N ■+- HN

satisfait à l'équation différentielle

àz -,

âx

et qu'elle en estrintégrale complète, puisqu'elle renferme la constante arbitraire H; on voit ainsi que le même principe qui donne les constantes arbitraires sous une forme linéaire, dans les intégrales des équations linéaires aux différences ordinaires,, donne pareillement les fonctions arbitraires sous une forme linéaire, d^^s les intégrales des équations linéaires aux différences partielles. ^

L'équation générale linéaire aux différences partielles du second ordre est

/IN à*z d*z ^d*z dz ydz .

a, S, y, S et T étant des fonctions quelconques de x et de j.

On peut la mettre sous une forme plus simple, en changeant les variables X etj en d'autres, ts et 0, qui soient fonctions de x et dey; en regardant conséquemment :; comme fonction de ces nouvelles variables, on aura

àz dz àfs dz à9

âx âfs dx dO dx

dz dz drs dz dO

dy dfs dy dd dy

d^z d^z dus* d^z dts dB d*z d&* dz d^xa dz d^B

dx* dta* dx* dm dB dx dx d9* dx* dis dx* dd dx*

d*z âyz^dmdm d*z /dm ^ àa dQ\

dx dy dm* dx dy dmdO \dx dy dy dx)

d^dOdO dz d*m dz d*e

d&* dx dy dm dxdy dO dxdy^

d*z d*z dm* d*z dm dQ d*z dO* dz d*m dz d*B

dy* ■" *ij* dy* dmdB dy dy d9* dy* ^ dm dy* dB dy*'

2i RECHERCHES SCR LE CALCUL IXTÉGRAL

si les variables a et 0 sont telles que Ton ait

il est aiâé de Toir que réqiution (L) prendra cette forme

Jk. #5 .. às . as

II suit de là qae toute équation linéaire aux différences partielles du second ordre est réductible à cette forme très simple

o =^ , — "^-HL — '^ —^ — *- — *•

m^ n et /étant (onctions de en et de 4; il ne s*a^t pour «rela que de déterminer u et 9* de manière que ces variables satis£is5eat aux équations (2 ; et < 3^ ou. ce qui revient au même, à celle-ci

-11 — Z—k — lm — *.-X^ — -

or, en inte^rrant ces équations par Farticle ill, ou trouvera pour ^ et pour 4 une inllnite de valeurs, parmi lesquelles on peut cboUir les plus simples: de ces valeurs, on tirera x et y. en fonctions de ? ec de 9, et. en substituant ces expressions de x et de r dans Tequation j V > . elle se transformera dans Tequation 1 Z » • qui a toute Là ^l^neralitè de féquation t L >• et qui. à cause de La simplicité de sa forme, sera Tobjet des reckerches suivantes.

Si fou applique maintenant à Tequation t Z > les raisoanemeat2> de Tartick IT» on trouvera que s<mi intéi^rale. toutes les toîs quVUe e^

possible en termes finis, est nécessairement réductible k cette forme,

/ 5=:RH-A(p(^)4-A'(p,(^)-4-A''(p,(fJL)4-...