I -H OL
dx dt
d'où Ton tire x = ç(/ •+- az), ç(/ -h as) étant une fonction arbitraire de / + az, en sorte que la quantité que nous avons nommée T est ici égale à ç(/). Toutes les fois donc que l'on aura entre a? et a une équation de la forme a? = (p(a -h az), la valeur de u sera donnée, en vertu de l'équation (A), par une suite ordonnée suivant les puissances de a, pourvu qu'après les différentiations on suppose / = a.
Si l'on a <p(a -f- olz) = a -h olz, on aura le beau théorème que M. de la Grange a trouvé par induction dans les Mémoires de Berlin pour Tannée 1769, et si de plus on suppose 5 = i, on aura le théorème de Taylor, que nous avons démontré dans l'article II.
Eh général, s'il existe entre x et olz une équation quelconque, on y substituera t au lieu de olz, et l'on en tirera la valeur de a? en /; si l'on substitue ensuite cette valeur dans z et dans u, pour en former Z et u, l'équation (A) donnera l'expression de u en série, pourvu que l'on suppose / = o, après les différentiations.
On peut généraliser le théorème de l'article précédent et l'étendre à un nombre quelconque de variables; pour cela, considérons les deux équations
z et ^4 étant des fonctions quelconques des quantités x eix^, et supposons qu'il s'agisse de développer une fonction quelconque u de ces mêmes quantités dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de a et de ai ; le problème se réduit évidemment (art. I) à déterminer le tenue a^al^q^^^ de cette suite, et l'on a, par le
même article,
tn-i-n
pourvu que Ton suppose a et a, égaux à zéro, après les différentiations, dans le second membre de cette équation; cela posé, en considérant // comme fonction de x seul on a, par Tarticle précédent,
d''u -^ dt partant
. du
or on a
An n ^" An ^"
d^ ôt
pourvu que dans le résultat de la différentiation du second membre de
cette équation on change 2 en 5"; de plus, on a, par l'article précé*
dent,
du du
'Te ~"dôi'
on aura' donc, en changeant z en 2" dans Texpression de -r- du second membre de l'équation suivante,
^in-n, li
d«."^* tt
da'
c)a dal*
Présentement,
on
du
pourvu que dans l'expression de j^ du second membre de cette équation on change z^ en z"'; partant, on aura
^''tU
doLi*
^jn-n,
dadoLi
dr»-
■»drî«-» '
pourvu que dans la double difTérentielle . . on change z en s* et
:;, en z\'\ si Ton y suppose ensuite a = o et a, = o, on atira, toujours avec la condition précédente,
^n-hn^-i —
OaiOOLx
7**1 — , .2.3. . ./id/«-t.i .2.3. . ./l, d/î«"*'
De la il est aisé de conclure généralement que» si Ton a les r équations
rm ^ If
... étant fonctions des r quantités x^ j?,, or^t . • .t et que Ton propose de développer une fonction quelconque u de ces mêmes quantités dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de a, tti, ttj, . .., si l'on nomme a"a"'aj*,,.y^,,^ „^;. le terme de Tordre a"a"*a;*. . . de cette suite, on aura
ôoi ôxi da, . . .
pourvu que dans la différentielle ^-^ — on change s en s", 5,
en 5"', 5j en 5^% .. ., et qu'ensuite on y substitue ç(/) au lieu de a?,
ç,(/,) au lieu de ^i, 92(^2) au lieu de j?2» •••î tout se réduit donc à
déterminer la valeur de cette différentielle.
Si l'on ne considère qu'une seule variable x^ on aura, par l'article
précédent,
du du ^
partant, si l'on nomme u et Z ce que deviennent u et z en y substituant 9(/) au lieu de a?, on aura
"^ •'^ àt
