comptée sur l'équateur depuis le premier méridien, h sa distance au centre de la Terre, que nous supposons très considérable relatîven^ent au rayon du sphéroïde terrestre dont nous prenons le demi petit axe pour unité; que Ton fasse
et que l'on désigne par g la pesanteur, et par /y la profondeur de la mer, / étant très petit, et y étant une fonction quelconque de 6; cela posé, nous sommes parvenu (art. VI) aux trois équations suivantes, dont dépend la détermination des oscillations de la mer,
(9) -n7sm'(/-ha/i-j7sm0cosô=: — A':^ -hCAsmô-h 3—»
^^' dt^ dt ° dm âfSf
R étant égal à K[cosôcosv -f- sinOsinvcos(o — ni — o)]*.
Nous observerons d'abord sur ces équations qu'elles supposent immobile le centre de gravité du sphéroïde recouvert par le fluide, et cette supposition est légitime, comme nous l'avons prouvé dans l'article V, toules les fois que le fluide est dérangé de l'état d'équilibre par l'attraction d'un astre quelconque éloigné; mais le fluide peut à Porigine du mouvement avoir reçu un ébranlement tel que ce centre
ne reste pas immobile, et qu'il fasse des oscillations autour du centre de gravité du système entier du sphéroïde et du fluide, que l'on peut toujours regarder comme immobile. Pour être en droit de tonsidércr alors le centre de gravité du sphéroïde comme étant en repos, il faut transporter continuellement en sens contraire aux molécules fluides 4cs forces qui Tagitent. Maintenant il est clair que ce centre ne peut faire que%des oscillations de Tordre ay; d'où il suit que la force qui
l'anime à chaque instant ne peut être que de l'ordre de a -^; en transportant en sens contraire cette force à la molécule M, il en résultera, dans les équations précédentes, des termes de l'ordre de a^ir* V^^
Va
Ton peut rejeter comme étant de l'ordre de a'^- Ces équations expriment donc généralement les oscillations d'un fluide qui recouvre un sphéroïde dont le centre est supposé immobile, quelle qu'ait été d'ailleurs la nature de l'ébranlement primitif, pourvu qu'on le suppose de Tordre a.
Nous observerons ensuite que Ton a par l'article 1, en y changeant (JL en y et en y supposant a = i ,
CsmO = a-r- -+-? «71:^1 ata o axa
-K exprimant le rapport de la demi-circonférence au rayon; donc
Soit
D = a A — fn -4- Jart^,
et Ton aura
BA=^A, CAsin9=gA.
oQ dm
La valeur de D est facile à déterminer lorsqu'on connaît le rayon I -f- aj du sphéroïde, car on a, par Tarticle I,
/ [2SÏn*psm*q(i -+- ay) -h OL{y — y) Bwp] dp dq
= $7r — }«7r/4- a f f y'sinpdpdq.
ce qui donne
1 y sînpdpdq.
•te ^n
Si l'on suppose n = o ety = j, les équations (6), (7) et (9) de l'article précédent, deviendront
YSinS — " i r^ i-T— sinô,
±^ __ ày d^ dK •
Ht^ " ^ ôe"^ dÔ '^ de'
La seconde de ces équations donne
, d^ ô.us\ï\B . , d^y ^ f, , dy ^
-/-^As.nÔ-/^Acos9
La troisième donne
