VU

Revenons présentement au développement des fonctions en suites; mais, au lieu de supposer la fonction // donnée immédiatement comme dans Tarticle II, imaginons qu'elle soibune fonction de ^, œ étant donné par l'équation aux différences partielles

dx ôx

dans laquelle z est une fonction quelconque de x. Cela posé, pour réduire u dans une suite ordonnée par rapport à a, il faut (art. I)

déterminer la valeur de :t-- dans le cas de a ~ o; or on a

ait Ou dx du dx

àoL Ox da âx ôt

1 âx âx , .

a cause de t- = 5 ^, partant

A d fz -T-dx , , ou *f dx

^''^ 5^ = dt

En différcntiant cette équation par rapport à a, on aura

d^ I j5 — — d^ d^u J dx

da" dt doL '

or l'équation (a) donne, en y changeant u en /^s -^ dx,

d fs ^-dx d fz^ X- àx J dx «^ dx

di ~ di '

partant

da} " di^

En différentiant encore par rapport à a, on aura

da* dt* da

et, en changeant dans Téquation (a) u enjs^ -^ dx, on aura

d fz* -^-dx d fz* -T- dx J dx ^ dx

~d^ "~ 'dt '

partant

da^ "" dt^ '

en suivant ce procédé, il est aisé de conclure généralement

ji^ r »àu . .^ , „ du àx ^« , „ au

a'' u •/ àx ax ot ôt

Supposons maintenant qu'en faisant a = oon aita? = T, T étant fonction de /; on substituera cette valeur dans z et dans u. Soient Z et u ce que deviennent alors ces quantités, et Ton aura, dans la supposition de a = o,

partant (art. I)

da'» d^'»-^

ot

en sorte que l'on aura, par le même article,

' ot 1.2 ât 1,2.6 àt*

Il ne s'agit plus que de déterminer la fonction de / et de a que x représente, en intégrant l'équation aux différences partielles x~ = ^ 37' Pour cela, on observera que

ux ox dx

da^=YJc,^j-^dt=j-^{dt-^zda).

en substituant au lieu de -r- sa valeur 2 ^ ; or on a

ds dt'hxda=:d{t -h«j) — a-^dx;

donc

fj/g* nZ nX

CEumêê de L,'^ IX. ^2

dx