IL

Z z=: — a—j ::-^cos— (i — cosn^).

Il résulte de ces expressions que les molécules intérieures du fluide oscillent d'une manière semblable à celles de la surface, avec cette seule différence que leur mouvement dans le sens vertical est moindre

dans la raison de e"" — e *" à e'^ — e '' , et que leur mouvement dans le

sens horizontal est moindre dans la raison de e*^ -i- e"" ke"" -h e * ; d'où il suit que, si c est peu considérable, le mouvement du fluide sera presque insensible à une médiocre profondeur : il ne s'agit donc plus que de bien déterminer, pour tous les points situés à la surface du fluide, la signification des valeurs précédentes de x et de z, qui, ayant été données par l'intégration d'équations aux différences partielles, doivent être plutôt regardées oômme des symboles que comme de véritables expressions analytiques. Si l'on considérait, en effet, sous ce dernier rapport le facteur i — cos/i/ qu'elles renferment, on serait naturellement porté à conclure que la masse entière du fluide doit s'ébranler dès le premier instant du mouvement, et que chaque molécule fera éternellement des oscillations dont la durée est égale k ;

or l'une et Tautre de ces conséquences est démentie par l'expérience, qui nous montre que les parties du fluide s'ébranlent successivement et que chaque molécule ne fait qu'un nombre fini d'oscillations, déterminé par la nature de l'ébranlement primitif, après quoi elle reste en repos. La solution de cette difficulté mérite une attention particulière, en ce qu'elle renferme une application délicate du Calcul intégral aux diff'érences partielles.

L'expression de s devient, à la surface du fluide,

5=:acos-7 (cosn^ — i) — a - cos( nt\ -\- - cosi -^ -hntj — cos— ;

la hauteur de la molécule fluide au-dessus du niveau du canal, étant égale à a</ + az, sera «onséquemment égale à

[i /X \ I /X \ hl

«a -cos ( -7 —nt\ -+- 7C0s( hntj — cos~ ;

il faut donc déterminer la fonction arbitraire ç(X) de l'expression générale de au + az, de manière que cette expression soit égale à la quantité précédente; or on doit se rappeler ici que, / étant nul, la

valeur de olu -h olz est nulle, quel que soit X, lorsqu'il cesse d'être compris entre les limites -f- A et — A, en sorte que Ton a, au delà de

ces limites, cos~ =cos-- Cette considération doit donc nous guider dans la détermination des valeurs de cosf - =b nt\ et nous devons

supposer ce cosinus constamment égal à cos-> lorsque Tangle — du /il

n'est pas compris entre les limites -î- - et ; d'où résulte cette conséquence, savoir, que la molécule déterminée par les coordonnées X et Z ne commence à s'ébranler que lorsque le temps / est tel que

l'angle - à=. ni commence à être compris entre ces limites, et qu'elle

cesse d'être ébranlée lorsque cet angle cesse d'y être compris.

Ne considérons ici que les valeurs positives de X (on pourra faire des remarques entièrement semblables sur les valeurs négatives); supposons, de plus, X plus grand que h\ on aura, dans ce cas,

1 -f- /ï/j =cos-, et l'expression précédente de au -h olz deviendra

la molécule fluide ne commencera donc à s'ébranler que lorsqu'on aura /i/ = -> ce qui donne / = ; elle cessera de s'ébranler

lorsqu'on aura w/ = > ce qui donne / = ; partant, la

durée de l'ébranlement sera — • Le temps de l'oscillation d'un pendule

dont b représente la longueur est ir \/ v '^ exprimant le rapport de la

demi-circonférence au rayon; nommant donc T ce temps, on aura, pour le temps après lequel la molécule fluide commence à s'ébranler,

ne /"£ ^ *

et le temps de rébranlement sera

2^ 2hTV e^-^e ne

Si la profondeur / du (hiide est considérable par rapport à c, le temps / sera à très peu prfes égal à — ^-T; d'où il suit qu'alors lapro-

fondeur plus ou moins grande du canal n'influe que d'une manière insensible sur le temps de la propagation des ondes; si dans ce même

cas A est très petit, on aura sensiblement / = — — T; or la largeur do

l'onde ou, ce qui revient au même, l'étendue de la partie fluide ébranlée dans le même instant, est égale à 2h; cette largeur influe donc extrêmement peu sur le temps de la propagation, ce qui est bien contraire au résultat de Newton, suivant lequel ce temps est réciproquement comme la racine carrée de A, au lieu que, suivant notre théorie, il est réciproquement comme la racine carrée de c.

Le cas que nous venons de discuter est très remarquable en ce qu'il embrasse tous ceux dans lesquels on suppose les ondes formées par l'immersion d'une courbe très peu plongée dans l'eau; car, si l'on nomme r le rayon osculateur de la courbe au point le plus bas qui

COS -; — cos- )>

— étant ici supposé de l'ordre a. On aura donc, par ce qui précède, et en négligeant h par rapport à X,

d'oii il suit que, la courbe étant plongée plus ou moins profondément dans l'eau, le temps de la propagation des ondes à une distance donnée sera toujours le même, à peu près comme le temps des oscillations d'un pendule est constant, quels que soient les arcs qu'il décrit.

pourvu qu'ils soient fort petits. Si /est très grand par rapport à r, on aura / -- ^■— T; en sorte que, dansée cas, les temps de la propagation

des ondes engendrées par différentes* courbes, ou par ia même dans différentes situations, sont réciproquement comme les racines carrées des rayons osculateurs, et les vit(^sses des ondes sont directement comme ces mêmes racines; il n*en est donc pas de la vitesse des ondes comme de celle du son, qui, comme Ton sait, est indépendante de l'ébranlement primitif de l'air.

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