H-3CO820, , 1 . , X
ay = oP, 76!i9 ^ (cos' v — ^ sm' v)
0,5 4-0,3753 sin' 9 -h 0,0788 sin* 9 oP, 7629 sin* 9 I -h 0,00787 sin* 9 \ sin* v cos ( 2 /i^ -h 2 bj — 2 9 ).
0,00047 sin' 9- 0,00002 sin*®0
Cela posé, si l'on traite les équations (5'), (6') et (7') par la méthode des articles XXIV et suivants, on trouvera d'abord, par l'article XXV, que la partie de l'expression de ay' qui répond aux termes
K^ 9a « .^K.'«/i'« - ^/? I-4-3cOS2 0. - « . • V
cos' 0 cos* V H- -;— sm'ôsm'v et op,7629 ^ (cos*v — {sm'v)
(les expressions de aR et de ay est nulle, parce que, en n'ayant égard
qu a ces termes, on a
On trouvera ensuite, par Tarticle XXVI, que la partie de Texpression de OLy qui répond au terme
2Ksinvcosvsindcos9co8(/i/ + in — 9)
de l'expression de R est cncone nulle. Enfin on trouvera par les articles XXIV et XXVII que, si Ton nomme a le coefficient de cos( 2/1/ -f- 2CT — 2ç) dans Texpression de j; a! et a" ceux du même
cosinus dans les expressions de y et de y -^y — ~> on aura k très peu près
o — x-(i -Jc-)-T-^ — wF-. - — aa'(4 — X*) H- -77— /i'j:\
X étant égal à sinO. Or, si Ton fait — - — -- ç, on aura
rt — rt'-h a— -jr',
partant
flf' — fl — flf H — .r' ;
de plus, /"" étant égal à 2 lieues, on a, par l'article XXVII,
et, par le même article, on a
=:oP,7629;
l'équation précédente deviendra donc, en y substituant, au lieu de a.
sa valeur
ir)
0,3752 -h 0,0783 x^ \ 0,00787 jr*
= 7P,629sin'vx' .
Pour intégrer cette équation, on supposera, conformément à la méthode de l'article XXVII,
A<^)x»-hA(»>a:*<>4-A<«>x"),
et Ton aura les huit équations suivantes :
i6At' — loA ^o,
4oA<*)— 28A('>-MoA =0,3752,
72A<»î- 54A^«J-hioA^»'r=:o,o783,
ii2A<*>— 88A(»>-+- 10 A<»J — 0,00787,
i6oA<»>— i3oA<*> 4- ioA<»>= 0,00047,
ai6A<*^— i8oA<*^ -h loA^*^—- 0,00002,
— 238A<*)-hioA<»>=o,
(*) I0A<«>rTr0.
En ne considérant que les sept premières, on aura
A =: — 0,2344» A^*^ = — o,ooo3649,
A<'> = — 0,03457, A^'^ = — 0,0000008970. A^*^ = — o,oo44o2.
Maintenant, il est clair que si Ton ajoutait au second membre de l'équation (r) le terme
— 7P, 629. 0,00000897 sin'v j?*®,
on aurait, au lieu de l'équation (s), la suivante
* loA^*^ 1^ — 0,00000897,
ce qui donnerait pour A'^^ la même valeur que précédemment, d'où il suit que Texpression précédente de ao^ satisferait alors exactement à l'équation (r) ; or le terme
— 7P, 629 . 0,00000897 sin' V a:*®,
étant excessivement petit par rapport aux autres termes de cette équation, peut lui être ajouté sans craindre aucune erreur sensible. On doit donc regarder comme fort approchée la valeur précédente de aa" : il est facile d'en conclure la valeur ay, car on a, par ce qui précède,
of^ = aa' cos(2/i/ -h 2Ï5J - aç) ^= / aa' — aa^ -h a- j?' j cos{^nt 4- a© — 29).
Pour déterminer présentement les variations de la hauteur du baromètre, nous nous rappellerons d'abord que ay=:a/'p, et que aA'p exprime la différence de densité de deux molécules d'air également élevées au-dessus de la surface de la mer, la première dans Tétat de mouvement et la seconde dans l'équilibre; nous considérerons ensuite que le baromètre étant fixé au-dessus de la surface de la Terre est moins élevé au-dessus de la mer que dans le cas d'équilibre de la quantité ay. La variation de densité des molécules d'air qui pressent la surface du mercure est donc égale a
d'où il suit que, pour avoir la variation des hauteurs du baromètre, il faut ajouter les valeurs de ay et de ay et les multiplier par le rapport de 28^ à 32P.85o. On aura ainsi, en vertu des actions réunies du Soleil et de la Lune, la variation de la hauteur du baromètre.
égale à
0^% 009424 s [cos*v — Jsin*v-f-e(cos*v' — jsin'v')]
esin*v'cos(an^-H 2m — 29') sin'v cos{2nt 4- acj — 29 )
0,5 — 2,344 sin' 0
~ 1,465 sin* e
-4- o"«, 009424 sin' ô{ —0,346 sin* 9
— 0,044 sin* 9
— o,oo4 sin*°0
Dans les nouvelles et pleines lunes des équinoxes, et en supposant e = |, la différence de la plus grande élévation à la plus grande dépression du mercure dans le baromètre, à Téquateur, est égale à 0^*^,244 ; mais, ce qui est très remarquable, IMnstant de la plus grande dépression est celui de la haute mer, et réciproquement ; et comme il n'est pas vraisemblable que la profondeur de la mer soit beaucoup moindre que quatre lieues, puisqu'on aurait autrement des marées trop peu considérables, il en résulte que cette singularité a lieu dans les suppositions les plus probables sur la profondeur de la mer, en sorte que si, par une longue suite d'observations barométriques, on parvenait à démêler les effets de l'action du Soleil et de la Lune sur l'atmosphère, il 7 a beaucoup d'apparence que, dans les lieux situés près de l'équateur, on trouverait la marche des oscillations du baromètre contraire à celle des marées : il suit au moins de nos calculs qu'il est très différent, dans la recherche des variations du baromètre, de considérer l'air comme recouvrant immédiatement le sphéroïde terrestre ou comme surnageant au-dessus de l'océan.
Il est facile, au moyen des valeurs précédentes de y et de j, de
déterminer les vitesses a -7- et a -3- sin 0 de l'air dans le sens du méri-
dien et dans celui du parallèle; il suffît pour cela de substituer ces valeurs dans les équations (6') et (7') de l'article précédent et de satisfaire ensuite à ces équations en y supposant A = o. En faisant ce calcul, on trouvera que la vitesse de l'atmosphère résultante de l'action du Soleil et de la Lune est inappréciable par l'observation, et
OF.ufreê de L, — IX. 38
298 KECHEUCUëS SUR PLUSIEURS POINTS
qu'il est impossible de la démêler d'avec toutes les variations auxquelles les vents sont assujettis : pour le faire voir» déterminons le mouvement d'une molécule aérienne située sous l'équateur lorsque l'astre attirant est dans le plan de ce grand cercle; on aura dans ce cas U ---- o, et l'équation (7') de l'article précédent deviendra
en substituant dans cette équation, au lieu de -i^ -h :^> sa valeur
* ors OGJ
— îi ( a' -+- a ) sin ( 2 /i^ 4- 2GJ -— a cp ),
on aura, en observant que 2a^(a'-i- a) — aK = 'ioLga'\
a -7j- = ~ 2^. 7P, 629.0,4203 sin(2/i/-i-2Bj — 29), ce qui donne, en intégrant, .
OL--JJ — H -H —7P, 629.0,4208 C0S(2n^4- 2CI — 29),
H étant une constante arbitraire. Or, si Ton suppose que l'élément dt du temps soit d'une seconde, ac// représentera l'espace parcouru dans l'intervalle d'une seconde; de plus, en nommant T le temps d'une révolution de la Terre sur son axe, on a ni égal à 36o®, le rayon étant pris pour l'unité; par conséquent
ce qui donne
ndt — -
ii3 23»» 56"» "" ii3 3o.i436
D'ailleurs -^ = -q-; on aura donc
-ndt. 7P, 629 . o , 4203 = OP, 06758,
partant
Oidv'^=z(xWr{- OP, 06758 COS( 2/1^-1- 2Ï5J— 29),
la constante aH' étant égale à Hdt. Si cette constante n*était pas nulle» il en résulterait à Téquateur un vent constant d'occident en orient ou d'orient en occident, suivant qu'elle serait positive ou négative, et l'on pourrait expliquer par là les vents alizés que Ton observe sous la zone torride; mais la valeur de cette constante dépend du mouvement initial de l'atmosphère, et nous avons observé dans l'article XXI que la vitesse qu'elle a pu produire a dû être anéantie depuis longtemps, en vertu des résistances en tous genres que les molécules de l'air éprouvent en oscillant; d'où Ton peut généralement conclure que les vents alizés ne sont point occasionnés par l'action du Soleil et de la Lune sur l'atmosphère.
Si l'on suppose ces deux astres en opposition ou en conjonction dans le plan de l'équateur, et si l'on fait ^ = f, on aura op,2365 pour le plus grand espace qu'une molécule d'air parcoure dans l'intervalle d'une seconde, en vertu de leurs actions réunies : or il parait impossible de s'assurer, par l'observation^ de l'existence d'un vent aussi peu considérable dans une atmosphère d'ailleurs très agitée; mais il n'en est pas ainsi des variations barométriques, vu surtout l'extrême précision dont les variations du baromètre sont susceptibles; dans ce cas, on pourra faire usage de la méthode suivante pour démêler ces variations d'avec celles que le baromètre peut éprouver par d'autres causes.
Nous supposons ici que l'on ait un excellent baromètre, garni d'un nonius, pour observer jusqu'aux petites fractions de ligne. Cela posé, concevons que, dans les syzygies, l'instant de la plus grande dépression barométrique soit celui de midi, l'instant de la plus grande hauteur aura lieu environ six heures après; on observera conséquemment la hauteur du baromètre à ces deux instants; et l'on retranchera la première de la seconde : le jour suivant, on fera une observation semblable, en ayant égard au retard du flux atmosphérique, à raison du mouvement relatif de la Lune par rapport au Soleil; et pour déterminer ce retard, on suivra la même règle dont on fait usage dans les ports pour déterminer le retard des marées. En comparant ainsi une
longue suite d'observations et rejetant, pour plus d'exactitude, celles dans lesquelles les variations du baromètre auront été très considérables dans un petit intervalle de temps, en vertu des grands changements que l'atmosphère a subis d'ailleurs, on fera une somme de toutes les différences que l'on aura trouvées, et en la divisant par le nombre des observations, on aura à très peu près la quantité moyenne des variations barométriques qui résultent de l'action du Soleil et de la Lune.
Le système (J'observations dont nous venons de parler suppose que, dans les syzygies, l'instant de la plus grande dépression arrive à midi; mais comme, dans nos ports, le moment de la haute mer arrive presque toujours plus tard que suivant la théorie, la même chose peut avoir lieu pour l'atmosphère. De là résulte la nécessité de former plusieurs systèmes d'observations semblables au précédent, avec cette différence que, au lieu de fixer l'instant de la plus grande dépression barométrique à o'*, on le fixera successivement à o*'3o"», à i**, à i^'So", à 2*", à 2^30^, à 3**, etc., et le système qui donnera la plus grande variation est celui qu'il faut préférer. Lorsqu'on se sera bien assuré par là du véritable instant de la plus grande dépression du baromètre pour le lieu où Ton observe, on pourra facilement déterminer la loi de ses variations, relativement aux différentes positions du Soleil et de la Lune. Tout cela suppose que l'action de ces deux astres sur le baromètre est sensible; or nous avons vu que, à l'équateur, elle le fait varier d'un quart de ligne à peu près; mais cette variation peut être considérablement augmentée par les circonstances locales et surpasser une et même deux lignes, ainsi que nous voyons la mer s'élever, dans beaucoup d'endroits, quinze ou vingt fois plus que suivant le calcul. Quoiqu'il soit impossible d'indiquer avec certitude, autrement que par l'expérience, les lieux où ces variations barométriques sont les plus considérables, il parait cependant que ce sont principalement ceux qui, situés près de l'équateur, sont traversés par de hautes montagnes qui, en resserrant l'atmosphère, peuvent en rendre sensibles les plus légères oscillations. Un phénomène aussi curieux mérite assuré-
ment l'attention des observateurs et nous les invitons à le suivre d'une manière particulière.
Sur les ondes. %
.Si Ton agite une eau tranquille, on voit aussitôt se former autour du centre d'agitation des cercles qui s'agrandissent sans cesse en s'éloignant de ce point; ces cercles, formés par les élévations et les abaissements successifs du fluide, ont été nommés ondes. Newton est le seul, que je sache, qui se soit proposé d'en déterminer la nature (Liyve II des Principes, propos. 46); ce grand géomètre, considérant une eau stagnante renfermée dans un canal infiniment étroit et d'une largeur constante, suppose que la superficie de cette eau monte et descend par des ondes successives, dont nous représenterons par A, CE, ... les sommets et par B, D, F, ... les points les plus bas; en comparant ces ascensions et descensions alternatives aux oscillations de l'eau dans un canal recourbé, il trouve que, si l'on prend un pendule dont la longueur soit égale à la largeur AC ou BD des ondes, elles parcourront, en avançant, un espace égal à cette longueur, dans le même temps durant lequel le pendule achèvera une oscillation; d'où il suit que la vitesse des ondes est en raison sous-doublée de leur largeur; il étend ensuite ces résultats aux ondes formées dans un canal d'une longueur et d'une largeur indéfinies, où, par conséquent, .elles se propagent circulairement; mais il observe qu'alors le temps de la propagation n'est déterminé par là qu'à peu près. On sent aisément que cette théorie étant fondée sur l'analogie des ondes avec les oscillations de l'eau renfermée dans un canal recourbé, analogie que Newton suppose sans la démontrer, ses résultats sont très incertains; il est donc utile de traiter de nouveau cette matière, en n'employant que les principes les plus incontestables du mouvement des fluides. C'est ce que je me propose de faire dans cet article, en ne me permettant d'autre supposition que celle des ondulations infiniment petites;
je ne considérerai ici que le cas traité par Newton, et dans lequel on suppose Teau renfermée dans un canal infiniment étroit» d'une longueur indéfinie et dont la profondeur et la largeur sont constantes. Je réserve pour un autre Mémoire la discussion du cas où le canal a une longueur et une Igrgeur indéfinies.
La manière la plus simple de concevoir la formation des ondes est d'imaginer une courbe quelconque, plongée dans le fluide jusqu'à une profondeur très petite et retenue dans cet état jusqu'à ce que tout le fluide soit en équilibre; en la retirant ensuite hors du canal, il est clair que le fluide tendra à reprendre son état d'équilibre, en formant des ondes successives. La nature et la propagation des ondes ainsi formées seront l'objet des recherches suivantes.
Soient
/ la profondeur du canal dans l'état d'équilibre;
X et Z les deux coordonnées horizontales et verticales qui déterminent, à l'origine du mouvement, la position d'un point quelconque du fluide;
X-h OLX et Z-h OLZ les coordonnées qui déterminent la position de ce même point après le temps /, a étant supposé infiniment petit.
Si l'on considère présentement un parallélépipède infiniment petit, dont la largeur soit égale à la largeur infiniment petite du canal, que
nous désignerons par 6, dont la longueur soit dx(i -+- « w) et dont
la hauteur soit dZyi-hoL-^jy en nommant A la densité du fluide et
négligeant les quantités de l'ordre a^, on aura pour l'expression de la masse de ce parallélépipède
dans l'instant suivant, ce parallélépipède se changera dans un solide d'une autre figure ; mais il est facile de s'assurer que, si l'on calcule la masse de ce nouveau solide comme s*il était un prisme rectangle, on
ne négligera que des quantités infiniment petites du second ordre par rapport à celles que Ton considère; on peut donc supposer nulle la différentielle de la quantité précédente prise en ne faisant varier que le temps /» ce qui exige que cette quantité soit égale à une fonction indépendante du temps; on aura donc
A6rfX<5rY^n-«j| + 6^)=:A6rfX^Y9(X,Y),
ç(X»Y) étant une fonction quelconque de X et de Y sans /; mais, x et z étant nuls à Torigine du mouvement, cette fonction se trouve déterminée et égale à l'unité; partant on aura
Si Ton nomme ensuite p la pression qu'éprouve la molécule fluide et g la pesanteur, l'équation (B) de l'article III donnera, dans le cas présent,
la caractéristique S servant, comme dans l'article cité, à désigner les différentielles des quantités prises en regardant le temps'/ comme constant. Cette équation a encore lieu, par le même article, pour tous les points de la surface extérieure du fluide, pourvu qu'on y suppose S/> = o et que les différences rfX et dZ soient celles de la surface même.
Pour que l'équation précédente soit possible, il faut que
soit une différence exacte et qu'ainsi l'on ait
dZ ~ dX '
en intégrant cette équation deux fois de suite par rapport à / et observant que, par la formation précédente des ondes, on a
dx dz
x = o, z^o, -^=0 et ^=0,
lorsque / ~ o, on aura
partant
or l'équation (R) donne
on aura donc
dx dz
dl
d\ rfZ ~
à* s dZ"
Cette équation est aux différences partielles du second ordre, et son intégrale complète est, comme Ton sait,
ç(X) et ^(X) étant des fonctions quelconques arbitraires de X qui renferment le temps / ; les deux équations
dx dz dx ds
donneront ensuite
On doit donc observer ici que, Z étant nul, on a
5 rrs o,
quels que soient X et /; on a donc partant
« = 9(X-f-Zv/— i) — 9(X— Zv/— i),
a:=:~v/=l[(p(X + Zv/=^)-h9(X-Z/:n)J,
on aura, an moyen de ces équations, les valeurs de x etde z relatives à tous les points du fluide, lorsqu'on aura déterminé ces valeurs en X et en i pour tous les points de la surface; or Téquation (S) devient à la surface
d*où il suit que dL est de Tordre a. Soit donc à la surface du fluide
u étant une fonction quelconque de X; on aura, en négligeant les
quantités de l'ordre a^,
,«,. * du dz d}x
Il faut maintenant satisfaire à cette équation et à ces deux-ci
^ = - V^=n [9(Xh- /v/=l) -+- 9(X- /y^:^)];
or cela parait très difficile en général, c'est-à-dire en donnant à u une valeur quelconque arbitraire; il ne nous reste donc qu'à y satisfaire dans des suppositions particulières pour u.
COS cos- h de ipanière que l'on ait m = o,
tant que X n'est pas compris entre les limites -f- A et — A, ce qui
revient à faire au delà de ces limites cos- constamment égal à cos-;
l'équation (T) devient alors
,rp/^ ga , \ dz d}x
On peut y satisfaire et remplir toutes les conditions du mouvement, en supposant
A sin - (e*^ -f- e 0,
A cos - le*' — e '^ 7, c ^'
OEupres de L.
e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité, et A étant fonction de / seul» car il est aisé de voir que ces valeurs de x et de z satisfont aux équations
dx dz dx dz
et à la condition de 3 = o lorsque Z = o. Si l'on change dans ces valeurs Z en / et qu'ensuite on les substitue dans l'équation (T'), on aura
Si l'on intègre cette équation, en ayant soin de déterminer les constantes arbitraires de manière qu'à l'origine du mouvement on ait
A ~ o et ^ = o, on trouvera facilement
Az= -^ zrji^ — COS/l^),
n étant égale à \ / — 1 zrr"^ partant, on a généralement
, a? r=r a -^ 3-jSm — (i — cos/i^),
