I II

e» — I OL' a 2

d'où Ton tire

32i MÉMOIRE SUR L'USAGE DU CALCUL

Dans le cas où n est impair et plus grand que Tunité, il est très remarquable que Texpression de y„, se réduise toujours à zéro; pour le faire voir, nous observerons que si Ton ne considère dans les pre- . miers membres des équations suivantes que les puissances (n — r)""', dans lesquelles /i — r est positif, on aura, par la théorie connue des différences finies,

zii A'»(/i — O^-^-hi,

( n — 3)"-* - w (n - 4)"-' -^ ^îl^TjJ (^ 5)/.-i . . .

De plus, on a généralement ÙL"af'^ = o; en substituant ces valeurs dans l'expression de y^,, on trouvera facilement qu'elle se réduit à zéro dans le cas où n est impair, et que, dans le cas où n est pair et égal à 25, on a

zn I

expression que l'on peut mettre sous cette forme très simple

i^n-l-^ (5 ,)î.-l/',4- i25^-h(5-2)''-»f l-^ 254- ^ ^^TT^^l

, ON** if 25(25~l) 1 25(25 — l) (25— 2)'1}>

L 1.2 2 1.2.3 Jl

le signe + ayant lieu dans ces deux formules si s est impair, et le signe — s'il est pair. v

Il suit de ce que nous venons de voir que l'expression de Lu peut être mise sous cette forme

/"^^ I . au .. â^ii ,. d^u

et que l'on a généralement

hi =

Reprenons les équations (3) et (5) des articles III et IV

Ces deux équations peuvent être représentées par la suivante

pourvu que dans les deux membres de cette équation on applique aux caractéristiques A et () les exposants des puissances de Ai/ et de du^ et que l'on change les différences négatives en intégrales; par exemple

' udt^ au lieu de 777=7 • .

L'équation (8) ayant lieu, soit que la puissance i de Ai/ soit positive ou qu'elle soit négative, il en résulte qu'une fonction quelconque de

au ot —

Al/ est égale à une pareille fonction de e '^'— i, pourvu que dans le développement des deux fonctions on ait soin d'appliquer aux caractéristiques A et c^ les exposants des puissances de Ai/ et de du^ et de changer les difiFérences négatives en intégrales. De ce théorème générai on peut tirer les deux corollaires suivants :

I" [l0g(l + Al/)l'r-^Ll0g(>+*'^-')J =«'(^y;

partant, si { est positif, on aura

(9) «'-^ =[l0g(l4-Aw;]',

et, si «est négatif et se change en — i, on aura

f'^udt' .

(lO)

a' [log(n-Aa)]'

En supposant « ~ i, cette dernière équation pourra servir à déterminer les surfaces des courbes au moyen des ordonnées équidistantes.

partant

or, si Ton désigne par les caractéristiques A, et £, les difiérences et les intégrales finies, lorsque a, est la différence finie de u, on a, dans le cas où i est positif,

et, dans le cas où i est négatif et se change en — i, on a

/ du \«'

donc

(11) A'ii/=:[(n-Aw)«^— ij et

I(i4-Awy^'~ij*

Ces deux formules renferment la théorie des interpolations prise avec toute la généralité dont elle est susceptible.

Je dois observer ici que les équations (3), (5), (9), (10), (11) et (12) ont déjà été données par M. de la Grange dans un excellent Mémoire qui a pour titre : Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l'intégration des quantités t^ariables, et qui est inséré dans le Volume de l'Académie de Berlin pour Tannée 1772. Ce grand analyste y est parvenu au moyen d'une analogie très remarquable entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales; analogie qu'il se contente d'observer, mais dont il semble regarder la démonstration comme très difficile (voir le Mémoire cité, p. 186 et igS); c'est ce qui m'a engagé à les démontrer ici par une méthode qui, si je ne me trompe, est aussi directe et aussi simple qu'on puisse le désirer, et qui de plus a l'avantage de faire voir aprioriXdi raison de cette analogie singulière.