CV

à7 sin?

en concevant donc cette pression immédiatement appliquée an point V , on la décomposera en trois autres : la première perpendicubire an plan ALB du méridien de Tastre et à laquelle il est inutile d'aiv#îr égard, parve qu'elle est détruite par une fonire semblable qui résuile de la pression du sphêrv^ide sur un point M' semblablenent place que le point M, de Fautre côte du plan ALB: la seconde suivant Taxe CA. et que Ton peut négliger, parce qu'elle passe par le centra C du sj

roïde; la troisième enfin parallèlement à CL, et qui est à très peu près égale à

— a A^KfjLsin'0cos0sînvcosvcos'(/i/ -i-gj— 9);

nous lui donnons le signe —, parce qu'ellfe est dirigée vers l'axe CA du sphéroïde; en représentant donc cette force par ^, on trouvera fort aisément, par ce qui précède,

vi'-T— , = «A^fjLK sin0cos6-~-sinvcosvcosecosU cos(/i^ -f-nj — 9), 'j^-r- •■= aA^fjLKsin9cos9^sinvco8vsinUcos'(/i^ h- ni —-9).

Pour étendre ces valeurs à toute la surface du sphéroïde, on les multipliera parrfcyrfôsinO et Ton en prendra l'intégrale depuis nr — o jusqu'à ry — 2ir, et depuis 0 ^ o jusqu'à 0 — 7: ; soit donc

F'^nlg fixsin^ecosO^^de,

et l'on aura, pour la somme des termes '| ;p>» ^ à~'^ "' ^^' résultent de la pression du fluide sur la surface du sphéroïde terrestre,

aKF' sinv cosv cose cosU,

et, pour la somme des termes ^ -.-» '^ -j-y •• qui résultent de cette même pression, on aura

«KF sinv cosv sin U ;

soit — jj— ~ E, les équations (V) de l'article XXIX donneront

/ o =z d{dp -+- sinf ^^9'), (V) < o = — aKEsin.vcosvcose cosUcf^*^ ^(^^9^4- sinscfp),

( o =:aKE sinv cosv sinU^^*-f-cos£fi^9'û?p —d^s,

VEtt9reê de L, — IX. 33

La première des équations (V) donne, en Tintégrant,

(3i) dp = adt — t/9'sine,

a étant une constante arbitraire; cette équation servira à déterminer p, lorsqu*on connaîtra 9' et t en fonctions du temps /; pour cela nous

observerons que ~ ne diffère de n que de quantités de Tordre a, puisque nous supposons ici que la Terre tourne à très peu près uniformément autour de Taxe AC; de plus -^ ^t ^ sont de Tordre a; la troisième des équations (V) devient donc, en négligeant les quantités de Tordre a^,

0 = «KE sinv cosv sinV dl^-{- n cose dtd(^' — (Pi;

d'où Ton tire, en intégrant,

dî /»

(32) -^ n:/i<p'cose -\-J aKE sinv cosv sinU^^

équation au moyen de laquelle on aura e, lorsqu'on aura déterminé ç'. La seconde des équations (V) donne

o — — aKE sinv cosv cosECosU dt*-k-d^o'-h n cose^^c/e + sine^p,

et la première donne

— Éf'9'sin*e =: d*p sin£,

partant

0=1 — «KEsinvcosvcosecosU^^'-h cos'erf*9'-h n cosedêdt;

en substituant dans cette équation, au lieu de dt, sa valeur que donne l'équation (32), on aura

o =1^ — v~ -h n^o -+- xnE 1 smvcosvsmUa^ sinvcosvcosU;

dt^ ^ J cosfi cose

cette équation donnera en l'intégrant la valeur de ç'; Téquation (32)

donnera ensuite celle de e, et Tcquation (3i) donnera celle de p. Il est aisé de voir que les intégrales de ces équations renfermeront en tout six constantes arbitraires, que Ton déterminera par les conditions primitives du mouvement du sphéroïde. Pour intégrer ces équations, il faut connaître K, sinvcosvsinU et sinvcosvcosU, en fonctions du temps / ; or on a

et h est connu en fonction de / par la loi du mouvement de Tastre; de plus, il est visible que i8o®-+- U exprime son ascension droite et 90*^— V sa déclinaison. Soient donc z sa longitude et q' sa latitude rapportées à Técliptique; on tirera facilement des formules connues de la Trigonométrie, pour réduire l'ascension droite et la déclinaison d'un astre en longitude et latitude rapportées à Técliptique,

cosv =: sine sin^'-+- cose cos^'sin^, -sin V cos U — — cos7'cos5, sînv sin U = cose sin^' — sine cos^'sin^,

partant

sinvcosvcosU ■— — co8^'cos^(sinesm^'-+- cosecos^'sins),

sinv cosv sinU =: (cose sin^'— sine cos^'sin^) (sine sin^'-i- cose cos^'sin-c).

Nous supposerons ici, pour plus de simplicité, que Torbîte de Vastre projetée sur le plan de l'écliptique est circulaire, et que son inclinaison est très petite, en sorte que, parmi les termes multipliés par la tangente de cette inclinaison, nous ne conserverons que ceux qui peuvent devenir fort grands par les intégrations; il sera facile d'avoir égard si l'on veut aux différentes inégalités du mouvement de l'astre. Supposons conséquemment

z=:mt-^K et lang7'ir=csin(m'f H- A'),

c représentant la tangente de l'inclinaison moyenne de l'orbite ; {m — m')t -h A — A' exprimera la distance moyenne du nœud ascen-

MO

(tant <l(> l'orbito lunaire à réquinoxc du printemps; et, comme le '

uidvcn mouvoment du nœud est très lent relativement à celui de la

Liiiiis m -m' est très pou considérable par rapport à m; on a ensuite,

à très p«»u pri*s,

sin//' tangr/' el cos^'^i.

• Ola posé, si Ton néglige les quantités de Tordre c^ et que, parmi les termes de Tordre r, on ne conserve que les sinus et les cosinus de Tangle \^m m\i 4- A - A, parce qu'ils deviennent très considérables par les intégrations, on aura

jkKE

jkKKsuivcosvcosI ■ — [ csin«sin[^w — /ii'>/ -^ A — A'J

— coscsin^iiwl— aA^J j.

jrKKsuivoosv sinV

jiKE,

î sincco$€[cos(aifi/ — qA — 1] — i\i-- Jsin-;>cos[t m -- m M — A — A']î;

on aura ainsi

ti -sin* — I isin/jm/ — lA — H -Ji/sine

* • " ,1 - i$in*£ — csÎDf

cos*

sinT JN —

H otAUt une consume arbitnàîrv qui résulte de Tintë^le

xMi lum %ioac* en inte^rftnt et oh$^r%:ânt que* m étant trîs prtit pw n^

N s:x X ; - N vNV^ »v

H u-scri -

scaf -

- i >CT'i

^ASs

.'5^îî

ou, à très peu près,

9':rr N s'innt -+- Ji'cosnt

(H'— /lysine H sinesin(am< H- a A) am

fi

H > sinfi m — m')t -4- A - A 1

N et N' étant deux constantes arbitraires; Téquation (32) donnera ensuite * 0

£ ~ H'— N cos£ cosn^ -h N'cosf sin nt

«KE I /i ne

'iti* I 2 m

ne i

cosecos(am^-h a A) -, sinecos[(m - -m') /-h A — A'] >,

E" étant une nouvelle constante arbitraire; en substituant ces valeurs dans Téquation (3i), on en tirera faci^ment la valeur do p en fonction du temps /.

Supposons que les valeurs précédentes de ç', e et p soient celles qui résultent de Faction de la Lune, on aura celles qui résultent de Faction du Soleil en y supposant c -= o et en y changeant les quantités relatives à la Lune dans celles qui sont relatives au Soleil; soit K' ce qu'est pour le Soleil la quantité K relative à la Lune, la précession moyenne des équinoxes sera, en vertu des actions réunies du Soleil et de la Lune,

Téquation la plus sensible de la précession sera

«KE /iccosae , j.. /x. * i/i

a/è- (m — /?i')cose ^ ^ ■•

et Téquation la plus sensible de la nutation de l'axe de la Terre sera

«KE • /JC r, /^ , 4 à/1

jSinecosUm — m')t-\- A - Al.

En comparant les résultats précédents aux observations, il nous serait aisé de faire voir leur accord avec les phénomènes de la précession et de la nutation; mais, cette comparaison ayant été faite avec soin dans plusieurs excellents Ouvrages, et principalement dans les belles recherches de M. d'Alembert sur cette matière, nous nous born«rons ici à faire sur nos résultats quelques remarques nouvelles, et qui auront principalement pour objet leur différence de ceux qui sont déjà connus.

Nous observerons d'abord que la précession moyenne des équinoxes, résultante de Faction du Soleil et de la Lune, n*est pas la même dans les différents siècles, puisqu'elle est proportionnelle au cosinus de l'obliquité de Técliptique, qui, comme l'on sait, n'est pas constante; supposons, par exemple, que dans ce siècle cette précession soit de 5o"j par année, et qu'au temps d'Hipparque l'obliquité de Técliptique ait été de r minutes plus grande qu'aujourd'hui, on trouvera facilement que, en vertu de l'action du Soleil et de la Lune, la précession moyenne des équinoxes était alors égale à

5o*'| — r.o',oo6355;

la longueur de l'année tropique était donc, par cette seule considération, plus grande au temps d'Hipparque que de nos jours d'environ r.o",i55; en sorte que, si l'on suppose, conformément aux anciennes observations, r =- 23, on aura 3"^ à peu près pour la différence qui en résulte entre Tannée tropique moderne et celle du temps d'Hipparque; or cette différence n'est point à négliger dans une détermination exacte de la durée de l'année tropique.

Nous observerons ensuite que, quelle que soit la loi de la profondeur de la mer, pourvu que le sphéroïde qu'elle recouvre soit un solide de révolution divisé en deux parties égales et semblables par l'équateur, les lois de la précession des équinoxes seront les mêmes, c'est-à-dire

que la précession des équinoxes sera toujours représentée par un terme qui croit uniformément et par un autre terme proportionnel au sinus de la distance du nœud de la Lune à l'équinoxe, et que la nutation sera toujours représentée par un terme proportionnel au cosinus de cette même distance. Tous ces termes augmenteront ou diminueront proportionnellement dans les différentes suppositions sur la loi de la profondeur de la mer et sur celle de la densité des couches du sphéroïde qu'elle recouvre; elles ne peuvent donc influer-que sur la valeur absolue des coefficients de ces termes. Nous allons déterminer ces coefficients dans le cas où le sphéroïde que la mer recouvre est un ellipsoïde de révolution.

Dans ce cas, la loi de la profondeur.de la mer peut être représentée par /H- ^rsîn'O, et Ton a, par Tarticle XXVI,

V 4Kârsinvcosvsin9cos9 , ,

Y = ^-y ^^ cos{nt -f- nj - 9),

en sorte que la quantité que nous avons nommée [jl dans Tarticle XXX est ici constante et égale à |^-r ; on aura donc, par le

même article XXX et en observant que g — 5''^^^*^

P= 7= y 2-r— 7t (cos*9 — sin*9 cos*nj) ;

partant, si Ton suppose y'— rSsin^ô, 6 étant une fonction quelconque très petite de r, qui représente Tellipticité de la couche du sphéroïde dont le demi petit axe est r, on aura

i5 / ôl \ n*J

Si Ton nomme ensuite q' la valeur de 6 lorsque r= i, ou, ce qui

revient au même, Tellipticité du sphéroïde que la mer recouvre, on

aura

partant

y'^^^'sin^^,

F-iz '^

on aura donc

Si Ton suppose q=^o^ on aura le cas dans lequel la réaction de la mer n'a aucune influence sur le phénomène de la précession des équinoxes; dans ce cas,

Rc/r»

d'où il suit que la précession moyenne des équinoxes et la nutation de Taxe de la Terre, lorsqu'on a égard à la réaction des eaux de la mer, sont à cette précession et à cette nutation, lorsqu'on n'y a aucun égard, dans le rapport de

Lq^ -\fT{d,^r^-2Aqq'

On voit par là que, si 9 et A ont un rapport sensible à l'ellipticité et à la densité du sphéroïde terrestre, la précession des équinoxes sera très sensiblement diflerente dans ces deux cas; mais, pour mettre cette diflerence dans un plus grand jour, nous allons considérer ici quelques exemples particuliers.

Soit q = — = ^-^, on aura F = o, quelle que soit la densité A de

la mer; et, comme cette quantité exprime l'efiet des attractions de

rOcéan, du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre, il en résulte que ces attractions n*ont alors aucune influence sur la précession des équinoxes, et que ce phénomène est uniquement dû à la pression de la mer sur la surface du sphéroïde qu'elle recouvre; il est vrai que, dans ce cas, l'effet de cette pression est indépendant de la densité A de la mer, car on a

F' = -i^A<"7' et E^ 'oa q

Dans cet exemple, la précession et la nutation sont à ce qu'elles seraient si Ton n'avait aucun égard à la réaction de la mer comme SA^^^y' est à 3 /Rrf.Çr*, et, par conséquent, comme 5 est à 3 si le sphéroïde terrestre est homogène, parce qu'alors

En général, dans la supposition de l'homogénéité du sphéroïde terrestre, on a, quel que soit y.

HL— l — 3A \

Si y = — TTinTA* on a E = o; d'où il suit que, dans ce cas, il n'y a

ni précession ni nutation dans l'axe de la Terre, quoique l'une et l'autre puissent être très sensibles lorsqu'on néglige la réaction de la mer.

Ces deux exemples suffisent pour faire voir combien il serait nécessaire d'avoir égard à cette réaction dans la théorie de la précession des équinoxes, si la valeur de q était un peu considérable; mais nous avons observé, dans l'article XXVI, que, pour satisfaire aux observations sur le peu de différence qui existe entre les deux marées d'un même jour, il fallait supposer q extrêmement petit eu égard à Tellipticité du sphéroïde terrestre; en sorte que, dans la Nature, la réaction

OEuvres de Z, — IX. 84

des eaux de la mer sur le sphéroïde terrestre n'a qu'une trës petite influence sur la précession des équinoxes et sur la nntation de l'axe de la Terre. Il n'en est pas ainsi dans la théorie ordinaire, dans laquelle on suppose, d'après Newton, que les eaux de la mer prennent instantanément l'état où elles seraient en équilibre si l'astre qui les attire était immobile et si la Terre n'avait point de mouvement de rotation; dans ce cas, on a, par l'article XIX,

Y — — TÂ~T sinvcosv sin9co89co8(/i< -h © — 9),

en sorte que

ce qui revient à faire /i — o dans l'expression précédente de f& et par conséquent aussi dans celle de E; on aura donc dans cette hypothèse

Ei=

Si Ton supposait le sphéroïde terrestre homogène, on aurait

Partant, si la densité A de la mer était égale à la densité A^'^ du sphéroïde, on aurait E = o; il n'y aurait conséquemment ni précession, ni nutation, quelle que fût d'ailleurs l'ellipticité du sphéroïde terrestre. Ces suppositions de A = A^'^ et de l'homogénéité du sphéroïde terrestre sont précisément celles dont Newton a fait usage dans sa Théorie du flux et du reflux de la mer et dans celle de la figure de la Terre; d'où il suit que, si ce géomètre eût adopté les résultats de ces théories dans sa solution du problème de la précession des équinoxes» il aurait trouvé la précession nulle en résolvant exactement ce problème.

Suivant les observations, la précession moyenne des équinoxes est, contre Tordre des signes, égale à 50"^ et la nutation de Taxe de la Terre est de iS''; en représentant donc par T une année et par n't le moyen mouvement du Soleil, on aura

partant, on aura

Or

à peu près, et

d'où l'on tirera

on aura ensuite

/lTri:^/l'T=^36oO;

8ine = cosa3®38'i6%

aKE ne g' T ; Sin£ = TT -§--

Or on a

logirrz: 0,4971499,

et les observations donnent

— = -^^-A— , c = lang5«Q'

et

de là, on tirera

in

aKE .,

donc

à peu près, en sorte que Teffet de la Lune sur la précession des équinoxcs el sur le flux et le reflux de la mer est double de celui du Soleil. Si Ton désigne par S la masse du Soleil et par h' sa moyenne distance à la Terre, on aura, par la théorie des forces centrifuges.

or

On aura donc

in- 4(365,3)»'

partant

ce qui donne

E -: — o,oo68i ~ 7

la

à peu près; or on a, par l'article précédent,

donc

Uq — —) J'Rd.Sr*- 'i^gq' (35) ^^ Y- 3X1 * =o,oo34o5/Rrfr».~

Il faut présentement combiner cette équation avec celle de Téquilibre du fluide. En supposant, comme nous Tavons fait jusqu'ici, la profondeur de la mer très petite relativement au rayon du sphéroïde terrestre, on tirera facilement Téquation suivante des formules que

DU SYSTÈME DU MONDE. m

donne M. Clairaut dans sa Théorie de la figure de la Terre (voir Tarticle XXIX de la seconde Partie de cet excellent Ouvrage) :

(36) (9-h9')(ioy'Rrfr«-6A)-6/Ré/.6r*-6A^'-l- — fRdr*.

Nous observerons ici que f^dr^ est égal à A^'^; soit donc

<f représentant l'ellipticité de la Terre qui résulte de la mesure des degrés du méridien; les équations (35) et (36) donneront, en éliminant rRrf.Sr*,

^'rr h o,ooaà43 *

fRdr^'

or

partant

jRdr' (37) ^"=10,001730-1-0,002043—

Il est très remarquable que rien de ce qui a rapport au fluide n*entre dans cette équation, en sorte que les conséquences auxquelles elle va donner lieu sont les mêmes dans Thypothèse où la Terre est entièrement solide et dans celle où elle est recouverte d'un fluide d'une profondeur variable et d'une densité quelconque.

Supposons que la densité des couches du sphéroïde terrestre aille en diminuant du centre à la surface, rRrfr* sera moindre que f^dr^, car on a

or, r étant moindre que i, et rfR étant par hypothèse une quantité négative, f(i — r*) rfR est négatif; d'où il suit que l'on a

jRdr*<fRdrK

Lorsque

l'équation (37) donne partant, on a

fRdr*=fRdr\

lorsque les densités vont en diminuant du centre à la surface; si elles vont en augmentant, on a

fRdr'>fRdr',

parce que, dans ce cas, t/R étant une quantité positive, Ai — r*)r*(/R

/'Rdr* 5

est positif; mais ^-^ est moindre que 5. car on a

*^ fRdr' *

fRdr' 5 fRr'dr fRdr'~^ J'Rr^dr

Or. Rr' étant moindre que Rr* tant que r est moindre que l'unité, il

fRr*dr

est clair que ^ est moindre que i; il est facile de s'assurer, par

^ /Rr'rfr ^ *^

un raisonnement analogue, que, si l'on suppose les densités alternativement croissantes et décroissantes du centre à la surface, on aura toujours

Dans le cas oti cette quantité est égale à ?• on trouve

f»t)» fnction doit donc être regardée comme la plus grande valeur dont q" »oil suscepliblo. iH il est ii remarquer que cette valeur serait encore moindre si l'on suppoiaît le rapport de l'effet de la Lune à celui

du Soleil plus grand que 2 et égal a -> comme M. Daniel Bernoulli l'a

conclu de la comparaison des observations sur les marées. Si Ton considère d'ailleurs que les hypothèses les plus naturelles que Ton puisse admettre sur la loi des densités des différentes couches du sphéroïde terrestre sont celles de Thomogénéité ou celle des densités croissantes de la surface au centre, et qu'elles sont nécessaires si la Terre a été primitivement fluide, on peut en conclure que, physiquement parlant, les observations de la précession des équinoxes et de la nutation de Taxe de la Terre ne permettent pas de supposer q^ plus

grand que -g?; cette valeur de q^ est bien différente de celle qui résulte

de la mesure des degrés de France et du Nord, et qui, comme l'on sait,

est égale à — g* Il parait donc impossible de concilier ces mesures avec

les observations du phénomène de la précession des équinoxes» dans l'hypothèse ou la Terre est un ellipsoïde de révolution recouvert par un fluide d'une profondeur variable ou constante.

Nous avons vu (art. XXVI) que, dans le cas où l'on suppose une figure elliptique au sphéroïde que la mer recouvre, on a

Y= — ^ j^ cos(/i«-+-cj-<p);

cette valeur de Y est d'autant plus exacte que l'astre se meut avec plus de lenteur. Nous en avons déduit les lois de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe de la Terre, et, comme nos résultats sont indépendants de la rapidité du mouvement de l'astre dans son orbite et qu'il n'y entre que les seuls mouvements du nœud de l'orbite lunaire et de la rotation de la Terre, il semble que l'on peut en conclure que ces lois subsisteraient encore dans le cas où le mouvement de la Lun£ serait comparable à celui de la rotation de la Terre,

pourvu que le mouvement de ses nœuds fût extrêmement lent; on s'en assurera d'ailleurs de la manière suivante.

Pour cela, nous observerons que, parmi les termes de la seconde classe qui (art. XXVI) forment l'expression de Y, il n'y a que ceux de la forme

Hcos(i7-i-cT-h A),

dans lesquels i est égal à /i ou en diffère extrêmement peu, qui puissent influer sensiblement sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l'axe de la Terre, parce que, dans les calculs auxquels conduit la détermination de ce phénomène, ces termes deviennent d'autant plus grands que i— n est plus petit; on peut donc négliger dans l'expression de Y les termes de la forme précédente dans lesquels (i — n)t est égal, par exemple, au double du moyen mouvement de la Lune dans son orbite, et ne conserver que ceux dans lesquels (i — n)t est égal au moyen mouvement du nœud de l'orbite lunaire. Il suit de là que, dans le développement de

aKsinvcosvcos(/i/ -hw-— 9),

il suffit de conserver les termes de la forme

K'cos(/i/-4-cT-f- A) et de celle-ci

K'co8(/i/ ±: m/ 4- e -f- A),

mt représentant le moyen mouvement du nœud, et l'on aura, par l'article XXVI, pour Y, une suite de termes de la.forme

lYi'q sind cosd cos(/i^ -+- w -f- A)

^^^(/-sÂnr)-'**

et de celle-ci

^ cos(/i/±:in/-+-?îT-4- A),

et cette yaleur de Y sera d'autant plus exacte que m sera plus petit par

rapport à /i; or il est clair que Ton trouvera la même suite en développant Fexpression

4K^ sinv cosv sin ô cosO

de Yt dont nous avons fait usage» pourvu que dans ce développement on ne conserve que les termes de la forme

Hcos(/i/-4-nn- A) el Hcos(/i/d=mr 4-nj4- A);

donc, quelle que soit la rapidité du moyen mouvement de la Lune dans son orbite, les résultats relatifs à la précession des équinoxes et à la nutation de Taxe de la Terre, que nous avons tirés précédemment de Téquation

« 4K^ sinv cosv sindcos0 , ^ .

Y = — ^ j^p- cos (/!/ -4- w — 9),

seront toujours vrais, si le moyen mouvement du nœud de l'orbite est très lent par rapport au mouvement de rotation de la Terre, et comme

il n'en est que gr — > on peut regarder ces résultats comme très approchés, quand bien même la rapidité du mouvement de la Lune dans son orbite produirait une erreur sensible sur la valeur précédente de Y\

Addition à l* article /.

Lorsqu'on cherche a priori la figure d'un sphéroïde homogène de révolution infiniment peu différent de la sphère dans le cas de l'équilibre, on est conduit à une équation différentielle d'un degré infini qui indique conséquemment que le problème est susceptible d'une infinité de solutions (voir Mémoires de l'Académie, II* Partie, p. 536 et suiv.; année 1772) (*), et, quoique je sois parvenu à exclure un grand nombre de figures, il me parait cependant extrêmement vraisemblable qu'il y en a une infinité d'autres que la sphère qui satisfont à l'équi-

(«) Œuvres de Laplace, T. Vm, p. 496.

QKurres de L. — IX. 35

^n RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS

libre. Si l'on en connaissait une seule, on pourrait en conclure une infinité qui ne seraient pas même de révolution, et cela par la considération suivante qui, plus approfondie, pourra servir peut-être à déterminer ces f^ures. Que Ton prenne à volonté sur le sphéroïde un point que Ton regarde comme pôle, et auquel on fixera Torigine de l'angle 0, 0 étant ainsi le complément de la latitude des différents points du sphéroïde dont nous désignerons par n la longitude ; supposons ensuite que i -+- ay soit le rayon d'un sphéroïde homogène en équilibre, a étant infiniment petit ci y étant fonction de 0 et de cr; en nommant aB l'attraction tangentiellc des sphéroïdes homogènes infiniment peu différents de la sphère, B étant fonction quelconque de 0 et de cr, on aura, dans le cas de l'équilibre, aB = o. Cette équation ayant lieu quels que soient 0 et cr, il est clair qu'elle subsisterait encore en changeant 0 en G h- a et ct en ct h- 6, a, b étant des constantes quelconques; soit y ce que devient y en vertu de ces changements, le rayon i -+- ay' satisfera donc à l'équilibre et, par conséquent, aussi le rayon n- aj^ -+- 0Lny\ n étant une constante quelconque ; or, a et 6 étant arbitraires, il est clair que l'on aura ainsi une infinité de figures qui satisferont à l'équilibre. Mais un rapport singulier qui existe entre Tatlraction des sphéroïdes homogènes, suivant la tangente, et leur attraction verticale ou perpendiculaire à la tangente, détermine la loi de la pesanteur a la surface de ceux qui sont en équilibre et la rend unique, malgré la multiplicité infinie de figures dont ils paraissent susceptibles. Ce rapport consiste en ce que l'attraction d'un sphéroïde homogène quelconque, infiniment peu différent d'une sphère, parallèlement à la tangente et multipliée par le petit côté du sphéroïde, est le double de la différence des attractions verticales du sphéroïde aux deux extrémités de ce côté. J'ai démontré ce théorème dans l'article I, mais il peut l'être plus simplement par la méthode suivante, qui, de plus, a l'avantage de s'étendre au cas où l'attraction est comme une puissance quelconque n de la distance.

Imaginons un point R placé sur une sphère MRB (y?^. 4) dont le rayon est i et C le centre; nommons R la masse de ce point, / sa di-

stance au point M, f sa distance au point quelconque m pris sur la surface de la sphëre, infiniment près de M; en abaissant du point R la perpendiculaire RH sur MC» et du point m la perpendiculaire mh sur RM, et décomposant l'attraction R/'' du point R sur le point M en trois

Kig. 4.

autrest dont la première, que nous nommerons v^ soit dirigée suivant le rayon MG; dont la seconde, que nous nommerons 6, soit dirigée suivant le côté M/ti, et dont la troisième soit perpendiculaire au plan MG/7t, on aura

•^ Mm

partant

on aura ensuite

MH

RM

Or, RM étant, par la propriété connue du cercle, moyenne proportion nelle entre MH et le diamètre entier MB, on a

MH / RM " 2 '

donc

soit v' l'attraction du point R sur le point m suivant le rayon mC, on aura

donc

ce qui donne

Il suit de là que, si Ton suppose une infinité de points distribués d'une manière quelconque sur la surface de la sphère, et que l'on nomme V et V la somme de leurs attractions sur les points M et m, dirigées vers le centre G, et B la somme de leurs attractions sur le point M parallèlement à Mm, on aura

Considérons maintenant un sphéroïde quelconque AMB {fig* 5), dont le rayon mené du centre C d'inertie à sa surface soit i + ay.

Fig. 5.

a étant infiniment petit et y étant une fonction quelconque continue ou discontinue de 0 et de cr; si Ton imagine une sphère dont le rayon soit I et qui soit tangente intérieurement à la surface du sphéroïde au point M, il est clair que le centre de cette sphère sera infiniment peu distant du point C, et que le rayon mené de son centre à la surface du sphéroïde ne différera de l'unité que d'une quantité de l'ordre a. Cela posé, l'attraction du sphéroïde est égale à l'attraction de la sphère, plus à Uattraction de l'excès du sphéroïde sur la sphère ; or on peut concevoir cet excès comme composé d'une infinité de petites masses

placées aux extrémités des rayons de la sphère, ces masses devant être supposées négatives partout ou le rayon de la sphère excède celui du sphéroïde; d'où il suit que, si Ton nomme S l'attraction de la sphère sur le point M, a.V et a V les attractions verticales de l'excès du sphéroïde sur la sphère sur les points M et m^ et aB son attraction horizontale, on aura, par ce qui précède,

V'-V = -^i-:tiB.M/?i.

Si Ton nomme A l'attraction verticale du sphéroïde sur le point M, et A' son attraction verticale sur le point /ti, on aura

A = S4-aV et A'=SH-aV,

donc

A'-A=-^^i^tlaB.Mm.

L'attraction du sphéroïde sur le point M, décomposée suivant le rayon MC ou suivant toute autre direction qui ne fait avec MC qu'un angle de l'ordre a, ne diffère de A que d'une quantité de l'ordre a^, ce qui suit évidemment de ce que l'attraction entière du sphéroïde sur le point M est dirigée suivant une droite MK, qui ne fait avec MC qu'un angle de l'ordre a; A peut donc également représenter et la pesanteur à la surface du sphéroïde et cette pesanteur décomposée suivant le rayon MC. De là résulte cette conséquence singulière, savoir, que, si l'attraction suivait la raison réciproque de la simple distance, la pesanteur serait constante à la surface de tout sphéroïde homogène infiniment peu différent d'une sphère, puisque l'on aurait alors

partant

Considérons AB comme Taxe commun à tous les méridiens du sphéroïde, et nommons G l'angle MCA; en supposant le point m placé sur le

méridien AMB» nous aurons, aux quantités près de l'ordre a,

partant, en négligeant les quantités de Tordre a*, nous aurons

A'-A=- ^L±-!-aBd6

ou

aB.

Nommons ensuite xs l'angle que forme le méridien AMB avec un premier méridien; si l'on prend sur la surface du sphéroïde un point /7t' infiniment voisin de M, et tel que l'angle /w'CA =.MCA, nous aurons, aux quantités près de l'ordre a,

M.m'i=zdrs sin6.

Soit, de plus, aC l'attraction du sphéroïde sur le point M, décomposée suivant la tangente Mm\ nous aurons

^A = aC dm sin 6,

0 étant regardé comme constant dans la difTérentielle d\; partant

dk /i -M

âv3 2

aCsïnd.

Si l'on suppose /i = — 2, ce qui est le cas de la Nature, on aura les deux équations

or on s*assurera facilement que ces équations répondent aux équations (a) et (a ) de l'article I.

Si Ton suppose que le sphéroïde tourne autour de l'axe AB, de manière qu'à l'équateur la force centrifuge soit a/, il est aisé de voir que cette force au point M sera a/sinO, que, décomposée suivant Mm, elle sera a/sin6 cos6, et que, décomposée suivant MC, elle sera — a/sin^ô; si Ton suppose, de plus, que le point M du sphéroïde soit animé, sui-

DU SYSTÈME DU MONDE. â70

vant les droites Mm» Mm' et MC, des forces quelconques aM, aN et aR, on aura

«B H-aM-4-«/sin0cos0

pour la force tangentielle suivant Mm;

«C-f-aN

pour la force tangentielle suivant Mm\ et

A-haR— a/sin*0

pour la force suivant MG» et qui ne diffère de la pesanteur au point M ou, ce qui revient au même, de la résultante des trois forces suivant MC, Mm et Mm', que des quantités de l'ordre a^ ; soit donc P la pesanteur, on aura

P = AH-aR — a/8in»e;

dans le cas de Téquilibre, les forces tangentielles sont nulle:^, ce qui donne les deux équations

«B =— «M — - a/sinôcosô, aC=— «N.

Si l'on différentie l'équation P = A 4- aR — a/sin^O en faisant varier 0 et 17, on aura

rfP = ^rf0-h^rf©-+-a^ — a«/é/0sinôcosô; on substituant dans cette équation, au lieu de -^ et ^, leurs valeurs

«B et aC8in&,

on aura

dP = — ^!-^ a(B de -{- Cdm sinQ) -i- (xdR — 2a/ciQ smO cosS;

si l'on substitue encore, au lieu de B et de C, leurs valeurs

— M — /sinôcosô et — N, on aura

dP= ^-ti«(M^Ô4-Né/©sinô)-hac^R4- '-^—^ct/desinecosO,

Pour que cette équation, et, par conséquent, pour que Téquilibre soit possible, MrfO H- NrfosinO doit être une différence exacte, et c'est ce qui a toujours lieu lorsque les forces aM et aN sont le résultat des attractions; soit donc dZ cette différence, et Ton aura, en intégrant l'équation précédente,

P - p'-+. ^Jtl «Z 4- «R 4- ^^ a/sîn»^, 2 4

P' étant une constante arbitraire.

Si le sphéroïde n'est animé d'aucune. force étrangère, on a

Z = o ei R = o, partant

P = P'h -. — a/sin*ô,

P' exprimant alors la pesanteur au pôle; dans le cas de la Nature, où w = ~ 2, on a

P=:P'-^a/sin>0,

ce qui est conforme à ce que Ton sait d'ailleurs; mais il est très remarquable que, dans le cas où /i = 3, on ait P = P'; d'où il suit que, si l'attraction était en raison composée de la masse et du cube de la distance, la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes en équilibre serait constante aux quantités près de l'ordre a^, quel que fût le mouvement de rotation des sphéroïdes.

Je réserve pour un autre Mémoire les recherches sur les oscillations de l'atmosphère.

RECHERCHES

8Un PLU8IKUR8 POINTS

(suite.)

œuvres de L.— I\. 3(>

RECHERCHES

tCR PLUSIECRS POi:«TS

(suite.)

Mémoires de VActidémie royale des Sciences de Paris, année 1776; 1779.

Sur les oscillations de V atmosphère.

Le fluide qui forme notre atmosphère est élastique, et sa densité varie suivant une fonction de la pression et de la chaleur; celle-ci n'est pas constante pour un point donné de l'atmosphère : comme elle est principalement occasionnée par la présence du Soleil, elle change à chaque instant du jour par le mouvement de rotation de la Terre, qui présente successivement à cet astre les différents points de sa surface, et, à chaque jour de Tannée, par Tinclinaison de l'écliptique sur Téquateur, qui rend inégale la durée des différents jours et qui augmente ou diminue les hauteurs méridiennes du Soleil. On voit aisément que les variations de la chaleur, qui résultent de ces différentes causes, doivent exciter dans l'atmosphère des oscillations qu'il parait impossible de soumettre au calcul, parce que la loi de ces variations, suivant les différentes latitudes et les différentes hauteurs de l'air au-dessus de la surface de la Terre, n'a pas encore été suffisamment

(}) Remis le a 5 décembre 1778.

OEmres de £. — IX. 36*

déterminée; d'ailleurs, un si grand nombre de circonstances influent sur ces variations, que, dans le cas même où Ton aurait toutes les données nécessaires pour résoudre ce problème, on rencontrerait vraisemblablement, du côté de TAnalvse, des difficultés insurmontables. Dans cette impossibilité d'assujettir à un calcul rigoureux les oscillations de Tatmosphëre, il ne nous reste qu'à faire, sur son état, les suppositions les plus approchantes de la nature et qui soient en même temps susceptibles d'être traitées par les méthodes que nous offre l'Analyse; or, dans le nombre infini de ces hypothèses, la plus naturelle, et tout à la fois la plus simple, est celle dans laquelle on suppose à tous les points de l'atmosphère un même degré de chaleur toujours constant et égal au milieu arithmétique de tous les degrés de chaleur que la masse entière de l'air éprouve à chaque instant; j'adopterai conséquemment cette supposition dans les recherches suivantes: je suis bien éloigné de la regarder comme exacte, mais elle suffît pour donner une idée approchée du genre d'oscillations que l'action du Soleil et de la Lune peut exciter dans l'atmosphère. Je supposerai de plus que, à un degré de chaleur constant, la densité de l'air est proportionnelle«à la force comprimante, ce qui est vrai à très peu près, surtout lorsque les variations de densité sont fort petites; il en résulte que, à la rigueur, la hauteur de l'atmosphère est très grande et même infinie par rapport au rayon de la Terre; mais il est facile de s'assurer que, en partant de cette loi sur la variation de la densité de Tair, ce fluide est excessivement rare à la hauteur d'un petit nombre de lieues au-dessus de la surface de la Terre; en sorte que, dans la recherche de ses oscillations, on peut, sans craindre aucune erreur sensible, négliger son action au-dessus d'une médiocre hauteur.

Il résulte des calculs suivants que l'action du Soleil et de la Lune n'excite dans l'atmosphère que des mouvements périodiques analogues à ceux de la mer, mais trop faibles pour pouvoir être observés; d'où il suit que le mouvement constant de l'air d'orient en occident que l'on observe dans la zone torride, sous le nom de vents alizés, n'est point occasionné par les attractions de ces deux astres. L'eflet le plus sen-

sible qu'eUes produisent est une légère variation dans la hauteur du baromètre; cette variation est d'environ un quart de ligne à Téquateur ou elle est a son maximum; mais elle peut être beaucoup augmentée par les circonstances locales, telles que de hautes montagnes qui, en resserrant l'atmosphère, en rendraient sensibles au baromètre les plus petites oscillations. Une chose digne de remarque est que, dans les suppositions les plus vraisemblables sur la profondeur de la mer, la marche des variations du baromètre à l'équateur est contraire à celle des marées, c'est-à-dire que l'instant de la haute mer est celui de la plus grande dépression du mercure et réciproquement. Comme il est très intéressant de s'assurer de l'existence et de la loi de ces variations, je finis par exposer une méthode fort simple pour cet . objet et par inviter les observateurs à suivre d'une manière particulière un phénomène aussi curieux.

Considérons une molécule de l'atmosphère dont, a l'origine du moutement. A' soit la densité; 5 -+-5' le ravon mené du centre de la Terre à cette molécule, s représentant la partie de ce rayon qui va du centre de la Terre à la surface de la mer considérée dans l'état d'équilibre, et ï représentant l'autre partie comprise entre cette surface et la molécule; soit 6 Tangle formé par ce rayon et par l'axe de rotation du sphéroïde terrestre; vs la longitude de la molécule par rapport à un méridien fixe ou qui ne participe point au mouvement de rotation de la Terre. Supposons que, après le temps t. A' se change en A'(i -+- ap); s en s -h oir; ï en s' -h ar'; G en 0 -+- au'; et m en u -h nt -h av\ m représentant le mouvement de rotation de la Terre et a étant un coefficient extrêmement petit. Cela posé, imaginons que la molécule atmosphérique est un petit prisme rectangle dont les trois dimensions sont

et

(«4-«'-l-«r4-«r')<fe8in(9-h««')(n- «^)

la solidité de ce prisme géra, en négligeant les quantités de Tordre a*,

-^aa(i-h5')(r-^^') .

Dans rinstant suivant, ce prisme se changera dans un solide d*unc autre figure; mais il est aisé de s'assurer que» en calculant la masse de ce nouveau solide comme s'il était un prisme rectangle» on ne négligera que des quantités infiniment petites du second ordre, par rapport à celles que Ton considère; on peut donc supposer nulle la différentielle de la quantité précédente, prise en ne faisant varier que le temps t, ce qui demande que Ton ait

(.v-t-5')'sin0 \-^ oi^j -+-a-ïz- -H «3— 4-aa'-;— û -l- ap ) ' \ ds* dB ans smô v

H- a a(5 4- s') (r -h r') sinô = 9(5 -4- *', 9, bj),

f (f + s\ 0, xs) étant une fonction indépendante du temps ^; or on a, à Torigine du mo.uvement,

r=:o, r'z-o, ti'=o et i^'^o;

donc

on aura ainsi

dr' du' âv' ,cos0 r -{' r'

et, comme r et r' peuvent être négligées relativement à u\ par des considérations analogues à celles de l'article IV, on aura

, ,, âr' du' dv' ,cos0

^ ' âs' âd ma smd ^

équation qui, pour les fluides élastiques, répond à l'équation (i) de l'article II, relative aux fluides incompressibles.

Il est aisé de voir que l'équation (3) de l'article IV aura encore lieu pour le cas que nous discutons ici, pourvu que l'on y change s en

DU SYSTÈME DU HOND£. VTi

s-hï, ds en di^, A en A'(i + ap), uenu'etvenv^; on aura ainsi

-h a(5 -h 5')' 3ï5j(sin*0-^ H- 2n-j--sinQcos6j

(3') { -2a/i(5 4-5')«5'sin'0^

3[(5 4-5'-f-ar-h ar')sin(0H-aa')]*

::r .- Fd/- F'4/'-. . . - -nr-^ — r,

la caractéristique 8 servant à désigner, comme dans Tarticle cité, les différences des quantités prises en regardant le temps / comme constant, ou, ce qui revient au même, en ne considérant que 6, ex et 5 comme variables; les différences S/, B/\ . . . représentant les éléments des directions des forces F, F', ... qui animent la molécule atmosphérique, etp exprimant la pression qu'elle éprouve.

Considérons maintenant Tair et les eaux de la mer, tels qu'ils étaient à l'origine du mouvement, c'est-à-dire dans l'état d'équilibre, et cherchons l'équation de l'équilibre pour une molécule de l'atmosphère, dont la distance au centre de la Terre soit s -f- ^'-f- ar-f- ar^, dont la longitude soit ct -+- /i/ -f- en/, et pour laquelle l'angle 0 soit 0 4- olu\ Si Ton nomme, comme ci-dessus. A' la densité de l'atmosphère, qui répond aux quantités 6 et 5-1-^', et/?' la pression correspondante à ces mêmes quantités; si, de plus, on considère que, dans l'état d'équilibre, A' etp' sont les mêmes pour toutes les molécules également élevées audessus du niveau de la mer, il est aisé d'en conclure que la densité de

la molécule dont il s'agit est A' h- ar^ -jry en négligeant les quantités de

l'ordre a*, et que la pression qu'elle éprouve est/?'-t- a^^- Nommons

présentement 6 l'attraction du sphéroïde terrestre des eaux de la mer et de l'air sur cette molécule, et ê la droite suivant laquelle elle agit; nous aurons, dans le cas de l'équilibre,

F«/+F'3/'-i-... = Gd6,

et comme ce même cas donne

du' rf.'

7/7 = °' -dî = °' l'équation (3') se changera dans la suivante

2.3[(, ^- ,'+ ar + xr') sin(9 + a«')]*- - G 36 ^^ ^^

as

En retranchant cette équation de l'équation (3'), on aura

a{s-hs

')*3ï5jfsin' 0-775- -h 2/i-y-sinôcos0 j

-- 2a/i(* -h s')is' sin^Q—i-

Supposons /?'= /'g' A', g^ représentant la pesanteur et /' étant une très petite quantité constante pour un' même degré de chaleur, et qui, comme on le verra dans la suite, est ^ du rayon terrestre, ou à très peu près égale à deux lieues; nous aurons p = VgM{\ + ap), ce qui donne, en négligeant les quantités de Tordre a',

as

Il est clair que a( A'p — ^"tt) exprime la différence de densité de

deux molécules d'air qui occupent le même lieu, la première dans l'état de mouvement et la seconde dans l'état d'équilibre; mais ces deux molécules sont différemment situées au-dessus de la surface de la mer, dont les eaux s'élèvent (art. V) djj la quantité dy au-dessus de leur surface d'équilibre. 11 suit de la que, pour avoir la différence de

densité de deux molécules d'air, situées sur le même rayon et également élevées au-dessus de la surface de la mer, la première dans Tétat de mouvement et la seconde dans Tétat d'équilibre, il faut

ajouter à la différence précédente le terme ^y-ji^ ce qui donne

a A'p -^ (>' — ^)"5-7 pour la différence cherchée; or la loi des densités de Tair dont nous partons dans ces recherches donne

as' ■" l' ' la quantité précédente devient ainsi a A'(p -h —jr^jl représentons-la

par ./ et nous aurons

as

— al'gi\p-r'--^)=.''<xg6y'-oigiy.

Présentement il est aisé de s'assurer, par l'article Y, que, en supposant M extrêmement petit, on a à très peu près

GiB -¥ if -F' if -...-^-ay Aie -+-S (à --- iji\y

— ayABt étant relatif à l'attraction de la mer, S(8^ — 8^) étant

relatif à l'attraction de l'astre que l'on suppose agir sur l'atmosphère, et ces deux quantités étant telles que nous les avons définies dans ce même article Y; on aura donc

yi^{^^r-^n^^--^^^cose)

(cPv' du' \

^*°*^ "TIF '^'^'^Ht sinôcosô I

dv' — 2a/i(5-h5')i5'sin*0-^

= - ayk iz — ag{iy'^iy) -f- S (ij — ijX

Il résulte de cette équation que ^ n'est que de l'ordre — u}, et comme

ORuvreê de L, — VU, ^"J

dr'

on a y = /'p -f- r' — j, il est clair que ^- sera pareillement du même

ordre; en négligeant donc cette quantité dans l'équation (i'), elle donnera

du' dif' ,cos5

On aura ensuite aux quantités près de Tordre — u\ r^ constant pour

toutes les molécules d'air situées sur le même rayon; or, à la surface de la mer, r^ = y; on pourra donc supposer à r' cette valeur pour

toutes les hauteurs de l'atmosphère; la quantité aA'(p-f- —p—) se

réduira ainsi à a A'p, et ce terme exprimera la différence de densité de deux molécules d'air situées sur le même rayon et également élevées au-dessus de la surface de la mer, la première dans l'état de mouvement et la seconde dans l'état d'équilibre; de plus, on aura y= l'p; partant

Si l'on considère le mouvement des molécules d'air contiguës à la surface de la mer ou celui des molécules d'une même couche aérienne parallèle à cette surface, il faudra supposer Z^ = o\ l'équation (4') donnera, par les articles Y et YI, les deux suivantes, en y supposant ^ -h ^' ~ I ,

,.,. d^u' dv* . ^ . dy dy .^D dR

(6) -.,;,8m9cosô = -^^^^^4-A^4.^,

/ /x ^^ ' ta du! ,, û ày dy . dD (^R

D étant tel que nous l'avons défini dans l'article XXII, et R étant, comme dans le même article, égal à

K[cos9cosv + sin9sinvcos(ii^-hiiJ ~9)]^

Au moyen des équations (5'), (6') et (7'), on déterminera les oscillations de l'atmosphère lorsqu'on aura déterminé celle de la mer; si Ton

suppose» en effet, y = i dans l'équation (6) de l'article XXII et qu'on la retranche de Téquation (5'); si l'on retranche pareillement les équations (7) et (9) du même article, des équations (6') et (7'), on aura, en faisant 1/' — m = i/" et ^ — i' = (^,

Y y __âu'' , âv" yC0s9

d^sf . ,^ du' , ^ . dy'

dt^ dt (m

On cherchera donc j par les méthodes que nous avons données précédemment pour cet objet; on déterminera ensuite, par les mêmes méthodes, j^, u*" et {^, d'où il sera facile de conclure tout ce qui est relatif aux oscillations de Tatmosphèro.