SIU 7 1=: *-- A
dt* (hs sin^.c^' sinô dm^ sinô âuj*
En ajoutant ces deux équations membre à membre, et observant que l'équation
donne
ysmô = -/-~gg l-^sinO
on aura
^y __ / d^jK . (^ COS0 /^ <>*y rf?" ~ ^ ^ "^ ^'d0 sïnë "^ sïîï»^ (^*
^^^ ^ . dô* dô sinÔ sin«ô <te«
^ ^ cm COS0 l d^R
ôO^ de sin0 sin*0 ^bj«"
C'est à l'intégration de cette équation aux différences partielles que se réduit alors la détermination des oscillations du fluide.
Il parait extrêmement difficile de l'intégrer généralement en y supposant A == o, et à plus forte raison en supposant A quelconque; car, quoiqu'il soit facile de conclure la valeur de D de celle de y, cependant la première ne dépend pas, à proprement parler, de la seconde, suivant un rapport analytique; tout ce que l'on peut faire, dans l'étal actuel de l'Analyse, est donc de satisfaire à cette équation dans les cas particuliers, dont aucun ne mérite plus d'attention que celui dans lequel on cionsidëre le fluide comme ayant été primitivement en équilibre.
Pour déterminer, dans ce cas, les oscillations du fluide, nous observerons que l'on a, par des réductions fort simples,
c)»R ôK cosô I d^K
06^ de sinô sin«ô drs^ = — K(i 4- Scosaô) (cos'v — |sin*v)
— 6K sin2 0sinvcosvcos(9-- nt — m)
— 3Ksin*6sin*vcos(a9 — a/ir — 2m);
Téquation (S) deviendra donc, en y supposant d*abord A = o,
[ dt^ ~~ ^ ô^^ ^ dO sin9 ^ sin«Ô dm^ (S') • ; 4-/K(n-3cosaô)(cos»v — |sin*v)
-+- 6/K sinaS sinv cosv cos(9 — nt — m) -l-3/Ksin'ôsin'vco8(a9 — a/i^ — aw).
Il est assez naturel de penser que la forme
^(n-ScosaO) -4-x'sinaô-+-ar'sin'(?
peut satisfaire poury k cette équation, x étant fonction de / seul, et af et af' étant fonctions de / et de u. En effet, si Ton suppose
on parviendra facilement aux trois équations suivantes :
-j-j- -4-6/^x = /K(cos'v — J sin'v),
—^ -+- 6 Igx* =: 6/K sin V cosv cos(9 — ni^ cj),
-^,- -hô/^JT^^S/Ksin^vcosCao — aw/— acj).
Ces trois équations sont faciles à intégrer par les méthodes connues, et Ton déterminera les constantes arbitraires de leurs intégrales par ces
r/r iir' dx'
conditions que -A-^ x\ -^> or", -^ doivent être zéro lorsque / = o. Il résuhe de ces mêmes conditions que les suppositions de -r^ = — a?' et de -T^ = — 4'*^" î>ont légitimes, car, en différentiant Téquation en x' doux fois de suite par rapport à u, et faisant ^-5- = — s\ on aura
-7— -i- 6/^:5*= 6/Ksinvcosvcos(o — fi/ — ©).
Or cette équation est la mémo que Téquation en ar'; de plus, les deux
constantes arbitraires de son intégrale sont les mêmes, car, puisque, à Torigine du mouvement, on a
dx' X =L o el —77- 1= o,
il est clair que Ton a, à cette origine,
partant.
donc
5 ~ o et -T- = o ;
dt '
S'=zx' OU -— -— = — x\
Si Ton différentie pareillement Téquation en x'' deux fois de suite par rapport à cr, et que Ton fasse
on aura
—ijî -h6/^y'z=3/Ksin'vcos(2(p — 2/1/ — acr),
équation qui est la même que celle en af; et, comme on a, à Torigine du mouvement,
ds" 5' =:: o el -3- — o,
at
on aura
partant.
Lorsqu'on aura déterminé, par ce qui précède, la valeur de j, on aura celles de u et de (^, en intégrant les équations
d^u ây ôR d^v . ,^ dy dK
et en déterminant les constantes arbitraires, de manière que Ton ait,
QKên^res de L. -- IX. ^
à roriginc Ju mouvement,
Supposons maintenant A quelconque, et voyons si fla orme précédente de y peut subsister et si l'on peut toujours faire
j' = x(i-+- ScosaS) + j;'sinaô + J:^'5in'6 ou
/ — aj:(3co8*9— i) -\-3a:'6in9coaB -i- j;'sin'0,
a^ et jt" étant des fonctions de n et de /, telles que
En intégrant ces deux équations, on aura
x' ~ a sin (ijj — Bj) 4- è cos {9 — B»), j:'= a'sina(f — aj)-+-d'co8a(9 — ro);
donc
j' I : a x ( 3 cos* (
1) -i-asinScosâfa 8in( <p — ro)4-ftcos{ 9— o)] + sin'9[rt'sin(aç — an) -i-é'cos(a(p — aro)].
Supposons, pour plus de généralité,
j'in A -t- A'" COS0 + A"' cos' 9 -h. . ,-h A"' cos'fl
-!-[asin( 9— cT) + èco8( 9— ro)]8În9cos9(/-H-/'' sïn'fl-i-. . .-^/"''eiii' -t- [a'siii(a9 — ara) + è'cos(a9 — ara)] sW 9{p -h p"^ s\n* 9 + . . . -(-/*""' sin*'' 5),
l'équation
■T—i — CisinS
donnera
D\ = &J Csin9rfra;
on aura donc, par l'article iX,
DA--C + [a sin( 9- -i- J[a'sin(2ç-
ra) + é cos( 9 — ra)]sindcos9(> 4-i"JBÎn'5 + . .. + X""'si ra) + A'co8(a9 — ara)]sm*ô(i( -i-/i'> sin'9 + . . .H-/'" sin""(
X, X^*^ X^*^ ..., X, k^*\ )J*\ ,.. étant des coefficients faciles à déterminer par l'article cité; X^'*^ étant égal à 7^^7-5 /^'^^ ®t ^^'^^ ^g^^ ^ 7 kP^'^^' ^ ®^t ^^^ constante arbitraire qui peut être fonction quelconque de 6; or il.cst clair que cette fonction n'est autre chose que la valeur de DA, lorsqu'on suppose
j' = A 4- A^*^ cos 0 4- . . . H- h^'^ cos* d ;
et comme on a
DA = aaÀ/ / y sïnpdpdg,
on aura, par l'article IX, pour G une expression de cette forriie
G = a 4- a<* J cos 0 -h a<'> cos» 0 4- ... -H a<'> cos' 0,
(7, a<*^ . . . étant faciles à déterminer, et a^'^ étant égal à . h^^^; partant,
D A = (7 4- a<* J cos 0 4- (7<«J cos« 0 4- ... 4- a<'> cos' 9
4- [a sin((p — w) 4- ^ cos(9 — m)] sinô cosô(X 4- X<*^ sin« ô 4- ... 4- X^*") sin*'* 6) 4- H«'sin(2(p — a©) 4- 6'cos(aj{p — am)] sin«ô(/( 4- /(<*J sin« Ô 4- ... 4- /t^''^ sin»'* 9).
Dans le cas présent,
d*où il est aisé de conclure partant,
DA = |7r Aa:(3cos»ô — i) 4- f 7rAj?'sin0cos0 4-|7rAj?''sin»Ô4- a4- \nàx
:=:f TT Ay 4- a4-|7rAj?;
l'équation (S) se changera ainsi dans la suivante
^ft '^^ ^^"^^XdB^ ^ de sinô ^ sin«0 <teV
.d^ .^ cos^ / c^«R
de* de sinÔ sin«Ô d©» *
qui ne diffère de Téquation (S') qu'en ce que g se change en ^ — ^r A; d*où Ton voit que, à ce changement près, le cas de A quelconque rentre dans celui de A = o, ce qui s'accorde avec ce que nous avons trouvé dans Tarticlc IX.
Considérons maintenant le cas de la Nature, dans lequel n n*est pas nul. Au Heu de chercher à ramener, comme dans le cas précédent, la détermination des oscillations du fluide à une seule équatiM différentielle, il est plus simple de considérer les équations (6), (7) et (9) de Tarticle XXll, dont elles dépendent, sous cette forme
d'il' di^ . a n ày
d^\^ . ,^ du' sindcosd dy'
dt* """^ dt z ^àw'
y étant égal ày D R, z étant égal à ysinO, et 1/ étant égal
à uz.
Pour satisfaire à ces équations, supposons
/ — a cos(i/ -h5BT-h A), y=i a' cos{it -^ sfn -r- A),
u'-.b C0S(£V -+-5BT -f- A),
t^ — c sin(i/ -h^cT -h A),
I et f étant des coefficients constants quelconques, et a, a\ b, c étant des fonctions de 6 seul. Les trois équations précédentes donneront, cela posé, les suivantes :
a siii y == — * 3>j — Iscz,
(Z ) { {"^b -\-'>. nie z sin Q cos Qzzz gz -rf ,
^ . ,^ 2Aii6sindcosd ,
rcsm'0-i — : — — gsa\
On tirera des deux dernières
isinÔ(«*— /in*cos*ô)
g( isa'-\- 2n sinôcos0-Tû
«sin*ô(i*— 4ai«cos«Ô)
en sorte que Ton connaîtra b et c, et par conséquent les vitesses horizontales 37 et 27 sinO du fluide lorsqu'on aura déterminé a\ Si Ton substitue présentement ces valeurs de 6 et de c dans l'équation
asin0 = — /^^ •— Iscz,
et que Ton fasse sin^ = x et dx constant, on aura
' ia:'a(i*— 4^*'-+- i'»*^')*
=: — Igz i,x^ ( I — x^) {i* — ^n'^-\- ^n^x^) -r—j
(JX
-h lgsza'[{is-h 2n) (i*— ^n^-h ^n^x^) -h i6/i*x'(i— ^•)]
âz ( da! \
— lg-^x{i —x^) (i* — 4/*'-+- ^n^x^) \i^-^ H 2/i5a' |.
Cette équation renferme toute la théorie des oscillations de la mer; il n'est même pas nécessaire de l'intégrer : il suffit d'y satisfaire, car nous n'avons besoin que de connaître la partie des oscillations du fluide qui dépend de l'action du Soleil et de la Lune, et nullement celle qui est relative à l'état primitif du fluide, puisqu'il est évident qu'elle doit s'anéantir à la longue, en vertu des frottements et généralement des résistances que le fluide éprouve, et qui depuis longtemps l'auraient fait parvenir à l'état d'équilibre, sans les attractions du Soleil et de la Lune qui l'en dérangent sans cesse. Pour satisfaire à l'équation (T), il est nécessaire de connaître i %i s; il faut, de plus.
connaître a' en a. Or, si i*on suppose que le coefficient de
C08(l7 -h5CJ-+- A),
dans R, soit N, et que celui du même cosinus dans DA, soit e, on aura
on déterminera e par Tarticle XXIII, lorsqu'on connaîtra la forme de n, et, pour y parvenir, on cherchera d'abord la valeur de a dans la supposition de A = o; on supposera ensuite à l'expression de a la même forme dans le cas de A quelconque, avec des coefficients indéterminés, et l'on en tirera la valeur de e et, partant, celle de a'; en substituant ensuite ces valeurs de a et de a' dans l'équation (T), on déterminera les coefficients indéterminés de l'expression de a. Cette méthode suppose, à la vérité, que la valeur de a est de la même forme dans les deux cas de A = o et de A quelconque; mais il est facile de s'assurer, par les articles IX et XXIII, que cette supposition est légitime toutes les fois que la valeur de a peut être exprimée par une fonction rationnelle et entière de sinO et de cosO.
Considérons, cela posé, les différents termes de l'expression de R; on a, par l'article XXII,
R = K[cos0cosv -f-sin9sinvcos(9 — /i/ — cj)]' = Kcos'v H- JKsin'0(sin*v — acos* v)
4- aKsindcosdsinvcosvcos(/i^ -hbj — 9) \ K sin' 0 sin* v cos(a/ir -4- acj — 29).
K, V et 9 sont donnés par la loi du mouvement de l'astre en fonctions du temps /; et, si l'on développe par la méthode de l'article XXI la valeur précédente de R, on aura : i** au lieu de
Kcos*v 4-|Ksin'0(sin*v — acos'v),
une suite de termes de la forme
(K'4-K'sin«ô)co8(«V-f-A);
2^ au lieu de
a K sin d cos ô sin v cos v cos ( n^ -+- o — 9 ),
une suite de termes de la forme
K' sin d cos 9 cos (1/ m-bj -h A);
3** au lieu de-
{ K sin* 0 sin' V cos (2/1/ -+- 2bj — aç),
une suite de termes de la forme
K'sin*6cos(i7 h- arar-f- A),
K\ K" et A étant des coéfBcients constants quelconques. La valeur de i sera peu considérable par rapport à n dans les termes de la première forme; car on aurait < = o si Tastre attirant n*ayait aucun mouvement dans son orbite, auquel cas K, v et 9 seraient constants; donc, les mouvements du Soleil et de la Lune dans leurs orbites étant beaucoup moindres que le mouvement de rotation de la Terre, i est très petit par rapport k /i, et il résulte de l'article XXI que, si Ton considère l'orbite de Tastre comme circulaire, i est égal à zéro ou à 2/72, mt exprimant son moyen mouvement. Dans les termes de la seconde forme, i diffère très peu de /i, et cette différence est, par l'article XXI, zéro ou 2m, dans le cas de la circularité de l'orbite; enfin, dans les termes de la troisième forme, i est peu différent de 2/1, et cette différence est encore zéro ou 2m, dans le cas ou l'orbite de l'astre est circulaire. Nous pouvons donc ranger dans trois classes différentes les termes de l'expression de R et, par conséquent, ceux de j; la première comprend les termes de la forme
(K'-HK'sin=0)cos(i7-4-A);
ces termes sont indépendants de cr, et la longueur de leur période est proportionnelle au temps de la révolution de l'astre dans son orbite; la seconde classe comprend les termes de la forme
K' sin 9 cos d cos (1/ h-cj-h A),
dont la période est d*un jour à peu près; la troisième comprend les
termes de la forme
K'sin'0cos(i7 -i- 2w -f- A),
dont la période est d'environ un demi-jour. Nous allons discuter séparément ces termes et leur influence sur le flux et le reflux de la mer.
Examen des termes de la première classe.
Les termes de cette classe que renferme Texpression de R et qui» comme nous venons de le voir, résultent du développement de
K cos' 6 cos* V -H J K sin' 0 sin* v
ou de
Kcos*v H- |Ksin*^(sin*v — 2C0S*v),
sont visiblement de la forme
(K'-f-K'sin«(?)cos(iV-f-A).
En représentant donc, comme ci-dessus, par a, a' et e les coefficients de cos(// -h A) dans j, y et DA, on aura, par Tarticle précédent,
a't=Ia----(K'-HK^r«).
De plus, il faudra supposer s = o dans Téquation (T), et, comme i est très petit par rapport à /i, on pourra y négliger i, eu égard à /i*. Si l'on considère ensuite le sphéroïde terrestre comme un ellipsoïde de révolution, la profondeur de la mer sera 1-+- y sin*6, en sorte que Ton aura
y — I -f- y sin'ô, ce qui donne
q étant un coeflicient constant quelconque très petit et du même ordre
que /; l'équation (T) deviendra ainsi
Pour y satisfaire, supposons Nous aurons, par Farticle XXIII,
partant,
En substituant ces valeurs de a et de à dans l'équation (T'), et comparant les coefficients des différentes puissances de a?, nous aurons une suite d'équations dont la (r 4- 3)"™* sera
l^(A(r+«).A^'--^-*)) = (ar-f-6)MA('*-»-»)-?^ j
— (ar 4- a) (ar 4- 3) | /^AC-^»)— ^^^
Si Ton suppose que la suite A 4- A^^^o?* -f- A^^^o?* h- . . . se termine après le terme W-^^^ x^^'^'^ ^ on aura, non seulement
mais encore
De plus, on a par l'article XXIII
OEMpres de L. — IX. a6
l'équation précédente donnera ainsi
Or» si Ton nomme A^*' la densité moyenne du sphéroïde terrestre, on a à très peu* près g = ^ttA^*- ; on aura donc
^['-avTsysi']^'"'*-^^''-^^^
On déterminera ensuite A, h^*\ h^^\ . . . , A^''"*"'^ au moyen des r-4- 2 équations que donne la comparaison des coefficients des puissances de x. Si Ton prend un grand nombre de termes dans la suite
ou, ce qui revient au même, si Ton suppose r considérable, on aura à très peu près q = o, en sorte que la valeur de a, que Ton déterminera par la méthode précédente, sera la même à très peu près que si la profondeur de la mer était constante; cette méthode peut donc servir à trouver des valeurs approchées de a, dans cette hypothèse de profondeur qui, comme nous le verrons dans l'article suivant, est à peu pr%s celle de la nature : il n'est pas même nécessaire de prendre pour r un très grand nombre, car, en faisant par exemple r = 10, on a
or cette valeur de 9, étant du même ordre que ( — ) > peut sans erreur sensible être supposée égale à zéro.
Il est essentiel de prévenir ici une difficulté fondée sur ce que la masse entière du fluide doit rester constamment la même, ce qui exige, ainsi que nous l'avons remarqué dans l'article XII, que la double intégrale
f / y9\nQdB(hs
soit nulle. Or il est nécessaire pour cela que Ton ait dans les mêmes limites
f asin0cos(i/ -h A)ddchn
et, par conséquent,
o =r / asïnOdd;
en substituant au lieu de a sa valeur que nous venons de trouver, il semble qu'il doit en résulter une nouvelle équation entre les coefficients A, A^*\ h^^\ . . . , et, comme on a déjà entre ces mêmes coefficients un nombre d'équations suffisant pour les déterminer, en substituant dans la nouvelle équation leurs valeurs connues, on aura une équation de condition entre les.quantités /i, /, A et A<*^ en sorte que la solution précédente ne parait pas s'étendre au cas général où ces quantités sont quelconques.
Cette difficulté cessera d'en être une si nous faisons voir que, lorsqu'on aura déterminé a par la méthode précédente, la quantité
asinO/fO s'évanouira d'elle-même; pour cela, reprenons la première des équations (Z) de l'article précédent, et observons que, dans le cas présent, elle devient
partant.
i*— 4'* COS&*
f asinO^re
soit nulle lorsque 6 = o, et comme on a dans ce cas
, âa'
on aura
20i RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
asinOtf^O (levant se terminer lorsque 0 = ir, on a encore dans ce cas
partant» on aura
Jf asin^dfOzro,
pourvu que la valeur de a soit telle qu'elle satisfasse à Téquation (T'); d'où il suit que la condition d'une quantité de fluide toujours constante est remplie par la nature même des équations qui nous servent à déterminer les coefficients A, A^'\ A^*^ ....
L'analyse précédente suppose que, dans cos(ii + A), i n'est pas exactement nul; mais il est facile de s'assurer que l'expression de R renferme des termes de la forme
(K'4-K'x«)cosA.
Pour déterminer la partie de l'expression de y qui répond à ces termes, il faut recourir aux équations (Z) de l'article précédent et y supposer i == o et 5 = o; elles se réduisent alors, quel que soit z^ aux deux suivantes
a^m^^^l- et o = ^^>
d'où l'on tirera facilement, comme dans l'article XII,
en sorte que la partie de l'expression de y qui répond aux termes de la forme (K'-+- Ylx^) cosA dans R est
— K'cosA ,0 fl.
^'^ — 7 2r5T(" + 3cos2^).
On voit par là que les suppositions de i = o et de i très petit donnent
pour a des résultats entièrement différents» et que ces résultats sont sensiblement les mêmes pour toutes les valeurs de ù quelle que soit leur petitesse, pourvu qu'elles ne soient pas nulles; mais il est très essentiel d'observer ici que» les oscillations du fluide qui dépendent des termes de la forme cos(iV + A) étant extrêmement lentes, les résistances en tout genre que le fluide éprouve doivent les dénaturer d'autant plus que leurs périodes sont plus longues, de manière que l'on peut supposer à i une si petite valeur que, sans être exactement nulle, elle donne cependant pour a la même quantité que la supposition de i = o. Nous sommes déjà parvenus à ce résultat dans l'article XXI en supposant que le fluide éprouve une légère résistance proportionnelle à la vitesse; on peut s'en assurer encore a priori de la manière suivante.
La partie de l'expression de y qui répond aux termes
K cos* B cos* V H- { K sin' Q sin' v
de l'expression de R représente les oscillations de la mer dans le cas où elle serait attirée par quatre astres dont les masses seraient chacune le quart de la masse de l'astre S et qui, placés aux mêmes distances que lui de l'équateur et du centre de la Terre, auraient des mouvements entièrement semblables, le premier se confondant avec l'astre S même, le second en étant constamment à go^ de distance en longitude, le troisième à i8o^ et le quatrième à 270^; en efi*et, si, dans l'expression
K [cos6 cosv 4- sinô sinv cos (9 — /ir — cj)]'
de R, on change S en |S, ou, ce qui revient au même, K en ^K; que Ton y fasse successivement ç égal à ç, à ç -f- 90**, ç -f- 180®, ç 4- 270®, et que l'on ajoute les quatre valeurs de R qui en résultent, il est visible que leur somme sera
K cos* 0 cos« V 4- 1 K sin* B sin« v.
Il suit de là que, si les quatre astres dont il s'agit ne changeaient ni de parallèle, ni de distance au centre de la Terre, quel que fût d'ail-
a06 RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
leurs leur mouvement, le fluide soumis à leur attraction finirait à la longue par prendre Tétat d'équilibre, et, comme alors K et v seraient constants, on aurait par ce qui précède
K(co8»v — Jsin'v), , ^..
r= --^-- ^-j-v— '(i-f-3cosaô).
Supposons maintenant que T soit le temps nécessaire au fluide pour se mettre en équilibre, en vertu des résistances qu'il éprouve et en partant d'un état donné, et que, dans cet intervalle, K et v changent extrêmement peu, il est clair que, lorsque, après un temps considérable, K et V auront éprouvé un changement sensible et seront devenus *K et *v, le fluide prendra Tétat d'équilibre qui convient aux nouvelles quantités *K et *v, et qu'ainsi l'on aura
r= — ^ — ^^— — ^(i4-3cosae);
on peut donc employer alors généralement l'expression
K(co8*v — 4sin'v), , ..
y = -^ 3^ V (' + 3 cosaô),
K et V étant considérés comme des fonctions du temps i, qui varient très peu durant le temps T. L'exactitude du résultat précédent dépend de la petitesse de ces variations et de l'intensité de la résistance; le moyen le plus simple de juger de cette exactitude dans un cas donné est d*imaginer d*abord les quatre astres précédents mus dans le plan de l'équateur, et le fluide en équilibre, de transporter ensuite par la pensée ces astres sur le parallèle le plus éloigné de l'équateur auquel ils puissent parvenir et de les faire mouvoir sur ce parallèle jusqu'à ce que le fluide ait pris l'état d'équilibre qui convient a ces nouvelles positions; si le temps nécessaire au fluide pour prendre ce nouvel état d'équilibre est beaucoup moindre que celui que les astres emploient à
parvenir de Téquateur à leur plus grande déclinaison, on pourra, sans erreur sensible, faire usage de la valeur précédente dey.
Quoique nous ignorions la loi des résistances que la mer éprouve, il est'cependant très vraisemblable que ce temps serait considérablement plus petit que trois mois, et qu'il n'excéderait peut-être pas douze ou quinze jours : on peut donc supposer, relativement au Soleil, que la partie de Texpression dey qui répond aux termes
K cos' 6 cosv -H i K sin* 0 sin' v
est
K(cos'v-— |sin*v)
(i 4-3cos2^).
Cette supposition est moins exacte pour la Lune à cause de la rapidité de son mouvement; mais, vu l'ignorance où nous sommes sur la nature et la loi de résistance qu'éprouvent les eaux de la mer, il parait impossible de fixer par la théorie la valeur dey correspondante à ces termes ; nous nous en tiendrons conséquemment à la précédente, l'erreur qui en résulte étant de peu d'importance dans la théorie du flux et du reflux, puisqu'elle ne peut influer sensiblement que sur les hauteurs absolues des eaux, relativement aux différentes déclinaisons de la Lune, et nullement sur les différences de la haute à la basse mer.
Excunen des termes de la seconde classe.
Les termes de la seconde classe que renferme l'expression de R, et qui, comme nous l'avons vu, résultent du développement de
2 K sin V cosv sinO cos0 co8(n£ -+- «y — 9),
sont de la forme
K' sind cosd cos( ir 4- w -f- A);
il faut donc supposer 9 = 1$ dans l'équation (T) de l'article XXIV, que
ao8
Ton pourra mettre ainsi sous cette forme
= — Igz l'a?' ^i — x'
dx
/l' IffZ ix^ ( I J?' )' -r— T-
-\- l^n}lgzix'^{
dx^
or, si l'on y suppose, comme dans l'article précédent,
et que l'on fasse
a = sineco8e(/4-/(*) sin'O -4-/0 gin^e -h. . .-^/c) sin^-ô),
il est aisé de s'assurer, par un calcul analogue à celui de l'article précédent et par quelques considérations fort simples sur la formation de l'équation (T), qu'elle sera satisfaite, pourvu que l'on ait
irv
ce qui s'accorde avecce-que nous avons trouvé par une autre méthode, dans l'article XVI; quant à la condition d'une quantité de fluide toujours constante, ou, ce qui revient au même, à l'équation
tic ^IIC
/ y^inBdBdWf
elle est évidemment satisfaite, parce que l'on a
/lie
cos(if -f- BJ H- A)rfiny = o;
mais» pour ne pas nous embarrasser ici dans des calculs inutiles, nous
supposerons, conformément à ce qui a lieu dans la nature, que e est à peu près égal à /i, en sorte qu'en cherchant à satisfaire à l'équation (T) nous négligerons la différence i — n. Cette équation deviendra ainsi
Igza' [i6^«(i — a:») — 3(3 — 4^')]
or on peut y satisfaire en supposant ,
a = / sin 0 cos B = fx v/i — x%
car alors on a, par l'article XXIII,
l'équation
a'z=a sin0 cos0
donnera donc En supposant donc, dans Téquation différentielle précédente,
Z=X-hjX*,
et en y substituant ces valeurs de a et de af, on trouvera facilement qu'elles y satisfont, pourvu que l'on ait
Il suit de là que la partie de l'expression de j qui répond au terme
Œuvres dt L, ^ W, ^7
âlO UECIIERCIIES SUR PLUSIEURS POINTS
K' sinO cosO cos(i/ 4- cj h- A) de Texpression de R est à trfes peu près
rt ce résultat est d'autant plus exact que i diffère moins de /i.
Si Ton désigne par £K' sinO cosO cos(i/ + o + A) la somme de tous les termes de la forme
K'sin9cosdcos(<7 -f-ci 4- A)
(|ue donne le développement de R, et par Y la partie de l'expression de j^, correspondante à cette somme, on aura
Y= -. i|^j-r 2K'sin9cosecos(i7 4-BJ-^A);
or tous les termes de la forme
K'sin9co89cos(i7 -f-BJ4- A), dans R, venant du développement de
aK sinv cosv sînd cosd cos(/ir + gj — 9), on a
lK'sin0cos9cos(i/4-BT4- A)= aKsinycosvsmdcosdcos(/ir 4-Tir — 9);
donc
^ ^KûTsinv cosvsindcosd
Y= — ^ j^gp^ cos(/ir-f-Bj— 9),
équation à laquelle on serait directement arrivé, en n'ayant point égard aux variations de K, v et f , et qui, par cette raison, est d'autant plus exacte, que ces variations sont moindres dans un temps donné.
La valeur de Y est la plus grande possible, lorsque /i£ + o — 9 est égal à zéro ou à 180^, et par conséquent lorsque l'astre attirant passe au méridien de Tendroit où l'on observe, et si la plus grande valeur positive de Y a lieu lors du passage de l'astre dans la partie supérieure
du méridien, sa plus grande valeur négative aura Heu lors du passage de Fastre dans la partie inférieure du méridien, et réciproquement. La différence de la plus grande valeur positive de Y à sa plus grande valeur négative, ou, ce qui revient au même, le double de la plus grande valeur positive, donne conséquemment la différence des deux marées d'un même jour, qui sera d'autant plus grande que le coefficient 4 ysinvcosvsin cos ^^^^ ^^^^ considérabk ; or, les observations ayant
fait voir que cette différence est extrêmement petite, on doit en conclure que ce coefficient est très petit lui-même, ce qui suppose à g une valeur nulle ou presque nulle, et comme la profondeur de la mer est égale à /+ ^sin^O, il en résulte que, pour satisfaire aux phénomènes du flux et du reflux, cette profondeur doit être à très peu près constante, ce qui s'accorde avec ce que nous avons trouvé dans l'article XIX.
Il résulte des observations faites dans nos ports que, dans les syzygies, la marée de dessus est Tin peu plus grande en été, et un peu moindre en hiver que celle de dessous, ce qui demande que
y TÂ""\ ^^'^ ^"^ quantité positive; or le dénominateur
^9s{^'^ 5Â<^) "■ ^^ étant nécessairement négatif à cause de la petitesse de 9, Te numérateur doit être pareillement négatif, ce qui semble indiquer, comme nous l'avons déjà observé dans l'article XIX, que la mer est un peu plus profonde aux pôles qu'à l'équateur; mais la différence des deux marées d'un même jour, n'étant tout au plus que ^ dr leur hauteur absolue, est du même ordre que la différence i — /i, que nous avons négligée dans l'équation (T); il pourrait donc arriver qu'elle fût le résultat de la petite correction qu'exige la supposition dei = /i, dans le cas oii la profondeur de la mer est constante. Un moyen très simple de s'en assurer est de calculer les différents termes de la valeur de Y, en supposant, dans l'équation (T), i quelconque par '
rapport k nclz = X'h^x*; car nous avons vu que l'on pouvait tou-
212 KECIIEKCilES SUK PLUSIEURS POINTS
jours avoir une expression finie de ces termest dans le cas où
or, pour peu que r soit considérable, cette valeur de q se réduit k très peu près à zéro, et Ton a le cas d'une profondeur constante; mais il serait inutile d'entreprendre ce calcul, qui n'a d'autre difficulté que sa longueur, parce que les petites corrections qui en résulteraient sont du même ordre que celles qui sont dues au frottement et à la ténacité du fluide, auxquels il n'est pas possible d'avoir égard, vu l'impossibilité de connaître la loi de ces résistances. Nous pourrons donc considérer dans la suite, sans craindre aucune erreur sensible, la profondeur de la mer comme constante et égale a /; dans ce cas, on aura à
très peu près Y = o et a'= ^^-sinvcosvsinOcosO; d'où Ton conclura, par l'article XXIV,
b=: — -sinv cosvsin(?,
2K . cos9
/i* SI II 5
il suit de là que, si l'on nomme u et U les parties de i£ et de ç qui correspondent aux termes de la seconde classe de l'expression de R, on aura
u =z — 7SIIIVCOSV COS(/l/ + T7 — 0),
2K . cosO .
tr
U = rsinvcos
En considérant avec attention ces expressions de u et de U, il est aisé de voir qu'en n'ayant égard qu'au terme
2Ksinvcosvsin5cos(?cos(/i^4-w — o)
de l'expression de R, et à la forcp que ce terme représente, les molécules fluides se meuvent à très peu près comme si elles étaient isolées, en sorte qu'elles n'ont aucune réaction sensible les unes sur les
autres. Imaginons, en effet, une tranche de fluide comprise entre deux méridiens et deux parallèles infiniment proches; il est clair que, la valeur de u étant la même pour toutes les molécules situées sous le même méridien, la largeur de la tranche dans ce sens restera toujours la même; mais, à mesure que le fluide coule vers Téquateur, T^space
compris entre les deux méridiens augmente, d'où il suit que, la lar-
geur de la tranche augmentant dans le sens du parallèle, le fluide devrait s'abaisser, si, en vertu de la vitesse des molécules de cette tranche dans le sens du parallèle, les deux méridiens qui la renferment ne tendaient pas à se rapprocher et à diminuer sa largeur dans le sens de la longitude; or il est facile de s'assurer que la diminution que 'reçoit cette largeur, par la valeur de U, est égale à l'augmentation qu'elle reçoit par le mouvement de la tranche vers l'équateur; d'où il suit qu'elle est toujours constante dans le sens du parallèle, et qu'ainsi la hauteur de la tranche n'est point sensiblement altérée par le mouvement du fluide; c'est la raison pour laquelle, dans le cas où la profondeur de la mer est constante, la différence des deux marées d'un même jour est presque insensible. Je me suis un peu étendu sur ce phénomène, parce qu'il est très important dans la théorie des marées et que d'ailleurs il est entièrement contraire à la théorie connue du flux et du reflux de la mer; pour le faire sentir d'une manière frappante, déterminons, d'après cette théorie, pour la latitude de Brest, qui est de 48*^22'55'\ la différence des deux marées d'un même jour, lorsque le Soleil et la Lune ont 20^ de déclinaison méridionale et sont en opposition ou en conjonction.
Si l'on prend pour unité la différence de la marée de dessus à la basse mer, on aura, par l'article XIX, suivant la ihéorie ordinaire,
I M- ^'"^^,^oo — ?4r7— pour la différence de la marée de dessous à la
COS Oo 22 33
basse mer; or, cette quantité étant égale à 5,708, il en résulte que la différence de la marée de dessous à la basse mer est près de six fois plus grande que celle de la marée de dessus à la basse mer, et cette différence serait plus considérable encore si le Soleil et la Lune avaient
une plus grande déclinaison méridionale : cependant une suite d'observations faites avec soin pendant plusieurs années donnent ces différences presque égales pour les deux marées (voir les Mémoires de V Académie pour V année 1714)- M- Daniel BernouUi, dans l'article XI (le son excellente pièce sur le flux et le reflux de la mer, cherche à rendre raison de cette égalité des deux marées d*un même jour par le mouvement de rotation de la Terre, qui, suivant ce grand géomètre, est trop rapide pour que les marées puissent s'accommoder aux résultats de la théorie. Mais il suit de ce que nous avons dit dans Tar- Hcle XIX : 1^ que, malgré la rapidité du mouvement de rotation de la Terre, les deux marées d'un même jour pourraient être fort inégales, si la mer n'avait point partout la même profondeur; 2® que, dans le' nas où elle a une profondeur constante, ces marées pourraient être encore très inégales, si l'on supposait la Terre immobile, en transportant en sens contraire au Soleil et à la Lune, son mouvement angulaire de rotation; on pourrait cependant dire alors, avec M. Bernoulli, que la rapidité du mouvement de ces deux astres empêche les marées de s'accommoder aux conclusions de la théorie. Il me parait résulter de ces considérations qu'il n'y avait qu'une explication fondée sur un calcul rigoureux, tel que celui que nous avons donné dans l'article XIX et dans celui-ci, qui pût mettre à l'abri de toute objection à cet égard le principe de la gravitation universelle.
Examen des termes de la troisième classe et conjectures sur la profondeur moyenne de la mer.
Les termes de cette classe que renferme l'expression de R, et qui, comme nous l'avons vu, résultent du développement de
|Ksin'0sin*ycos(a/i/-l- 201 — 29),
sont de la forme
K'sin'ôcos(i7 -h 2514- A);
il faut donc supposer 5 = 1 dans l'équation (T) de Tarticle XXIV; or, si l'on y suppose, comme dans les articles précédents,
^ ^— /y» t i /if<M
et que l'on fasse
il est aisé de s'assurer, par un calcul analogue à celui de l'article XIV, qu'elle sera satisfaite, pourvu que l'on ait
gn*
ce qui s'accorde avec ce que nous avons trouvé d'une autre manière dans l'article XVI, et, comme on a
/ ' cos(iY-4- aw4- A)</bj = o,
la condition d'une quantité de fluide toujours la même est nécessairement remplie.
En suppQsant r un nombre un peu considérable, on aura, à très peu près, le cas d'une profondeur constante; ce dernier cas étant celui de la nature, on peut donc déterminer d'une manière très approchée, par la méthode précédente, les oscillations de la mer dépendantes des termes de cette troisième classe, quelles que soient la densité A et la profondeur /.
I différant très peu de 2/1, on peut, comme nous l'avons fait dans l'article précédent, relativement aux termes de la seconde classe, n'avoir aucun égard aux variations de K, v et 9 dans le terme
|Ksin'0sin*vcos(2/i^4- 2BJ — 29);
on n*aura ainsi qu'une seule valeur de a à calculer, et l'expression de y 9 correspondante à ce terme, sera
acos{2nC-h 2BJ — 29);
elle sera à son maximum lorsque 2/1/ + 2C7 — 29 sera égal à zéro ou a iiSo""; (1*011 il suit que, si la plus grande valeur positive a lieu lors du passage de Tastre par le méridien, sa plus grande valeur négative aura lieu environ six heures après : le double 2a de la plus grande valeur positive de celte expression donnera donc la différence de la haute à la basse mer. Or, si la profondeur /influait d'une manière sensible sur la valeur de a, on pourrait par des observations exactes sur les marées, faites dans les mers libres et loin des continents, déterminer avec assez de précision la profondeur moyenne de la mer, sur laquelle on n*a formé jusqu*ici que des conjectures vagues et incertaines : cette considération mérite d*autant plus d'attention, que nous n'avons peutêtre que ce seul moyen pour connaître un élément aussi important de la théorie de la Terre; c'est ce qui me détermine à donner ici le calcul des hauteurs des marées pour différentes profondeurs; je ferai, pour plus de simplicité, abstraction de la densité de la mer, parce qu'elle n'est pas bien connue, et que d'ailleurs, d'après les observations faites sur les attractions des montagnes, elle parait être beaucoup moindre que la densité moyenne de la Terre, en sorte qu'en la regardant comme nulle nos résultats s'éloigneront moins de la vérité que les observations auxquelles on pourra les comparer, et qui, dans les mers les plus libres, sont modifiées par un grand nombre de circonstances étrangères. Pour déterminer présentement le terme
de l'expression de y qui correspond au terme
— sin'v sin'î;cos(3#i/ -h aw — 25)
de l'expression de R, on pourra faire usage de la méthode que nous avons indiquée ci-dessus; mais on peut le trouver plus simplement de la manière suivante. Pour cela, nous observerons que la supposition de A = o donne, par l'article XXIV,
a=L a sin'v sin'5;
de plus, rhypothëse d'une profondeur constante revient à faire s = x dans l'équation (T) du même article; si l'on y suppose ensuite s z= 2 et i = 2/1, et que, pour abréger, l'on fasse
an' , Ksin'v ^ -7— HZ (i el =1: 6,
elle deviendra
(R) oi=a?*(i — ^') -p^ — j? 3 2a(4 — x'— fjLj?*) 4- 4^^*-
Pour satisfaire à cette équation, supposons
nous aurons généralement, entre les coefficients Téquation
o = A(''-^*H2'**-t- 2'* — 4) — At'*U2/-*— r — 1) 4- juiA('*-»J.
Cette équation est aux différences finies du second ordre, et Ton déterminera les deux constantes arbitraires de son intégrale au moyen des valeurs de A et de A^*^; or la substitution de l'expression de a dans l'équation (R) donne A = o et A^'^ = ^ 6; il reste présentement à intégrer l'équation précédente, ce qui parait très difficile; nous nous bornerons ainsi à déterminer successivement, au moyen de cette équation, les valeurs de SS^\ A^^ , —
En y faisant r— i, A = o et A^'^=: ^6, on trouve l'équation identiquelo = o; en y faisant r = 2, on a
o = 8A<') — 5At«^4-fJLA<>>,
équation au moyen de laquelle on déterminerait A^'\ si Ton connaissait A^'^; si Ton fait r — 3, on aura
o — 2oAt*J - i4 A<») 4- fxAt»),
équation au moyen de laquelle on déterminerait A^^^ si l'on connaissait A^'^; on verra de la même manière que la connaissance de A^*^ dé-
OEuvres de £.. — IX. 28
pend (le celle de A^^^ et ainsi de suite à Tinfini, d'où il semble impossible d*âvoir la valeur de A ; voici comment on peut résoudre ce cas singulier qui peut se présenter dans d'autres circonstances.
Supposons que la suite An- A^*'a?*-h A^*^j?*-h A^'*ar*-h. .. se termine après le terme A^''"*^*^^:*''''*, ou, ce qui revient au même, supposons A^'^"*"^^= o, A^''^'^ = o, A^*""^*' ~ G, . . ., nous aurons les équations
. or:: 8A<»>- 5 Af*> -H fX A<'\
o^aoA<*>- i4A^'>-+-juiA<*>, or-36A(»>-37A<*>-rjuiA<»s
o= A<'-+»>[a(r — i)»-i-6(r — I)] — A<'')[a(r — i)«H-3(r-i)]-hjuiA^'-«\ o:-. — A^'-^»U2r*-+-3r)4-fjLA<''), \ o=:fjLA('-^'';
en faisant abstraction de la dernière de ces équations, on aura un nombre r d'équations au moyen desquelles on pourra déterminer les r quantités X^'\ A^'\ A^*\ . . ., A^'''*"*^ et si Ton suppose
^(r-i)3(^ i)»-f-3(r— O — afx
^(r-i)-- 3(^ Q)'-f- 3(r — a) — îjui
^^r-.)= 2(;. 3)»^ 3(^ - 3) - afjL
on aura
A'" -jI^,A"-«'.
on aura donc
2^(I)^(«)^(3)...|jL(r)
Ces valeurs de A^'\ A^•^ A^*^ ... satisfont aux équations (/), si Ton excepte la dernière de ces équations; mais, si Ton ajoutait au second
membre de Téquation (R) le terme ^^]^ ^^J jtj» il est visible que
cette dernière équation se changerait dans la suivante
!- u uKi»'-^^)
ce qui donnerait pour A^*"^*^ la même valeur que précédemment; d*oii il suit que l'équation finie
satisfait exactement à l'équation différentielle
o r=a?'(i — ^ )'r~i ""^3 2a(4 — x^ — fxx^) -h ^6x^
dx^ âx '^ r- / ■ -t ^(n|UL(«)...^(n
Si le terme ^7) (d tF) é*^** extrêmement petit, on pourrait, sans
fX fX . . . fX
erreur sensible, employer l'équation précédente au lieu de l'équation (R), et l'erreur serait d'autant moindre que ce terme serait plus petit; or, quel que soit (x, il est facile de s'assurer que l'on peut toujours supposer à r une telle valeur que ce terme soit moindre qu'au-
cune grandeur donnée, en sorte que ^^^ {,, ^^ devient infiniment
petit lorsque r est infini.
Pour appliquer la théorie précédente à des profondeurs détermi-
nées, nous choisirons celles qui répondent à (x = 2o, (x = io, (x = 5
et (X — |; (X étant égal à -jr^ "^ profondeur / de la mer sera, dans ces
quatre hypothèses, — , r— » ^: — > — ; or on a, comme on sait,
et le rayon de la Terre que nous avons pris jusqu'ici pour unité est de 144s lieues, à raison de i3 573 pieds, ou d'environ 2262 toises par lieue; d*où il suit que la profondeur de la mer relative aux quatre valeurs précédentes de [x est de ^ lieue, de i lieue, de 2 lieues et de 4 lieues. Considérons d'abord le cas de [x = ao, ou d'une demi-lieue de profondeur.
Si l'on supposer^ 12, ou, ce qui revient au mèmCySiTon considère treize termes de la suite
on trouvera
At«)=r
Ai»--
Aï»*» -: 0,0040786,
At*)- -
At»2 - o,oooo3o396.
A-'-rzi-
1 rt lAWVirkA r-
. nii il toi
iHruît aîniifop à l*pniiâfî
lielle (R), pour que l'équation
a = A^»>a:-H-A<»^ar^-HAt»x«-h...-t-Af»»îa:"
y satisfît exactement, étant égal à — 2[xA''""^*^a7^''"*, est conséquemment égal à — o,oooo7viio46ic'®; or ce terme, étant excessivement petit par rapport à l\^x^, peut, sans erreur sensible, être ajouté à
a — 6sin*0
l'équation (R), en sorte que Ton doit regarder comme très approchée la valeur suivante de a :
0,5-1-10,0931 sin'0 -f-5,o582 sin*9
— 6,5523 sin*0 — 7,7244 sin'9
— 3,7290 sin*®^— 1,0987 sin*'(?
— 0,225 1 sin**^ — 0,03434 sin**(?
— 0,004078 sin"^ — 0,0003889 sin***©
— o,oooo3o39 sin- 6» —-0,000001876 sin**^ /
On peut même négliger, dans les coefficients nufliériques des dernières puissances de sinO, les chiffres qui occupent après la virgule la cinquième place et les suivantes, parce que dans le calcul des coefficients des premières puissances de sinô nous n'avons porté l'exactitude que jusqu'aux dix-millièmes inclusivement, ce qui est plus que suffisant dans ces recherches.
Si l'on se rappelle maintenant ce que nous avons dit dans les articles XXV et XXVI, il est aisé d'en conclure que l'on a généralement, dans la supposition de A = o,
aK , , 1 . • X i-h3co82 9 , ^ ,
«/= — (cos'v — Jsm*v) p h (xa cos {2 nt-^ 201 — 29);
or, en supposant que les quantités K, v et 9 sont relatives au Soleil, et que h exprime sa moyenne distance à la Terre, et mt son moyen, mouvement, on a, par la théorie des forces centrifuges.
partant.
3S 3ai« /my 3 ^^^
^Â^ = Ï7 ( n ) = r^^(mjr = o,T>oooooo3889.
Cette quantité est une fraction du rayon de la Terre que nous avons pris pour unité; pour la réduire en pieds, il faut donc la multiplier par le nombre de pieds que renferme ce rayon, c'est-à-dire par
1445 X 13573 pieds; on aura ainsi
et il faudra faire varier cette quantité réciproquement comme le cube de la distance actuelle du Soleil à la Terre au cube de sa moyenne distance.
Si l'on nomme ensuite e le rapport de la masse de la Lune, divisée par le cube de sa moyenne distance k la Terre, à la masse du Soleil, divisée par le cube de sa moyenne distance, on aura, pour la Lune,
quantité qu'il faudra faire varier encore réciproquement comme le cube de la distance actuelle de la Lune au cube de sa moyenne distance; il suit de là que, si l'on désigne par v' et 9' pour la Lune les quantités que nous avons nommées v et 9 pour le Soleil, on aura, en vertu des actions réunies de ces deux astres, dans le cas où la mer n'a qu'une demi-lieue de profondeur et où, par conséquent, (x =: 20, .
