I .a.3. . .nàl

Si l'on considère deux variables x etXt^ on aura d'abord

du du

partant

d*u d^u du dz ^

ôadoLi doLxdt dt doit*

or on a

du du

d^t^^'àTt'

et, en changeant u en 2 dans cette équation, on a

donc

ds dz

dz^ d^u ^ 'dt, du dz

da da, dt ' dt dt.

d^u ^ d^u ^du dzi ^ du dz

— ZZ\ ~TT~7^ "^ Z \ j "T" ■^l'~T7

doL doL, " 'dt dt, ^ " dt, dt ^ "* dt dt,

En changeant z en s'', s, en z]', et nommant u, Z, Z, ce que deviennent M, s, 5,, lorsqu'on y substitue ç(/)» Ç^(^) au lieu de j?, a?,, on aura

"^"•"^ i.2.3.../i<^^«-».i.2.3.../iid/î'-'

Si Ton considère trois variables x^ x^^ x^, l'équation

d^u d^u du dz, ^ du dz

dada, ^' dtdt, "^ ^ dT, It "^ "'li dT,

donnera, en la différentiant par rapport à a,,

à^u ^ d^u d*u / dzi dz \

d(xOoL,ôoLt " ^"* dt dt, OoCi "*" dt dt, V 5âi "*" ^* 5ôêiy "*"•*•'

or on a •

du du dz dz dz, dz,

5^""^'d^' 55,""'^*5r/ d^^'^'^Wt'

-; en y changean

d'où l'on tirera facilement la valeur de -, . . , ensuite = en a", s, en z'', s, en s;-, et nommant u, Z, Z,, Z, ce qu deviennent u, s, a,, 3, lorsqu'on y change x, x,, Xj en <f(t), ç,('() ?ï('i). on trouvera

i.a.3...nd(™-'.i.a.3...«,d(î.-',i.a.3...«,d(;--'

57Sr/-^''^î'

+ Si; (^^!'ai*;+* -5r-3?7+^:'d^ -37-

et ainsi de suite.

En considérant d'autres équations aux dîfTérences partielles entre sk a et l, on pourrait, par la méthode de l'article VII, développer en séri une fonction quelconque u de x, et l'on trouverait ainsi une infinil d'équations très générales entre x et a, pour lesquelles ce développi ment serait possible; mais on serait encore bien éloigné d'avoir la s( lution du problème général dans lequel on se propose de développe en série une fonction quelconque de x et de a, quelle que soit l'équi tien qui donne x en a, pourvu que la série qui en résulte ne renferm que des puissances positives et entières de a. Voici, pour le résoudn un théorème qui, par sa généralité et par sa simpliMté, peut mériti l'attention des analystes.

Soit ç(a:, a) = o Téquation proposée entre x et a, et u la fonction de a? et de a qu'il s'agit de réduire en série; on commencera d'abord par résoudre l'équation (p(j:, o) = o, dans laquelle se change la proposée lorsqu'on y suppose a = o, et l'on aura différentes racines qui donneront autant de séries dans lesquelles u pourra être développé. Soit a? — a = o une de ces racines; la quantité <p(a7, o) aura donc pour facteur une puissance positive de o: — a, que je suppose égale à i. (]ela posé, si l'on nomme cxPqn le terme de l'ordre a" de l'expression de u réduite en série lorsqu'on fait usage de la racine a? — a = o, on aura

d^u ^, .r (?-[^logy(^.a)]

(^a« V i.2.3.../ic?a'*

qn=