o,ooo
L'instant de la haute mer est ici, comme dans le cas précédent» celui du passage des astres par le méridien, et l'on trouve, dans les mêmes suppositions que ci-dessus, 5^,1 87 pour la différence de la haute à la basse mer à l'équateur. Ces résultats étant assez conformes à ce que l'on observe, nous n'avons aucune raison de rejeter une profondeur moyenne de quatre lieues; mais, si la différence 5p,i37 paraissait trop considérable, il faudrait admettre alors une profondeur plus grande que quatre lieues; car, en augmentant la profondeur de la mer ou, ce qui revient au même, en diminuant la valeur de [x, on a de plus petites marées. Pour le faire voir, considérons la loi des valeurs de l^c)^ p,(r-i)^ ^c-i)^ . . il est facile d'en conclure que, si, dans le cas de (jL = i, toutes ces valeurs sont positives jusqu'à (x^'""'^ inclusivement, dans le cas de (x = « — /, elles seront encore positives et plus grandes que dans le premier cas, si l'on excepte cependant la valeur de (x^'"^ qui, dans ces deux cas, est égale à 2r^ -f- 3r; car [x^''"*^ par exemple,
étant égal à 2(r— i)'-H 3(r— i) — 2[x^^""'^ ^^.^ > augmente
lorsque fx diminue, puisque la partie négative — 3[x^^ ""'^ — ^^.^ ^
est d'autant moindre que [x est plus petit. Il suit de là que, les valeurs de [fS''\ (x^''"*^ (x^''~^\ . . . ayant été trouvées positives dans le cas de (jL = 5, lorsque [x sera moindre que 5, ces valeurs seront encore positives et deviendront d'autant plus considérables que [x sera plus petit, et comme on a
et
il est clair que, tant que [x sera égal ou au-dessous de 5 ou, ce qui est la même chose, tant que la profondeur moyenne de la mer sera égale ou au-dessus de deux lieues, la valeur de a, dont dépend la différence de la hauteur des marées, sera positive et deviendra plus petite lorsque cette profondeur sera plus grande; mais cette diminution de la valeur de a a des limites; car, dans le cas de [x infiniment petit, on
QEupres de L.-^ IX. 2g
aurait a = ^€x*y ce qui donnerait à Féquateur, dans les pleines et nouvelles Lunes des équinoxes, 2^,67 pour la différence de la haute à la hsisse mer; or cette différence est (art. XIX) celle que donne la théorie ordinaire.
Il résulte des calculs précédents que la profondeur de la mer influe d*une manière très sensible sur la hauteur des marées, et qu'elles sont susceptibles à Téquateur de toutes les variétés possibles, par la seule variation de cette profondeur; nous allons déterminer ici ces variétés pour toutes les valeurs de [x comprises entre [x = 20 et (x = o, ou, ce qui revient au même, pour toutes les profondeurs de la mer égales ou plus grandes qu'une demi-lieue.
Pour cela, nous observerons d'abord que si l'on nomme B et B^*' les
valeurs de a et de ^ à l'équateur, ou lorsque a? = i, l'équation (R) donnera, en faisant a? = i,
(1) — B«»> — aB(3 — /jL)-h46 = o.
Nous observerons ensuite que, dans le cas où [x = 20, toutes les valeurs de [tS''^ sont positives, excepté celles de fx^'^ et c'est pour cela que les valeurs de A^''^ sont toutes négatives lorsque r est plus grand que 3 ; donc, si (x = 20 — /, toutes les valeurs de (x^''^ au-dessus de fx^•^ seront positives et plus grandes que lorsque [x = 20; or on a
|UL(«)=i4^
^(.,= 5 8(ao--/)^g 8
ao— /""fT"
Cela posé, si, lorsque (x=2o— /, (x^*^ est négatif, il sera moindre que dans le cas de [x = 20, car (x^*^ étant positif et plus grand dans le premier de ces deux cas que dans le second, la partie négative
— 36 ^"^Z sera moindre dans le premier cas. La valeur de fx^*^ sera
alors évidemment positive dans les deux cas; celle de [x^'^ sera pareillement positive, car la quantité négative — 7 est visiblement
20—/ "" JI<») moindre dans le cas de (x = 20 — / que dans le cas de (jl = 20; donc,
la valeur de (x^*^ étant positive dans ce dernier cas, elle le sera à plus forte raison dans le premier.
Si, lorsque (jl = 20 — /, (jl^'^ est positif et [tS*^ négatif, il est clair que [x^*^ sera positif; d'où il suit généralement que, [x étant égal ou au-dessous de 20, il ne peut y avoir qu'une seule des valeurs de (x^'"^ négative, et cette valeur ne peut être que [x^*^ (x^^^ ou fx^'^; l'expression de a ne peut donc être alors que de l'une des quatre formes suivantes
/, /^*\ f^K . . . étant des quantités positives.
Dans tout l'intervalle compris entre [x = 20 et [x = 10, les trois premières formes peuvent avoir lieu; lorsque (x = 10, toutes les valeurs de (x^'^ sont positives, excepté [x^'\ et par cette raison l'expression de a est, dans ce cas, de la troisième forme; les expressions de a correspondantes aux valeurs de [x comprises entre 10 et 5 ne peuvent donc être que de la troisième ou de la quatrième forme, et, comme dans le cas de (x = 5, toutes les valeurs de fx^'"^ sont positives, elles le seront encore dans tout l'intervalle compris entre [x = 5 et [x = o, et l'expression de a sera de la quatrième forme.
Présentement, il est visible que, si l'on suppose
D sera nécessairement négatif dans le cas des deux premières formes. En substituant cette valeur de 6^*^ dans l'équation (i), on aura
d'où il suit que, lorsque, dans rintcrvalle compris entre pi = 20 et
|x = 6, la valeur de a est susceptible de Tune des deux premières
formes, B est négatif; mais, dans ce cas, l'Océan s'abaisse à l'équa-
teur sous l'astre qui l'attire, en sorte que l'instant de la basse mer est
celui du passage de l'astre au méridien. On doit donc exclure toutes
les valeurs de [l comprises entre 20 et 6 qui donneraient pour a une
valeur de la première ou de la seconde forme.
Si l'on suppose
B(»)=aB-2D,
D sera nécessairement négatif dans le cas de la troisième forme; en
substituant cette valeur de B^*^ dans l'équation («), on aura B = -r^ — ;
d'où il suit que, dans tous les cas où, [x étant compris entre 20 et 4f a est de la troisième forme, B est négatif, et qu'ainsi oh doit exclure tous ces cas; (jl étant plus grand que 5, si la valeur de a est de* la quatrième forme, elle sera, par ce qui précède, plus grande que dans le cas de [i. = j, qui, comme nous Pavons vu, donne des marées beaucoup trop fortes. On doit donc généralement exclure toutes les valeurs de (A comprises entre 20 et 5, et, par conséquent, rejeter toutes les profondeurs intermédiaires entre une demi-lieue etdeux lieues; au-dessus de deux lieues, toutes les valeurs de a sont positives, et les hauteurs des marées vont en diminuant à mesure que l'on fait croître la profondeur, en sorte que, dans la supposition de quatre lieues de profondeur moyenne, on n*a plus qu'environ cinq pieds de diiTérence à Téquateur entre la haute et la basse mer. Je n*ai point examiné le cas où \l est plus grand que 20 et où, par conséquent, TOcéan a moins d'une demilioue de profondeur, parce qu*il me parait vraisemblable que, la mer ayant recouvert autrefois des montagnes fort élevées au-dessus desquelles elle a laissé des marques incontestables de son séjour, on ne peut lui supposer moins d*une demi-lieue de profondeur moyenne.
Suivant les observations faites dans les mers libres et loin des continents aux environs de Téquateur, la hauteur des marées n'excède pas cinq pieds; il y a même tout lieu de croire que, sans la réaction des
continents» la pente des rivages et mille autres causes dont l'effet est très sensible sur nos côtes, cette hauteur serait moindre. On peut donc regarder au moins comme très probable que la profondeur moyenne de la mer n'est pas au-dessous de quatre lieues; nous pourrions prononcer avec plus de certitude sur cet objet important, si nous connaissions exactement le rapport de la densité de la mer à la densité moyenne de la Terre, et si nous avions un plus grand nombre d'observations faites avec soin dans la mer du Sud et le plus loin qu'il est possible des continents; indépendamment de l'utilité dont elles nous seraient dans la discussion présente, elles serviraient encore à nous éclairer sur un phénomène des marées, dont la théorie ne peut rendre raison, et qui me parait être l'effet des obstacles que la mer éprouve dans ses oscillations. Il résulte des formules précédentes que, dans les nouvelles et pleines lunes, la haute mer doit arriver à midi, et que le temps des syzygies est celui où la diff^érence de la haute à la basse mer est à son maximum; or on observe assez généralement que la haute mer n'arrive dans les syzygies qu'une heure ou deux après midi et que . les plus hautes marées n'ont lieu qu'un jour ou^deux après les syzygies. On pourrait cependant justifier la théorie, en considérant que nos formules ne représentent que la partie des oscillations de la mer qui est due à l'action du Soleil et de la Lune et qu'il serait possible, en ayant égard aux oscillations qui dépendent de l'état primitif de la mer, d'expliquer les retards que l'on observe dans les marées ; mais, en réfléchissant de nouveau sur les raisons qui m'ont déterminé à négliger ces oscillations, il me parait de plus en plus indubitable que, sans l'action continue du Soleil et de la Lune, les eaux de la mer seraient depuis longtemps parvenues à l'état d'équilibre, en vertu des frottements et des résistances en tout genre qu'elles éprouvent : il est donc extrêmement probable que ces retards sont l'eff^et des obstacles que les continents et les iles opposent aux oscillations de la mer, puisque sur nos côtes, où l'influence de ces obstacles est plus sensible, les retards des marées sont très variables d'un port à l'autre, et qu'en général la théorie se rapproche d'autant plus des observations, qu'elles
ont été faîtes dans des mers plus libres; d'aiHeurs les intervalles observés des marées ont à très peu près avec les mouvements du Soleil et de la Lune le rapport que donne la théorie» ce qui serait impossible si la cause de ces retards était indépendante des mouvements de ces astres et si elle n'était pas une modification de leur action sur la mer.
De V équilibre ferme des planètes.
Je terminerai ces recherches sur le flux et le reflux de la mer par quelques réflexions qu'elles m'ont donné lieu de faire sur l'état d'équilibre que les géomètres ont nommé fermey dans la théorie de la figure de la Terre. Un système de corps étant supposé en équilibre, si on le dérange infiniment peu de cet état d'une manière quelconque, l'état d'équilibre sera ferme, toutes les fois que les difl*érents corps du système ne feront que des oscillations infiniment petites autour de leurs points d'équilibre ; d'où il suit que, si l'on représente par a?, y^ s, a?', y, z\ ... les coordonnées qui représentent la position de ces corps par rapport à ces points, leurs expressions doivent être, dans le cas d'un équilibre ferme, des fonctions périodiques du temps i, ou au moins des fonctions de ce temps, telles qu'elles n'aillent pas en croissant à l'infini, et si Tune d'elles, par exemple s, renfermait un terme proportionnel au temps, l'équilibre ne serait ferme que par rapport aux autres variables. En partant de cette définition, déterminons quelles sont les conditions qui rendent ferme l'équilibre d'un fluide qui recouvre un sphéroïde de révolution tournant sur son axe.
Pour considérer cet objet avec toute la généralité dont il est supceptible, il serait nécessaire de reprendre les équations (6), (7) et (9) de l'article XXII et de les intégrer généralement en y supposant R= o et en déterminant les fonctions arbitraires de leurs intégrales de manière qu'elles satisfassent aux conditions de l'ébranlement primitif du fluide; mais, Tintégration générale de ces équations étant impossible.
au moins dans Tétat actuel de TAnalyse, nous nous bornerons ici à examiner quelques cas particuliers fort étendus.
En faisant R = o, dans les équations (6), (7) et (9), elles deviendront
d^u dç , ^ ^ ày dl^ .
d}v . -^ du . ri û ày dD .
-Tir-sin' 0-4-2/1 -y- sin0cos0=— -fi'-î^ H- ^- A; dt* dt ° (m dm
pour les simplifier» nous supposerons Tébranlement primitif tel que le fluide conserve toujours la figure d'un solide de révolution, ce qui donne
et
drs dsj
Nous supposerons ensuite que le solide recouvert par la mer est un ellipsoïde de révolution; la profondeur /y du fluide est alors égale à /■+• y sin*0, q pouvant être positif ou négatif, mais devant être dans ce dernier cas moindre que — /, autrement le fluide ne recouvrirait pas le sphéroïde à Téquateur. Les trois équations précédentes se changeront ainsi dans les suivantes :
d.(i-^Xs\n^9ju si]
sind
— -^n^sxn9cos9 = -e^ + -^à,
d}v . ,^ du , ^ ^
-y-z sm' 0 -i- 2 n -77 sm 0 cos 0 = 0. dt* dt
II est aisé de s'assurer par l'article III que ces équations subsisteraient encore dans le cas où (^ renfermerait un terme proportionnel au
temps ^, et, par conséquent, où ^ renfermerait un terme indépendant
(le /, mais que, pour leur exactitude^ il est nécessaire que ^ ^t ^
ne renferment aucun terme semblable. Pour satisfaire présentement à CCS équations, supposons
uz=zb e" -i- 6',
e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité, et a, a\
/, f\ b, b\ Cy & étant des fonctions de 0 seul; on formera les cinq
équations
c?.6'sine(n-?sin«o) a'sinO = -/ ^-^r-^ ^,
-- 2nc' sine cosO = — g -j^ -+- -^A,
0,bsm9(i-^^sm^e) as\ne = --l -W— ^ -y
de
C^b" 2/icsin0cos0i= — ^-77 4- -j^A, csin'(?4- 2/i6sin9cos0=:o.
Au moyen des deux premières équations, on déterminera deux des trois quantités a, b' et c\ lorsqu'on connaîtra la troisième; la cinquième équation donne c = — inb -7—7 ; la troisième et la quatrième
deviendront ainsi
d.bsïnefi-h^s'm^Q) as\ne=:-i Î^^-Jt i,
Supposons que Ton ait déterminé a et 6 de manière à satisfaire à ces équations, on aura, pour un temps quelconque /, les valeurs de y, u et
et 4:^ dans le cas où Tébranlement primitif a été tel qu'à l'origine du mouvement on ait eu
u-=-b-\-b', -7- =: ib.
dl
dv ,
Les équations précédentes ne renfermant que le carré de 1, il -est clair que l'on peut prendre i en 4- ou en —, en sorte que l'on peut supposer
€ étant un coefficient quelconque indépendant de 0 et de /; ce sont les valeurs de j, M, ^> qui conviennent au fluide dans le cas où l'on a à l'origine du mouvement
yma(H-6)4-fl', ^=i«a(i— ê),
dt
Si l'on voulait qu'à cette origine ^> ^ ^*' 57 fussent zéro, il faudrait supposer 6 = i et c' = — 2c.
La stabilité de l'équilibre exige en général que i^ soit une quantité négative; car il est aisé de s'assurer, par la théorie connue des exponentielles, que les valeurs précédentes de y^ ^ ^^^ "C renfermeront
alors que des sinus et des cosinus du temps /, et seront par conséquent des fonctions périodiques de ce temps, au lieu que, «^ étant positif, ces valeurs renfermeront des quantités exponentielles qui peuvent croître à l'infini, et les oscillations du fluide cesseront d'être infiniment pe-
QKuprei de X. — IX. 3o
234 RECHEllCHES SUR PLUSIEURS POINTS
tites; il faut cependant excepter le cas où» i* étant positif, on supposerait I négatif et 6 = 0; car alors la quantité exponentielle e*' irait toujours en diminuant, et le fluide approcherait sans cesse de Tétat d'équilibre.
Lorsque /* est négatif* les valeurs précédentes dey et de u sont, a la vérité, périodiques et l'équilibre est ferme relativement à ces valeurs, mais il ne l'est par rapport à i' que dans le cas où c'= o, ce qui suppose, à l'origine du mouvement, ~ = c(i 4- 6), en sorte que la stabilité de l'équilibre par rapport à r exige une certaine vitesse initiale aux molécules fluides, dans le sens de la longitude. Au reste, on peut, dans la recherche de la figure des planètes, se contenter d'un équi-
libre ferme relativement à j, u et -tj9 parce que la stabilité de l'équilibre par rapport à la flgure ne dépend que de y. Appliquons maintenant l'analyse précédente à quelques cas particuliers.
Le plus simple de tous est celui dans lequel on suppose a = Acos9; on trouvera facilement dans ce cas, par l'article XXIII,
g étant, comme on l'a vu précédemment, égal à jirA^*'; l'équation
donnera donc
et l'équation
d.bsïnefi-h^sm^e) as\n9 = ^l ^-^ -/
donnera
• fl û \ A<»v t»-h4/i«
Cette équation ne peut visiblement avoir lieu que dans le cas où
et alors elle donnera
d'où l'on tire
iLlg
et ce n*est que dans le cas où ^ a cette valeur que l'expression de a est susceptible de la forme AcosO. Si l'on veut que l'équilibre soit ferme relativement à r, on fera c'= o, partant a'= o et 6'= o; on aura ainsi
yiiz/icosô(e''H-6e-''),
(|-«-i-4/i*)(n-ySin»0^
La supposition de i^ négatif entraine nécessairement celle de A moindre
/ ni/
que A^*^ car alors l'équation q = , , , ne peut avoir lieu qu'en supposant — i^ plus grand que ^n^; autrement on aurait — q plus grand que /, ce qui est impossible. Soit donc
{'' étant nécessairement positif, l'équation
donnera
or cette équation ne peut subsister que lorsque Ton a A<A^*); dans ce cas, i^ est négatif et Téquilibre du fluide est ferme; mais, si A est plus grand que A^*\ i^ sera positif et l'équilibre ne sera ferme qu'en supposant i négatif et 6 = o dans les formules précédentes.
Dans le cas que nous venons de discuter, le fluide conserve toujours la même flgure elliptique et le même axe de révolution que lorsqu'il est en équilibre, avec cette seule difl^érence que le centre du sphéroïde fluide, au lieu de coïncider, comme dans l'état d'équilibre, avec celui du sphéroïde qu'il recouvre, en est éloigné de la quantité
d'où il suit que, dans la supposition de i^ négatif ou, ce qui revient au même, de A moindre que à^*\ le centre du sphéroïde fluide fait des oscillations continuelles autour du centre du sphéroïde recouvert par le fluide et qu'il s'en' approche sans cesse lorsque l'on a A>A^*\ pourvu que l'on suppose alors i négatif et 6 = o. Considérons présentement le cas général où l'on a
et, pour avoir un équilibre ferme par rapport à (^, supposons a'= o, i'= o et c' = o; nous aurons, par l'article XXIII, pour/A, une expression de cette forme
/A = (7 cos'* 6 4- c7<» cos'*-' 9 4- ... ,
d étant égal à ; l'équation
(*'»+4/i«cos«0)6=--^^4-^A
donnera donc
A -, qjnff (^^ — g)^CQS>-' e 4- (^/t<>) — gt')) (r — I) cos^"«g + (^/t(«)-. g(»)) (r -> 2) cos''~»e 4-. . .
i»4-A/i«-.A/i«sm«0 '
Supposons, comme précédemment, y = — ^ / ,> Téquation
d.6sin0(n-|sin»ô) asin0=:-/ ^-^^ '-
donnera
/isin0cos''0H-A<'> sin0cos''-*9-i-. . .
^ -+- r (r - i) (gh^^^ — gh — a^»^ 4- (t) cos'*-» 0 + . . .]î
en comparant les différentes puissances de cosO, on aura d'abord
^ /r(r -h i)(^/i^ g) lgr{r-^i)V 3A 1
'*" i»-h4'i' "" i»H-4/iM. rar4-i)At«0
ce qui donne
on déterminera ensuite le rapport des coefficients h^^\ h^^\ ... au coefficient h au moyen des autres équations que donne la comparaison des puissances de cosO, et A restera arbitraire.
On prouvera facilement, comme ci-dessus, que la supposition de i* négatif entraîne celle de 3 A moindre que (2r-+- i)A^*J et, dans ce cas, l'équilibre sera ferme; mais, si l'on a 3AX2r-+- I)A^*^ i^ sera positif et l'équilibre ne sera ferme qu'en faisant i négatif et 6 = o.
Si l'on suppose r= i, on aura le cas-que nous avons discuté précédemment; en supposant r = 2, on aura celui dans lequel la figure du sphéroïde reste elliptique durant l'oscillation et s'aplatit plus ou moins que dans l'état d'équilibre, qui ne sera ferme alors que dans la supposition de 3A moindre que 5A^*^ à moins que, dans la supposition contraire, on ne fasse i négatif et 6 = o.
Examinons, d'après ces calculs, les conditions que quelques géomètres ont exigées dans la recherche de la figure des planètes et les raisons sur lesquelles ils se sont fondés.
Si Ton conçoit que le fluide supposé en équilibre sur un sphéroïde elliptique prend instantanément une figure de révolution infiniment peu différente de la première, de manière que le rayan du sphéroïde tluide soit augmenté de la quantité aj, il est aisé de voir» par les articles Y et XXII» qu*il en résultera dans le sens du méridien une
force tangentielle égale à "" 5"^ -+" ^^î ^^tt® f*^^^^ tend à éloigner
^e fluide du pôle si elle est positive ou à Ten rapprocher si elle est négative. Imaginons maintenant que la figure du fluide reste elliptique et que son centre coïncide toujours avec celui du ^héroïde; Texpression de j sera de cette forme p -+-/?^*^ sin*6, et cette figure sera plus ou moins aplatie que dans le cas de Téquilibre» suivant que/^'^ sera positif ou négatif; or on a, par l'article XXIII,
DA=:(T-hc7<»sin«ô,
îT^*^ étant égal à fir/^^^^A, ce qui donne
Cela posé, on a exigé, pour la stabilité de l'équilibre, que la force
— 2^( I — ^^jjj j/?^*^sinO cosO soit dirigée vers les pôles ou vers Téqua-
teur, suivant que la ligne du fluide est plus ou moins aplatie que dans le cas de Téquilibre, afin d'allonger cette figure dans le premier cas et de Taplatir dans le second; or cette condition suppose visiblement que
— ig( I — gÂTT))/'^*^ ®st d'un signe différent de J&^*^ et, par conséquent,
que I — g^^ est une quantité .positive ou, ce qui revient au même,
queronaA<fA^*>.
Il est aisé de voir que ce raisonnement ne s'étend qu'au cas particulier où l'ébranlement primitif a conservé au fluide la figure d'un ellipsoïde de révolution dont le centre coïncide avec celui de la planète et que, dans ce cas même, il suppose que, durant les oscillations du fluide, cette figure reste constamment elliptique, ce qui n*a lieu.
par ce qui précède, que dans la supposition où la profondeur du fluide est telle que
on ne peut donc en conclure, généralement, que l'équilibre sera ferme toutes les fois que Ton aura 3A < 5 A^*^ et qu'il ne sera ferme que dans cette hypothèse de densité. Ce n'est qu'en ayant égard au mouvement du fluide et non point à la nature de la force tangentielle qui l'anime à l'origine du mouvement que l'on peut prononcer sur la stabilité de l'équilibre. Un état d'équilibre ferme absolu est celui dans lequel le fluide ne pourrait faire que des oscillations infiniment petites, en le supposant infiniment peu dérangé de cet état d'une manière quelconque; cela posé, la condition de 3A<5A^*^ est bien éloignée de donner un équilibre ferme, car il résulte de ce que nous avons fait voir ci-dessus que, dans la supposition de A> A^*\ il y a une infinité de manières d'ébranler le fluide dans lesquelles il cessera de faire des oscillations infiniment petites, quoique la condition de 3A < 5 A^*^ puisse être remplie. Au lieu de la condition de 3A<5A^*^ on pourrait choisir celle de A < 1^*\ et alors la condition générale de
que nous avons trouvée précédemment, serait satisfaite; mais, comme cette condition elle-même ne s'étend qu'à une espèce particulière d'ébranlements primitifs, il ne suit pas de ce qu'elle est remplie que l'équilibre est ferme dans tous les cas possibles. Il parait même extrêmement vraisemblable que, quelques hypothèses que l'on fasse sur la profondeur et sur la densité du fluide, il y a toujours une infinité de manières de l'ébranler infiniment peu, dans lesquelles il cessera de faire des oscillations infiniment petites; de là, on peut, ce me semble, conclure que la condition de 3 A < SA^'^ est illusoire dans la recherche de la figure des planètes; on peut même dire généralement que, dans cette recherche, la considération de la stabilité de l'équilibre est inu-
a^O RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
tile, puisqu'il n'y a point vraisemblablement d'équilibre ferme absolu et que la stabilité est toujours relative à la nature de l'ébranlement primitif.
De la précession des équinoxes et de la natation de l'axe de la Terre, qm résultent de l'action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre et sur les eaux qui te recouvrent.
J'ai déjà remarqué (art. II) qu'il ne suffisait pas, dans les recherches sur la précession des équinoxes, d'avoir égard à l'action du Soleil et de la Lune sur la partie solide de la Terre, et que les eaux qui la recouvrent, agitées par les attractions de ces deux astres, pouvaient influer très sensiblement sur ce phénomène; je me propose ici de soumettre cette influence à un calcul rigoureux et de donner ainsi à la théorie de la précession des équinoxes un nouveau degré d'exactitude d'autant plus nécessaire que tous ceux qui, jusqu'à présent, se sont occupés de cet objet, ont pensé que la réaction des eaux ne peut occasionner aucun changement dans la position de l'axe terrestre. En supposant que la Terre est un solide quelconque de révolution recouvert par la mer et divisé en deux parties égales et semblables par l'équateur, je fais voir que les lois de la précession et de la nutation sont constamment les mêmes, quelques hypothèses que l'on fasse d'ailleurs sur la figure et la densité des couches du sphéroïde terrestre et sur la profondeur et la densité de la mer, en sorte que ces diflërentes hypothèses ne peuvent que changer les quantités absolues de la précession et de la nutation. En considérant ensuite l'hypothèse adoptée jusqu'ici sur la figure de la Terre, et suivant laquelle cette planète est un ellipsoïde de révolution, je parviens à représenter la précessîon des équinoxes et la nutation de l'axe terrestre par deux formules très simples, qui, en y faisant évanouir certaines quantités, rentrent dans les formules connues, mais qui, lorsque ces mêmes quantités ne sont pas nulles, en peuvent tellement différer, qu'elles ne donnent ni précession ni nuta-
tioD dans une infinité de cas où l'une et l'autre seraient très considérables si l'on n'avait aucun égard à la réaction de la mer. J'observe ensuite que» dans la supposition où la mer a partout la même profondeur, supposition qui, comme nous Tavons vu précédemment, a lieu à très peu près dans la Nature, la réaction de ses eaux n'a aucune influence sur le phénomène de la précession; mais je fais voir en même temps que cette réaction serait très sensible dans la théorie ordinaire du flux et du reflux, en sorte que, si la densité de la mer était égale à la densité du sphéroïde terrestre supposé homogène, il n'y aurait alors ni précession ni nutation; d'où je tire cette conséquence singulière, savoir que si Newton eût adopté, dans sa solution du problème de la précession des équinoxes, les résultats de sa théorie du flux et du reflux de la mer et de la figure de la Terre, ce grand géomètre aurait trouvé la précession nulle en résolvant exactement ce problème. Enfin je démontre qu'il est impossible de concilier les observations de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe terrestre avec l'hypothèse où le sphéroïde recouvert par les eaux est un ellipsoïde de révolution. M. d'Alembert a déjà fait une remarque semblable pour le cas où la Terre est entièrement solide {voir le Chapitre IX de ses excellentes Recherches sur la précession des équinoxes); il croit cependant que Ton peut concilier ces deux choses en supposant le sphéroïde terrestre recouvert d'un fluide de profondeur variable, et cela serait possible, si, comme le prétend cet illustre auteur, dans la détermination des mouvements de l'axe de la Terre, il ne fallait point avoir égard à la réaction de la partie fluide; mais, en la faisant entrer, comme cela est indispensable, dans le calcul de la précession des équinoxes, il arrive que l'équation, qui montre l'impossibilité de concilier les observations de ce phénomène avec les mesures des degrés terrestres, est précisément la même lorsque la Terre est entièrement solide ou lorsqu'elle est recouverte d'un fluide. Si l'on joint à cette impossibilité celle où l'on est d'assujettir à une même figure elliptique les degrés du méridien mesurés à difierentes latitudes; si, de plus, on considère que, suivant les observations faites nouvellement dans les montagnes d'Ecosse,
OEui-rea de L, ^ \X. 3l
ii2 RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
les eaux de TOcéan, dont la plus grande partie de la surface du globe est recouverte, sont d'une densité moindre que sa densité moyenne, et que certaines parties des continents sont fort élevées au-dessus du niveau de la mer, il est impossible de se refuser à croire que si la Terre a été primitivement elliptique, comme il est naturel de le supposer, elle a dû éprouver de grandes révolutions qui ont très sensiblement altéré sa figure, ce qui d'ailleurs est indiqué par un grand nombre d*observations d'Histoire naturelle; mais, à travers toutes les irrégularités que ces révolutions ont occasionnées à sa surface, on démêle encore, si je puis m'exprimer ainsi, les traits d'une figure régulière et conforme à la théorie, car les points équinoxiaux ont un mouvement rétrograde tel que l'exige l'aplatissement du sphéroïde terrestre, et les degrés du méridien vont en augmentant ainsi que la pesanteur de Téquateur aux pôles.
Soient C le centre de la Terre {fig. i); CA un de ses principaux axes de rotation autour duquel elle tourne à très peu près, et que nous regar-
Fîg. I.
derons comme Taxe commun à tous les méridiens; CF la projection de cet axe sur un plan fixe que nous supposerons être celui de Técliptique ; A le pôle boréal; TCZ la ligne des équinoxes ou Tintersection du plan de Téquateur terrestre avec celui de Técliptique; Z l'équinoxedu printemps et T celui d'automne; CO une droite invariable prise sur le plan de Técliptique; que Ton nomme e Tangle ACF qui est visiblement le complément de l'obliquité de Técliptique; f' Tangle OCZ et p la distance à Téquinoxe du printemps d*un méridien pris à volonté, et que nous regarderons comme premier méridien , cette distance étant comptée sur Téquateur suivant Tordre des signes; que Ton nomme
DU SYSTÈME DU MONDE. 2i3
ensuite ^^ ^\ ^''f ... les différentes forces dont le sphéroïde terrestre est animé, et rfX, rfX', rfX", ... les petits espaces que les différents points auxquels elles sont appliquées parcourent dans les directions de ces forces, en vertu des variations de e, <p' et p; que Ton désigne enfin par R la densité de la couche du sphéroïde terrestre dont le demi petit axe ou, ce qui revient au même, le demi-axe perpendiculaire au plan de Téquateur est r, R étant une fonction quelconque de r; et par H l'intégrale
ic exprimant toujours le rapport de la demi-circonférence au rayon, le demi petit axe du sphéroïde terrestre étant supposé égal à Tunité. Cela posé, si, dans les équations générales du mouvement d'un corps de figure quelconque, auxquelles M. de la Grange est parvenu dans son excellente pièce sur la libration de la Lune, on suppose, comme cela a lieu pour la Terre, que ce corps est très peu différent d*une sphère, on en tirera facilement les trois suivantes
.... I I ^^ 1/^^' XM^^' , ^dido'-hsïnedp)
Télément dt du temps étant supposé constant. La recherche des mouvements du sphéroïde terrestre autour de son centre d'inertie se réduit donc à déterminer exactement, et sans rien omettre, les forces 4^» "^'f 4^"» • • • ®t ^ intégrer ensuite les trois équations précédentes.
Toutes les forces dont la partie solide de la Terre est animée peuvent se réduire aux attractions du Soleil et de la Lune et k la réaction du fluide qui la recouvre; or le fluide qui recouvre un sphéroïde ne peut
on déranger la position que par l'attraction de ses molécules et par sa pression sur sa surface; c'est dans la détermination de ces deux forces que consiste la principale difficulté du problème, mais elle peut être extrêmement simplifiée par la considération suivante.
L'objet que nous nous proposons ici est de connaître les mouvements du sphéroïde autour de son centre d'inertie; nous ne deTons donc considérer que les forces dont la direction ne passe pas par ce centre, en sorte que, dans le calcul de l'attraction et de la pression du fluide, il suffit d'avoir égard au petit changement que produit dans sa figure l'action de l'astre qui l'attire, puisque sans cette action le fluide aurait été en équilibre sur le sphéroïde et n'aurait dans cet état occasionné aucun mouvement dans son axe. 11 suit de là que cette attraction et cette pression sont à très peu près les mêmes que celles d'un sphéroïde fluide dont le rayon est i + a^, moins celles d'une sphère de même densité, et dont le rayon est i, ce qui réduit la question à déterminer l'attraction et la pression d'un sphéroïde dont le rayon est i + aj, en ne conservant dans le résultat que les termes multipliés par a; il n'est pas même nécessaire de considérer ici tous les termes de l'expression dey: il n'y a d'utile que la partie Y de cette expression qui dépend des termes de la seconde classe, que nous avons discutée dans l'article XXVI et que nous sommes parvenus à déterminer dans le cas oii la Terre est un ellipsoïde de révolution. Pour le faire voir, reprenons les équations (6), (7) et (9) de l'article XXII, et nommons Y, m, U, B' et C les parties des expressions de y^ u, v^ B et C qui répondent au terme
2K sinv cosv sin9 cos9 cos(/ir + 01 — 9)
de l'expression de R, et Y', u\ U', B'' et C les parties des expressions de ces mêmes quantités qui répondent aux termes
Kcos'5cos*v -T-{Ksin*9sin'v 4- JK sin'9sin*vcos(2/ir-h acr — 29)
de Texpression de R; nous aurons les deux systèmes suivants d'équations :
Premier système.
(Pu (IV . ^ ^
ai* aC
=— ^-^ 4- B'Ah- aKcosadsinv cosvcos(/i^-i-iîj — 9),
-r-r- sin* 0 + 2/1-77 sin0 cos 0
= — ^-n -J- C'AsinÔ4-Ksin2 0sinvcosv8in(9 — nt — ra).
Second système»
*~ sinô (>ô ^ dfs
-ji 2/»— n-sin0cos0
= — g-^ -*- B^^A H- Kjsîn26[i sin*v — cos*v -1- ^ sin'v cos(2/i^ -+- acj — 29)], —nr- 8tn* 0 -h 2 /i -TT sin 0 cos 0
ac' at
= — ^-r— 4-C''Asinô-i-Ksîn*vsîn*ôsin(2<p — nnt — 2m).
L'attraction et la pression d'un sphéroïde, dont le rayon est i 4- aj, sont, en ne conservant que les termes multipliés par a, les mêmes que celles de deux sphéroïdes de même densité» dont les rayons sont I + aY et I + aY' . Gela posé, imaginons deux astres dont les masses soient chacune la moitié de celle de l'astre S, et qui se meuvent, de la même manière que cet astre, des deux côtés opposés de l'axe de la Terre, aux mêmes distances que lui du centre de cette planète et du plan de Téquateur, mais dont le premier soit constamment à 180® de distance en longitude du second; il est clair que l'on aura, pour déterminer les oscillations du fluide qui résultent de l'action de ces deux astres, le second système d'équations, parce que le terme
K sin V cosv sinô cosd cos(/i^ 4-01 — 9)
de Texpression de R, que produit rattraction de l'un de ces astres, étant détruit par un terme semblable, mais afTecté d'un signe contraire que l'attraction de l'autre produit, le premier système d'équations devient inutile; or ces deux astres, étant semblablement placés des deux côtés opposés de l'axe terrestre, agiront de la même manière sur l'Océan et lui donneront une figure telle que là résultante de son attraction et de sa pression passera par le centre de la Terre et ne causera aucun dérangement dans la position de son axe. Il suit de là que nous pouvons négliger ici la pression et l'attraction du sphéroïde dont le rayon est i -h aY' et ne considérer que celles du sphéroïde dont le rayon est i H- aY.
II résulte de l'article XXYI que, dans le cas de la nature, où le mouvement de l'astre dans son orbite est très lent relativement au mouvement de rotation de la Terre, la valeur de Y est de cette forme
Y = KfjL sin 6 cos0 sinv cosv cos{nt -h iîj — 9).
Si l'on suppose, comme nous le ferons dans la suite, que le sphéroïde terrestre est partagé en deux parties égales et semblables par le plan de l'équateur, [l sera fonction de cos'O, c'est-à-dire une fonction telle qu'elle reste la même, quels» que soient les signes de sin 6 et de cosO; car il est clair que la valeur de Y, relative à une molécule située semblablement que la molécule M de l'autre côté de l'équateur, est égale f ce que devient cette même valeur pour la molécule M, lorsque la déclinaison de l'astre change de signe, et de boréale, par exemple, devient australe; d'où il suit que l'expression de Y doit rester la même, soit que l'on y change v en 180 — v ou 0 en 180 — 6. Le premier de ces deux changements se réduit à conserver le signe de sinv et à changer celui de cosv; le second se réduit à conserver le signe de sin 0 et à changer celui de cosO. Soit [kf ce que devient (x par ce dernier changement, on aura donc
— KfjL sinvcosvsin9cosdcos(/i^4-iiT — 9) = — Kfx' sinv cosv sin 0 cos6cos(nt 4- w — 9),
ce qui donne (x = (x', en sorte que [l ne change point en y changeant le signe de cosO. Pareillement, la valeur de Y, relative à une molécule située sur le même parallèle que la molécule M, mais distante de celle-ci de i8o® en longitude, est égale à ce que devient cette même . valeur pour la molécule M lorsque la longitude de Tastre est augmentée de i8o®; d'où il suit que Texpression de Y doit rester la même, soit que l'on y change ç en 1 80 4- 9 ou 0 en — 6. Le premier de ces deux changements se réduit à changer le signe de cos{nt + 0 — 9), le second se réduit à conserver le signe de cosO et à changer celui de sinO; soit [x, ce que devient [x par ce changement, on aura
— KfjL sinvcosvsin0cosôcos(/i^-hiîj — 9) = — KfjL, sinv cosv sind cosd cos(/i^ -h cj — 9),
ce qui donne (x = (x,, en sorte que |x ne change point en y changeant le signe de sinO; cette fonction reste donc constamment la même, quels que soient les signes de sinO et de cos6.
11 s'agit présentement de déterminer l'attraction et la pression d'un sphéroïde fluide dont la densité est A et le rayon
I 4- aKfjLsin0cosôsinvcosvcos(/i^-hiîj — 9),
en ne conservant que les termes multipliés par a. La pression est Facile à. conclure de ce que nous avons démontré dans l'article }fX, car, si l'on nomme ap' cette pression, il résulte de l'article cité que
«/>'= a A^ KfJLsind ces d sinv cosv cos{nt 4- nr — 9).
Pour déterminer ensuite l'attraction du même sphéroïde, regardons pour un moment comme premier méridien celui dans lequel l'astre se trouve; il est clair que, dans ce cas, l'angle n/ 4- 1? — op exprimera la longitude de la molécule fluide M. Soit ALB (^g, 2) le plan de ce méridien qui partage évidemment le sphéroïde en deux parties égales et semblables; soient encore ACB l'axe du sphéroïde et C son centre d'inertie. Le rayon mené de ce centre à un point quelconque R de la
au RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS
surface, dont la longitude est u', et pour lequel l'angle RCA = 6', sera
I + aKft'8in9'cosd'Binvcosvcosiïi',
fj.' étant pareille fonction de 6' que \t l'est de 6. Cherchuns maintenant l'attraction du sphéroïde sur un point quelconque N pris dans son intérieur, dont la longitude est a, et pour lequel l'angle NCA.= 0 et le rayon CN = s.
Soit tirée la droite CL perpendiculairement à GA dans le méridien de l'astre, et par le point N soit mené te plan aTib parallèle au plan ALB;
du point C soit élevée la perpendiculaire Ce à ces deux plans, et par les points c et N soient menées la droite cNf, la droite ca parallMe à CA, et les deux droites cl et cNK parallèles à CL ; soit encore Z ta projection du point R sur le plan aN6, et, ayant élevé NQ perpendiculairement k ce plan, soient nommés p l'angle RNQ, g l'angle ZNK, r la droite NR et r' le prolongement de cette droite jusqu'à son autre point R' de sortie du sphéroïde. Cela posé, considérons les deux pyramides infiniment petites opposées, qui ont leurs sommets au point N et dont les bases, situées aux points R etR'de la surface du sphéroïde, sont formées par les variations infiniment petites de p et de qi il est aisé de voir, par l'article I, que les sections de ces pyramides, faites en R et R' perpendiculairement aux droites r et r', sont
r^siapdpdq et r'* sinp dp dq.
et, comme ces pyramides agissent en sens contraire» il en résulte (art. I) une seule action de N vers R égale à
{r — r') %\ïïp dp dq.
Si Ton décompose cette action en trois autres, la première suivant NK ou parallèlement à CL, la seconde suivant Ne et la troisième suivant NQ eu perpendiculairement au plan ALB, on aura pour la première
, /v . , sinZNI , , ' ^sinKNl ^ ^
or on a
8inZNI = 8in(KNI-7),
partant
sinZNI cosKNI Nr
. ^>Ti = coso'-- smo'-r-TnriT =cos7 — sina — :
mais on a
cc=:5cos9, Nc = 5sinôcosiîj; donc
Nr __ sin Q coscr sinZNI ___ cos0 cosy — sing cosp sin^
cv ~" cosô sin KM "" cos6'
On aura ainsi pour la force, suivant NK,
, IV . • cosôcosûT — sinôcoscjsina , , (r—r) sinV z dpdq.
Quant aux deux autres forces, il est inutile d*y avoir égard, car : I® Faction du sphéroïde entier sur le point N, suivant NQ, est détruite par l'action du même sphéroïde sur un point N' semblablcment placé que le point N de Tautrc côté du plan ALB; 2^ la résultante des deux actions réunies du sphéroïde sur les points N et N' parallèlement à Ne, c'est-à-dire parallèlement à la projection de NC sur le plan ALB, passe par le centre C et n'influe, par conséquent, en aucune manière sur les mouvements du sphéroïde autour de son centre d'inertie. L'action entière du sphéroïde sur le point N parallèlement à CL est
JC^ C^ t /x . • cosôcosû' — sinôcoscjsin^ . . f jf (r-r')smV ^—^^ ^-dpdq.
OKatres th l — IX. 32
Pour exécuter cette double intégration, il faut connaître r et r' en fonctions dep et de q; nous obserrerons pour cela que la distance RZ du point R au plan aN6 est rcosp, et que la distance du plan aîib ou» ce qui revient au même, du point N au plan ALB est 5sinO sina; partant, la distance RZ' du point R au plan ALB est ^sinOsint? + rcosp; la distance du point Z à la droite ca est rsinp cosq + 5 sin 0 cosa, et sa distance k la droite cl est 5cos0 -t- rsinpsinq; ce sont aussi lesMistances du point Z' aux droites CA et CL. On aura ainsi
CR'=(5sin9siniîj-h rcos/?)*4- (ssinôcoscj-t- rsinpcosçy
-h (5 cos 0 -h r sinp sin g )*
= r*4- 5* 4- 25r[sinO sin© cos/> -h sind cosisr sïnp cosq 4- cosô sinp sin^].
Or on a, en négligeant les quantités de Tordre a',
CR*= I •+• aaKfx' sinv cosv sin0' cos^ coscj';
en comparant donc ces deux valeurs de CR' et faisant, pour abréger,
M = sind sinGT cosp -+- sin 9 cosisr sïnp cosq •+• cos 9 sin/? sin^, on aura
r = — sM ± v^i — 5' -h 5'M' 4- 2 «Kfx' sin V cosv sin S' cos Ô' cosgt' ,
partant
\M i y i Tïiî i «Ku' sinv cosv s\n9' cosO' coscj'
cosO' est, en négligeant les quantités de Tordre a, égal à la distance du point Z' à la droite CL, et sinO'cost?' est égal k la distance de ce même point à Taxe CA, ce qui donne
ces 0' =: 5 cos 6 4- r s\np sin g
= s cosô — sM sïnp sïng àz sïnp sïng v^i — 5* 4- 5* M*,
sin 0' cosiîj'= 5 sin ô cosiîj 4- r sinp cos^
= 5 sin ô coscj — sM sin/? cos^ di sïnp cos^^i — 5*4- 5*M'. En substituant ces valeurs dans les quantités multipliées par a de Tex-
pression précédente de r, on observera que» si Ton prend le radical avec le signe +, on aura la valeur de r» et que si on le prend avec le signe —, on aura la valeur de — r'; d'où l'on tirera facilement
!scos6 sïnpcosq + 5 sin 0 cosGT smp sîn g — 25MsinVsin^cos^
15* sind cosd cosGj — s*M sin 0 cosgj sin/> siny — s* M. ces 6 sinp cosg 4- sinVsin7C0S^(i — 5*-h25*M*)
*(x étant ce que devient (i.' lorsqu'on y substitue
s cos s — sM sinp sin g -^-sinp sin g v^i — 5*-h5'M*
au lieu de cosO', et *'(i. étant ce que devient cette même quantité lorsqu'on y substitue
s cosô — *M sin/> sîn^ — sïnp sin^v^i — 5*4-5'M'
au lieu de cosO'.
On peut extrêmement simplifier le calcul de la double intégration de la différentielle
, ,x . . cosôcosûf — sin^cosnTsin^ , . Ir^r) sinrp r dp dg
par les considérations suivantes :
I® On peut rejeter les termes de la forme P'cospdpdq^ P' étant fonction de sin^, cos^, sinp et cos^/», parce que ces termes étant les mêmes avec des signes contraires lorsque p se change en i8o** — />, il
est clair que l'intégrale entière / P'cospdp doit être nulle; par la
Jq
même raison, on peut rejeter les termes de la forme Qcosq dp dq, Q étant fonction de sinp, cosp, sinq et cos'^.
2? L'attraction du sphéroïde sur le point N' semblablement placé que le point N, de l'autre côté du plan ALB, décomposée parallèlement à CL, est la même que sur le point N; en sorte que, si l'on
abaisse NV peq>endiculairement sur CA, la résultante de ces deu] actions peut être censée appliquée au point V. Cette résultante est li double de la force dont le point N est animé parallèlement k CL; mai si, comme nous le ferons dans la suite, au lieu de la force parallèle i CL, on considère cette résultante, ce qui revient à doubler l'intégrait précédente, il faudra ne faire varier 0 et ra que depuis zéro jusqu'à i dans le calcul de l'attraction du sphéroïde sur la couche entière qu passe par le point N.
Il suit de là que, dans la double intégrale
Xï"
, ,, . , cosflcoso — sinflcososino , ,
on peut rejeter les termes de la forme P'coso, P' étant fonction d* sinQ, cosO, sino, cos^is; car les forces que ces termes représenteni sont les mêmes avec des signes contraires pour les deux points de Is couche qui passe par le point N, pour lesquels « et 0 sont les mêmes, et dont les longitudes sont o et i8o°— o. On peut encore rejeter le! termes de la forme Q", Q" étant fonction de sinu, cosd. sind, cos'd, parce que les forces représentées par ces termes étant les mêmes poui les deux points pour lesquels $ et b sont les mêmes, et les angles G sont 6 pour l'un et 180"— 6 pour l'aulrç, il est clair que leur résultante projetée sur le plan du méridien de l'astre passe par le centre C du sphéroïde; on aura donc, en ne conservant que les termes multipliés par a.
p étant une fonction de s, sind, cos'6, sincr et cos'a, c'est-à-dire une fonction teUe qu'elle reste la même, quels que soient les signes de cosO et de cosa. La quantité précédente, multipliée par la densité Adn iluide, exprïinera la résultante de l'attraction du sphéroïde parallèlement & CL, sur les deux poiiLts N «t N' de la couche qui passe par le poioit N.
Si Ton considère pareillement la résultante de l'action de Tastre S sur les deux points N et N', parallèlement k la droite CL, en transportant en sens contraire à ces points son action sur le centre G et en décomposant ces actions parallèlement aux droites cNI, CL et perpendiculairement au plan ALB, on trouvera facilement» en rejetant tout ce qu'il est permis de rejeter d'après les considérations précédentes,
4aK58invcosv, ,^ . ,^ , . 2 (cos*ô — sm*Ôcos*cj)
pour cette résultante, que Ton pourra concevoir encore appliquée au point Y; en l'ajoutant à la force précédente, on aura
«Ksinvcogy .n. , •« / . «/i • \
7 ( PA -4- 4* cos'ô — 4* sm* ô cos*iîj)
cosô V *t •»
pour la force entière dont le point V est animé parallèlement à CL, en vertu des attractions de l'astre et du fluide sur les deux points N et N'.
Supposons, par exemple, |x constant, c'est-à-dire indépendant de 0, on aura |jl = *(x = * *(i., partant
JÇ^ C^ t -#v • « cosOcosûf — sinôcoscTsinû' , ,
, ^ sinvcosv r^ r^ . ^ , a ' û • X j -r
= 4aK(i g — I I sm*/>(cosdcos7 — smdcosiiTsm^)^/)^^
x{s cos 6 sin/> cos 7 — a sM sin*/i sin q cos q
+ 5SindcosiîTsin/>sîn7),
d'où l'on tirera aisément
P = {5|X7r(cos*ô — sin*6 cos'cj),
en sorte que, dans ce cas, la force entière appliquée en Y, en vertu des attractions de l'astre et du fluide sur les points N et N', est
4 aK5 sinvcosv,, . ., ,. , .^ , ^ — ô (î w|xA -H i) (eo8*0 — sm*0 cos*iîj).
Reprenons maintenant les équations (V) de l'article XXIX ; nous pourrons y supposer
, «Ksinvcosv -^. •« / . «û • v
^ = s (P A 4- 4* cos*0 — 4* sin*0 cos*iîj).
Il nous reste présentement à déterminer les petits espaces
â'k j dTi j , à'k .
que le point Y, auquel la force ^ est appliquée, parcourt dans la direction de cette force, en vertu des variations de p, 9' et e. D'abord il est visible qu'en vertu de la variation de p ce point reste immobile, puisque, par hypothèse, le sphéroïde tourne autour de l'axe CA (/îg. i)
en vertu de la variation de p; on aura donc j- = o. Si l'on nomme
ensuite U la distance du méridien de l'astre k l'équinoxe d'automne, cette distance étant comptée sur l'équateur suivant l'ordre des signes, on aura 90 — U pour l'angle que forme ce méridien avec celui qui est perpendiculaire au plan de l'écliptique; cela posé, si l'on suppose à la projection de l'axe AC sur l'écliptique un mouvement angulaire autour du centre C et égal à d(f\ le mouvement du point V sera visiblement égalà^cosOcoseflff", et ce mouvement, décomposé suivant la direction de la force ^f sera^cosOcosec/^'cosU; on aura donc
-r-7 =:5cosdcosecosU.
Pareillement, si Ton suppose l'axe AG décrire autour du centre C, dans le plan du méridien perpendiculaire à l'écliptique, l'angle différentiel </e, le mouvement du point Y sera 5cos6 dtf et ce mouvement, décomposé dans la direction de la puissance 4^, sera 5cos6</£sinU; on aura ainsi
à^ fs ' ri
-r- = *co8ÔsmU, de
vp -r-7 = «K* sinv cosv cosU cose(PA 4- 4*cos*9 — 4*sîn*ôcos*nj), vp j- =aK5sinvcosvsinU(PA4-4^co8*0 — 4^sin'Ôcos*nj).
Supposons maintenant que le rayon 5 de la couche du sphéroïde terrestre qui passe par le point N soit r-^Yf ^ étant le demi-axe de cette couche perpendiculaire au plan de Téquateur et Y étant une très petite fonction de ret de cosO'; soit encore, comme dans l'article XXIX, R la densité de cette couche, R étant fonction de r; on multipliera les
valeurs précédentes de ^^ ^ ot de 4^ ^ par la quantité
R(r^-y'ydedfssin9dr(i-h^\
qui représente la masse de la particule du sphéroïde située au point N, et, après avoir substitué dans ces valeurs r+ y' au lieu de 5, on intégrera successivement ces produits par rapport à 6, ci et r; soit donc
F= Ç r r R(r4-y')'sin0(^i4-^]flf/-c^erfnj(PA + 4^cos«0 — 45Sin«0cos*cj);
on aura, pour la somme des termes ^j-i^ 4^' j7' • • * 9^î résultent des attractions de l'astre et du fluide,
aKF sinv cosv cos£ cosU,
et pour la somme des termes ^j-y ^'-^y ••• qui résultent de ces mêmes attractions, on aura
aKF sinv cosv sinll.
On peut simplifier le calcul de F en observant que, si le sphéroïde était une sphère, ou, ce qui revient au même, si Ton avait ^=1 o, on
iS6
aurait F = o» puisque la résultante des attractions du fluide et de Tastre passerait alors par le centre G du sphéroïde; on peut donc rejeter tous les termes qui ne sont point multipliés par y' ou par sa différence; de plus, cette quantité étant extrêmement petite, on peut néglijçer les termes de l'ordre y**-
Il faut p^résentement ajouter aux quantités précédentes celles qui résultent de la pression de la mer sur la surface du sphéroïde qu'elle recouvre; nous avons vu ci-dessus que cette expression est égale à
cngyiK Asio 9 cos 9 sin v cosv cos{nt -4- o — 9) ;
soit donc n- y' le rayon CM (J!g. 3) du sphéroïde terrestre, Y ^**^* une très petite fonction de 0; la pression en M étant perpendiculaire à
la surface de ce sphéroïde, sa direction va rencontrer Taxe CA dans on point V • tel que, si Ton néglige les quantités de Tordre *f^, on aora-
