LA THÉORIE DES SUITES
Mémoires de l'Académie royale- des Sciences de Paris, année 1777; 1780.
Soit u une fonction quelconque de a, que l'on propose de développer dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de a. En représentant ainsi cette suite
U9 ?i» ?2* •• • étant des quantités indépendantes de a, il est clair que u est ce que devient u lorsqu'on y suppose a = o, et que l'on a, quel que soit n,
-r— - r.z I .2.3. . ./l.7;,-|- 2.3. . .(/i H- \)xqn^\-^' . .,
la différence d"u étant prise en faisant varier tout ce qui, dans w, doit varier avec a; partant, si l'on suppose après les différentiations a = o
dans l'expression de ^-^j on aura
(») Remis lo i6juin 1779,
OEuvrei </e £. — IX. 4o*
Si u est fonction des deux quantités a et a,, et qu'il s'agisse de développer cette fonction dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de a et de a,, en représentant ainsi cette suite
le coefficient q^^„^ du terme a^a^'^^ „^ sera pareillement égal à
a et ai étant supposés nuls après les différentiations.
En général, si u est fonction de a, a,, a,, . . . et que, en la développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de a, a,, a,, . . . , on représente par a"a"*a5v . .y^,,,,»..... le terme de Tordre a"a**aj«. . . de cette suite, on aura
da* ^«7* da\* . . .
pourvu que l'on suppose a, ai, a,, ... égaux à zéro après les diflférentiations.
Supposons maintenant que u soit fonction de a, ai, a,, ... et des variables /, /|, z^, . . . ; si, par la nature de cette fonction ou par une équation aux différences partielles qui la représente, on parvient à
obtenir ^ , ,* en fonction de u et de ses diff<érences prises par
rapport à /, /,, /a» •••« 6>^ nommant K cette fonction, lorsqu'on y change m en u, u étant ce que devient u lorsqu'on y suppose a, ai, aj, ... égaux à zéro, il est visible que l'on aura y„,„,.... en divisant K par le produit
i.a.3.../i.i.a.3.../ii.i.2.3.../is...;
on aura donc ainsi la loi de la série dans laquelle u est développé.
C'est sous ce point de vue que le calcul aux différences partielles peut être utile dans la théorie des suites, et nous allons en voir découler les principaux théorèmes sur cet objet, auxquels les géomètres ne sont parvenus que par des méthodes particulières.
Supposons d'abord u égal à une fonction quelconque de / h- a, ^4 H- a,, /, H- a,, . . . que nous désignerons par
9(^-f-a, ^i-t-ai, ^î4-ai, . ..);
dans ce cas, la différence quelconque i'^*"^ de u, prise par rapport à a et divisée par d^U est évidemment égale à cette même différence prise par rapport à / et divisée par di^. La même égalité a lieu entre les différences prises par rapport à a, et /«, ou par rapport à a, et i,, ou . . . , d'où il suit que l'on a généralement
da'^ âal' da^* ... dC^ dù"^' d/;« . . .
En changeant dans le second membre de cette équation a en u ou, ce qui revient au même, en ç(/, /«,/2» •••)» ^^ aura, par l'article précédent,
Si u est seulement fonction de / + a, on aura
partant
^f, . ^N-^/,N , àf^(i) g» (^«9(0 g» (?'9(0 ,
Cette suite a été donnée par Taylor dans l'Ouvrage qui a pour titre : Methodus incrementorum.
Le théorème de Tarticle précédent donne immédiatement en série la différence finie d'une fonction quelconque u de /, /,, /a, ... lorsqu'on y suppose / croître de a, t^ croître de a,, t^ croître de a,, ..., car, en nommant u! ce que devient u par ces accroissements, on aura, en vertu de ce théorème,
, . du du a* d^u u'zzz «-+-«374- «137- -h. ..H -T-=- -h. . .;
en désignant donc, comme à l'ordinaire, par Ai/ la différence finie u! — II, on aura
. du du
An = a -T7 -h ai -77- 4-
dt dix
Il est aisé d'en déduire les différences finies successives de u; mais, pour ne point nous embarrasser dans de trop longs calculs, nous ne considérerons ici qu'une seule variable / : il sera facile ensuite d'étendre les résultats suivants à un nombre quelconque de variables.
Dans le ca^ d'une seule variable /, on a
. du a} d^u a* d^u
En prenant la différence finie de cette équation, on aura
.. .du a} .d^u a* . d*u
di i.a dt* i.a.3 dt*
Or on a, en changeant successivement dans l'équation (i) u en -^jy d^u
I II • • • . a
dt*' '
A au ^d*u a* d*u
^^d*u md*u a^ d^u
On aura donc pour ùk^u une expression de cette forme
a, a\ ... étant des coefficients numériques; si Ton différentie de nouveau cette équation aux différences finies, on aura
d'où Ton conclura
\* u = ocr\ —z h
En suivant ce procédé, on aura généralement
A, A\ . . . étant des coefficients indépendants de a et de / qu'il s'agit de déterminer.
Pour cela, soit u = e', on aura
j du â*u
on a d'ailleurs
Al/ =e'-^— e' r=:(e«— i)e',
et généralement
l'équation (2) donnera donc
en sorte que l'on aura
/ au \t
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équa-
tion, on applique à la caractéristique d les exposants des puissances
de du, et qu'ainsi l'on écrive ^ au lieu de \-^) l on aura donc, dans cette supposition ,
(3) A'a=:V/^-ij.
Si l'on suppose ^ =£'^> la caractéristique £ servant à désigner, comme à l'ordinaire, l'intégrale finie des quantités, on aura
l'équation (2) de l'article précédent donnera donc
a* ot ât*
d'où l'on tirera, en différentiant,
y,dZ Z'"*^^^''"' , ,y,d*Z
Cette valeur de ^£^37' substituée dans l'expression de £'s, lui donnera la forme suivante
f'sdt' hf'~\dt'-^ ^,
En différentiant cette équation deux fois de suite, on aura ,,,d«. f'"^^''-* ^/"'-^^'- „„»2,a».
Cette valeur de a'£'-^> substituée dans l'expression de £'2, donnera
f'zdtt f'-'zdt'-^ f'-*zdt'-*
et, continuant d'opérer ainsi, il est aisé de voir que l'on aura généralement
f'zdt' f'-'zdt'-* r'*'dt'-*
Vs = - ; hr- ■ , ^1^
dt
dt'
r^r\ . . . , ^, /, ... étant des coefficients indépendants de a et de /. Pour les déterminer, soit 5 = e*, et Ton aura
dz d*z
i=z=- = ^^=...= rzdc= Tzât*
On a d'ailleurs
lz =
partant
et généralement
2«5=z:-.rî— 2^'= ""
tf*— I
l'équation (4) donnera donc
en sorte que l'on aura
f^zdt' rf^''zdt''' r'f^ \dt^-*
dt
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique d les exposants des puissances de dz et que l'on change les différences négatives en intégrales, c'està-dire qu'au lieu de f ^ j on écrive ^> et, si n est négatif et égal
à —m, qu'au lieu de -rp^ on écrive f "^ z df^ ; on aura donc, avec ces
conditions,
et, comme cette équation a lieu quelle que soit la fonction z^ en chan géant z en //, on aura
Dans la supposition de i == i, l'équation (5) devient
ou
en sorte que, en développant la quantité — ^ — , on aura la loi des
termes de la série qui exprime l'intégrale finie de la fonction i/. Cette loi est très importante dans la théorie des suites; on peut y parvenir directement de la manière suivante :
Supposons
on aura, par ce qui précède.
-, /"^^ du , d*u . ô'u
Tout se réduit donc à déterminer la loi des coefficients q^f y,, y^, ^5, . . .; or il est visible que Ton a
pourvu que Ton suppose a =o après les diflerentiations; on a ensuite
de plus, il est clair que, si Ton suppose a == o après les difTérentia tions, on a
a e-àzi e«±i
(d^Y doL"
ce qui donne
e^ihi I c«±:i
l'équation (6) donnera, par conséquent.
</«'» a" f/«'» 2" dix'*
Partant, si Ton suppose toujours a = o après les différentiations, on aura
parce que
e/" -A- = «€/« — î h /i e/« £/«-« — ^ = n €/« rf'»-» — ^
g*H-i e*-hi e«+i g«4-i
lorsque l'on suppose a — o; donc
dn-t '
QEupres de L. ■— \%. 4 '
Si l'on différentie présentement la quantité -5 — > on trouvera
et» en continuant de procéder ainsi» on voit que Ton aura généralement
A, A^'\ A^'\ . . . étant des coefficients indépendants de a, et le numérateur du second membre de cette équation ne renfermant que des puissances positives de e^, en sorte que la plus petite des quantités n — i, n — 2, /i — 3, ... ne peut être zéro ou négative. Pour déterminer ce numérateur, nous observerons que Ton a
il ne s'agit donc que de développer en série la fonction
dOL'
en rejetant toutes les puissances de é^^ qui sont zéro ou négatives, et dont les coefficients doivent, par conséquent, se détruire d'euxmêmes; or on a
partant
le signe -h ayant lieu si /i est impair, et le signe -r s'il est pair; en multipliant cette quantité par (e*-hi)" et rejetant les puissances
négatives ou nulles de é^^ on aura
-- ^gC/t-Da^. At*îe^"-*J«-h
Si Ton substitue cette valeur de A^'"*"'^*-!-... dans Téquation (7), et que Ton y suppose a ~ o, on aura
±jr
(a«-l;^)^.^3/|-l a«-»/l-+- -i^^-^-ill
le signe supérieur ayant lieu dans cette dernière équation si n ost pair, et l'inférieur s'il est impair.
La formule précédente n'a lieu qu'autant que n est plus grand que I, et l'on ne peut trouver par son moyen la valeur de q^\ mais cette valeur est très facile à déterminer en considérant que
