SUR LA

Mémoires de VAccidémie royale des Sciences de Paris, année 1777; 1780.

La Terre se meut à très peu près d'une manière uniforme autour d'un de ses axes principaux de rotation; mais, cette planète n'étant pas exactement sphérique, l'action du Soleil et de la Lune produit dans son mouvement sur elle-même, et dans la position de son axe, de légères variétés dont la partie la plus sensible a été observée sous les noms de précession des équinoxes et de nutation de l*axe terrestre. D'illustres géomètres ont soumis ce phénomène à Tanalyse, dans le cas où la Terre serait entièrement solide, en supposant d'ailleurs une diflFérence quelconque très petite dans les moments d'inertie par rapport à ses trois axes principaux, et il est remarquable que Ton retrouve constamment les mêmes lois de précession et de nutation, quelle que soit cette différence; mais il se présente ici une question bien importante à résoudre et qui consiste à savoir si ces lois subsistent encore dans le cas de la nature, où l'Océan recouvre une grande partie de la surface du globe.

Les eaux de la mer cédant, en vertu de leur fluidité, aux attractions du Soleil et de la Lune, il semble au premier coup d'œil que leur réaction ne peut influer sur les mouvements de l'axe de la Terre; aussi voyons-nous qu'elle a été entièrement négligée par tous ceux qui, jus- Ci) Lu le 18 août 1779.

OEuvret de L, — IX. 4^*

qu'à présent, se sont occupés de cet objet : ils sont même partis de là pour concilier les quantités observées de la précession et de la nutation avec les mesures des degrés terrestres, ce qui parait en effet impossible lorsqu'on regarde la Terre comme un ellipsoïde de révolution entièrement solide.

Cependant un plus profond examen de cette matière nous montre que la fluidité des eaux n'est pas une raison suffisante pour négliger leur effet sur la précession des équinoxes; car si, d'un côté, elles obéissent à l'action du Soleil et de la Lune, d'un autre côté la pésanteurjes ramène sans cesse vers l'état de l'équilibre et ne leur permet de faire que de très petites oscillations : il est donc possible que, par leur attraction et leur pression sur le sphéroïde qu'elles recouvrent, elles communiquent au moins en partie à l'axe de la Terre les mouvements qu'il en recevrait si elles venaient à se consolider. On peut d'ailleurs s'assurer par un raisonnement fort simple que leur réaction est du même ordre que l'action directe du Soleil et de la Lune sur la partie solide de la Terre.

Imaginons pour cela que cette planète soit homogène et de même densité que la mer; supposons, de plus, que les eaux prennent à chaque instant la figure qui convient à l'équilibre de toutes les forces qui les animent et voyons quel doit être l'effet de leur réaction dans ces deux hypothèses. Il en résulte que, si l'on supposait la Terre devenir tout à coup entièrement fluide, elle conserverait toujours la même flgure, et le fluide renfermé dans un canal quelconque rentrant en lui-même et pris dans son intérieur resterait en repos; il ne pourrait donc y avoir aucune tendance au mouvement dans l'axe de rotation; or il est visible que cela doit encore subsister dans le cas où une partie de cette masse formerait, en se consolidant, le sphéroïde que recouvre la mer. Les hypothèses précédentes servent de fondement aux théories de Newton sur la figure de la Terre et sur le reflux de la mer, et il est assez remarquable que, dans le nombre infini de celles que l'on peut faire sur les mêmes objets, ce grand géomètre en ait choisi deux qui ne donnent ni précession, ni nutation, la réaction des eaux détruisant

alors Teffet direct de raction du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre, quelle que soit la figure; il est vrai que ces hypothèses, et surtout la dernière, sont peu conformes à la nature; mais on voit a priori que l'effet de la réaction des eaux, quoique différent de celui qui a lieu dans les suppositions de Newton, est cependant du même ordre. Les recherches que j*ai faites sur les oscillations de la mer et .de l'atmosphère m'ont fourni le moyen de le d^èterminer dans les véritables hypothèses de la nature, et j'ai trouvé qu'il ne changeait rien aux lois connues de la précession et de la nutation, mais qu'il pouvait influer très sensiblement sur la quantité de ce phénomène. Toutes les oscillations de la mer ne concourent pas à cet effet; la partie de ces oscillations dont il dépend est celle qui produit la différence des deux marées d'un même jour; et quoique, dans le cas général où la Terre est • un sphéroïde quelconque de révolution recouvert par la mer, il soit presque impossible de la déterminer, il est aisé d'y parvenir lorsque la figure du méridien est une ellipse, et l'on peut facilement en conclure la véritable quantité de la précession et de la nutation en faisant entrer dans le calcul la réaction des eaux. Les formules que j'ai trouvées dans ce cas particulier font sentir d'une manière incontestable la nécessité d'y avoir égard; mais il en résulte que, la différence de deux marées consécutives étant presque nulle, suivant les observations, l'effet de cette réaction doit être insensible, et qu'il ne peut servir à concilier les mesures des degrés terrestres avec les quantités observées de la précession et de la nutation, ce qui serait encore vrai quand on le supposerait très considérable ; car j'ai fait voir, dans les recherches citées, que l'ellipticité de la Terre entière que l'on conclut des observations sur les mouvements de son axe est indépendante de tout ce qui a rapport au fluide (voir les Mémoires de l'Académie^ année 1776, p. 257) (*). Ce dernier résultat m'a conduit au théorème suivant, qui peut mériter l'attention des géomètres.

Si l'on suppose que la Terre est un ellipsoïde de révolution recouvert par

(1) Œuvres de Laplace, T. IX, p. aôg.

Zk% MÉMOIRE SUR LA PRÉCESSION DES ÉQUINOXES.

la mer, la fluidité des eaux ne nuit en rien à l'effet des attractions du Soleil et de la Lune sur la précession et la nutation, en sorte que cet effet est entièrement le même que si la mer formait une masse solide avec la Terre.

II est naturel de penser que ce théorème n'est pas borné à la seule supposition de l'ellipticité du sphéroïde terrestre, et qu'il a généralement lieu, quelle que soit la figure de ce sphéroïde; mais il parait presque impossible de le démontrer par la méthode dont j*ai fait usage, à cause de la difficulté de déterminer généralement la partie des oscillations de la mer qui influe sur la précession des équinoxes; j'y suis heureusement parvenu par une méthode nouyelle et très simple, entièrement indépendante de cette détermination, et qui d'ailleurs a l'avantage de s'étendre au cas de la nature, dans lequel, aux irrégularités de la figure et de la profondeur de la m«r, se joignent une infinité d'obstacles qui en altèrent les oscillations. C'est le développement de cette méthode qui fait l'objet de ce Mémoire; mais, avant que de l'exposer, je vais démontrer le théorème précédent par mes formules, dans le cas de l'ellipticité de la Terre.

Soient

q' l'ellipticité du sphéroïde que la mer recouvre ;

q -hq' celle de la Terre entière ;

A^'^ sa densité moyenne ;

A celle des eaux ;

Ç l'ellipticité de la couche de niveau du sphéroïde terrestre dont le

demi petit axe est r; R la densité de cette couche ;

^ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur.

Soient de plus

p la précession des équinoxes, lorsqu'on a égard à la réaction des eaux ; p' cette même précession, lorsqu'on n'y a aucun égard;

MÉMOIRE SUR LA PRÉCBSSION DES ÉQUIN0XE8. 3fc3 on aura (voiries Mémoires de l'Académie, année 1776, p. 253) (')

Si Ton nomme ensuite p'' la précession des équinoxes, lorsque l'on considère la mer comme formant une masse solide avec la Terrç, il est facile de s'assurer, par l'endroit cité, que Toq a

pif Hg-^ fRd(^r^) ^■^ /Rt/(6r») '

ainsi, pour faire voir que p^^p^ il suffit de prouver que * On peut mettre cette équation sous la forme suivante

{q 4- q') (ioA<»)— 6A) = 6yR€/(6r») — 6A^'-h — A<»).

Or cette derniëre équation est la même que l'équation (36) de la page 257 (*) des Mémoires cités et résulte de l'équilibre des eaux de la mer.

Voici maintenant la méthode que j'ai annoncée dans l'article précédent, et qui, comme on va le voir, n'est limitée par aucune supposition sur la figure de la Terre.

C'est un principe général de Dynamique, facile à déppatrer, que, si l'on projette sur un plan fixe chaque molécule d'uii système de corps qui réagissent les uns sur les autres d'une manière quelconque; si, <)e plus« 00 mène de ces projections à un point fixe sur le plan des lignes

(») Œuvres de Laplace, T. K, p, a64.

(«) Ibid., p. 269.

que nous nommerons rayons vecteurs, la somme des produits de chaque molécule par Taire que décrit son rayon vecteur est proportionnelle au temps, en sorte que» si l'on nomme A cette somme et t le temps, on aura A = hi^ h étant un coeiBcient constant.

Ce principe, dont nous sommes redevables à M. le chevalier d'Arci, a dans la question présente un grand avantage sur les autres principes du même genre, tels que ceux de la conservation des forces vives et de la moindre action, en ce que ces derniers supposent que les changements qui arrivent dans le système se font par des nuances insensibles et qu'il n'y a point de passage brusque d'un état à un autre; au lieu que le premier est également vrai, dans le cas où il y aurait de semblables passages, et c'est ce qui arrive sur la Terre, où les oscillations des eaux qui la recouvrent en grande partie sont altérées par le frottement du fond de la mer et par la résistance des rivages.

Si le système est soumis à l'action de forces étrangères, A ne sera plus proportionnel au temps /, et par conséquent l'élément dt du temps étant supposé constant, la valeur de dA ne sera plus constante; pour déterminer sa variation, on supposera que toutes les molécules du système sont en repos et on les considérera comme étant isolées; on fera ensuite une somme de tous les produits de chaque molécule par l'aire que décrirait son rayon vecteur, dans l'instant dt^ en vertu des forces extérieures qui la sollicitent, et cette somme sera égale à ^A; car il résulte du principe que nous venons d'exposer que la réaction des différents corps du système ne doit rien changer à cette valeur de d^A.

Concevons, cela posé, une masse en partie fluide et qui tourne autour d'un axe quelconque ; supposons qu'elle vienne à être sollicitée par des forces attractives infiniment petites de l'ordre a et qui laissent en repos son centre d'inertie; si l'on fait passer par ce centre un plan fixe que nous prendrons pour plan de projection et que l'on fasse partir de ce même point les rayons vecteurs des différentes molécules; la somme des produits de chaque molécule par l'aire qu'aura décrite son rayon vecteur sera, aux quantités près de l'ordre a', la même

que si la masse eût été entièrement solide. Pour le faire voir, il suffît de prouver que la valeur de (PA sera la même dans la supposition de la masse en partie fluide et dans celle de la masse entièrement solide; or, si Ton considère qu'après un temps quelconque la figure de la masse et la manière dont elle se présente à l'action des forces attractives ne peuvent différer dans ces deux hypothèses que de quantités de Tordre a; si Ton se rappelle d'ailleurs que ces forces ne sont ellesmêmes que de l'ordre a, il est aisé d'en conclure que la différence des valeurs de rf*A, dans ces mêmes hypothèses, ne peut être que de Tordre a^, et qu'ainsi en négligeant les quantités de cet ordre on pourra supposer nulle la différence des valeurs correspondantes

Imaginons présentement que la masse dont nous venons de parler soit la Terre elle-même, que nous regarderons d'abord comme un sphéroïde de révolution très peu différent d'une sphère et recouvert d'un fluide de peu de profondeur : l'action du Soleil et de la Lune excitera dans le fluide des oscillations et des mouvements dans le sphéroïde; mais ces mouvements et ces oscillations doivent, par ce qui précède, être tellement combinés que, après un temps quelconque, la valeur

de -r- qui en résulte soit la même que si la Terre eût été entièrement

solide. Cherchons d^abord cette valeur dans cette dernière supposition. Pour cela, soient, à l'origine du mouvement,

e Tinclinaison de Taxe réel de rotation au-dessus d'un plan fixe que

nous supposerons être celui de Técliptique; ç l'angle que forme Tintersection de ce plan et de Téquateur avec

une droite invariable prise sur le plan de Técliptique et qui passe

par le centre d'inertie de la Terre ; ni le mouvement de rotation de cette planète:

il est clair que tous les changements qui arriveront dans le mouvement du sphéroïde après le temps t se réduisent aux variations de e,

OEuvres de L. — IX. 44

(p et n. Supposons conséquemment que, après ce temps, t se change en e 4- aSe, ç en ç -+- aSç et /2 en /i -f- aS/i; on sait, par la théorie de la précession des équinoxes, que les seuls termes auxquels il soit nécessaire d'avoir égard sont ceux qui croissent proportionnellement au temps ou ceux qui, étant périodiques, sont multipliés par des sinus ou des cosinus d'angles croissant très lentement et divisés par les coefficients du temps / dans. ces angles : de là vient que, parmi les termes périodiques qui entrent dans les formules de la précession et de la nutation, il n'y a de sensibles que ceux qui dépendent du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire. On peut donc, en n'ayant égard qu'à ces termes, supposer Se, Sç et S/i constants pendant un très petit intervalle, comme celui d'un jour, et qu'ils ne changent que d'un jour à l'autre.

Concevons maintenant que le plan fixe sur lequel on projette les mouvements des molécules de la Terre passe par son centre et forme l'angle 6 avec l'écliptique, et que l'intersection de ces deux plans forme l'angle xs avec la droite invariable d'où nous faisons commencer l'angle (p; on aura durant le premier jour et en supposant e, <p et /i constants

M étant fonction de e, (p, n et des quantités 0 et cr qui déterminent la position du plan de projection. Apres un nombre quelconque de jours,

cette valeur de -jr ne sera plus égale à M; mais il est visible qu'elle

sera pareille fonction de ç h- aSç, e 4- aSe et /2 -+- aS/i, que M l'est

deç, e et/i; si donc on désigne par «S^ la variation de -^ après un

temps quelconque, on aura, en négligeant les quantités de l'ordre aS

^dk . ()M . ()M , <?M

al ^ d9 de an

Quoique la connaissance de M ne soit pas nécessaire, nous allons cependant, pour plus de clarté, le déterminer; on peut, dans ce calcul, regarder sans erreur sensible la Terre comme une sphère.

Soient donc 2 H la somme des produits de chaque molécule de cette

sphère par le carré de sa distance à Taxe de rotation et ^ Tinclinaison

du plan de projection sur Téquateur terrestre; il est aisé de voir que

Ton aura

M=:/iHcos4';

or on trouvera facilement, par les formules de la Trigonométrie sphé-

rique,

cosi}' — cosôsine -h sinôcoss cos(cj — 9);

l'expression précédente de aS^ deviendra ainsi

«8-77 = a/iH d9sin0cosesin(cj — 9)

(0 { -h ôe[cos9cos£ — sindsine cos(nj — 9)]]

«H dn [ces 9 sine 4- sin0cosecos(cj — 9)].

Cherchons présentement l'expression de cette quantité, dans le cas où la Terre est un sphéroïde recouvert d'un fluide de peu de profondeur. Soient Sç', Se' et ^n' les variations de ç, e et /i, relativement au sphéroïde, en ne conservant dans l'expression de ces variations que les termes ou proportionnels au temps, ou multipliés par des sinus et des cosinus d'angles croissant très lentement et divisés par le coefficient du temps dans ces angles; il est clair, par ce qui précède, qu'il

en résulte dans la valeur de -r- une variation à très peu près égale à

a/iH{d9'sinÔcos£sin(cj — 9) -h d£'[cos0cos£ — sinôsine cos(cj — 9)]j 4- aHdn'[cos0sin£ 4- sîndcos£COS(G7 — 9)],

le peu de profondeur du fluide permettant de regarder 2 H comme représentant encore le produit de chaque molécule du sphéroïde par le carré de sa distance à l'axe de rotation. Pour avoir la variation

totale de ^» il faut ajouter à la variation précédente celle qui résulte

du mouvement du fluide et que nous désignerons par a SL; or on a vu

ci-dessus que la variation entière de ^ est égale à celle que donne

l'équation (i) et qui aurait lieu si le fluide qui recouvre la Terre for-

mait une masse solide avec elle; on aura donc» en égalant ces deux variations,

o = a/iHJ (^9' — Ô9)sin0cos£sin(nj— 9) (2) / -\-{h' — 3e) [COS0COS6 — sinôsine cos(nj — 9)] j

-+- (xll{dn'—dn) [cos9sîn£ -h sin0cos6COS(isT— 9)] -h (xdL.

Les seuls termes de l'expression' de ol8L auxquels il faille avoir égard sont ceux qui sont proportionnels au temps ou qui renferment des sinus et des cosinus d'angles croissant très lentement et divisés par le coefficient du temps dans ces angles; et, si Ton parvenait à les connaître, l'équation précédente étant vraie, quels que soient 6 et ct, donnerait les valeurs de Sç', Se' et 8n' en fonctions de ces termes et des quantités S(p, Se et Sn, qgi'il est toujours facile de déterminer par les méthodes connues. Il est visible que, dans le calcul de ces termes de aSL, on peut supposer nulles les variations du mouvement du sphéroïde terrestre, parce que les petites quantités qui en résultent dans aSL sont, par rapport à ces variations, du même ordre que le rapport de la masse du fluide à celle du sphéroïde. On peut ensuite, dans le calcul des attractions du Soleil et de la Lune sur la mer, négliger la partie de ces attractions,* dont la résultante passe par le centre du sphéroïde et qui tiendrait, par conséquent, les eaux en équilibre autour de ce centre, si elles venaient à se consolider; car

il est clair que, en vertu de cette force, la variation de -j- serait nulle

dans cette hypothèse, et, par ce qui précède, l'état de fluidité de la mer ne peut influer sur cette variation. Quant à l'autre partie des attrac* tions solaire et lunaire, il suit de mes recherches sur le flux et le reflux de la mer, que c'est d'elle seule dont dépend la difi*érence des marées d'un même jour (voir les Mémoires de l'Académie^ année 1775, p. i63, et année 1776, p. 196) (*); or, sans être en état de déterminer

(>) Œuvres de Lnplace, t. IX, p. i63 et p. 207.

les oscillations qui en résultent, pour toutes les hypothèses de profondeur et de densité de la mer, on voit cependant très clairement que les quantités qui déterminent ces oscillations no renferment ni termes proportionnels au temps, ni sinus ou cosinus d*angles croissant très lentement et divisés par le coefficient du temps dans ces angles : donc, si Ton désigne par a?, j, z les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position d*une molécule fluide que nous

représenterons par dm, au-dessus du plan de projection; x, y, 5,

fi'F fi'v fi" ainsi que dr' "37' 57' "^ renfermeront aucun terme semblable, et

cela sera encore vrai de la différentielle ^ '^T/^ ^ dm et de son

intégrale 1 dm^ ^^t^ — étendue à toute la masse fluide : or, cette

intégrale représentant la partie de -^ qui est relative au fluide, il en

résulte que sa variation olSL ne renferme aucun terme de la nature de ceux dont il s*agit. On peut donc effacer a8L de Téquation (2) de l'article précédent, ce qui la réduit à celle-ci

10 — 71(^9' — ^9) sindcosesin(c7 — 9) -+- n(it' —it) [cosdcose — sindsine cos(nj — 9)] 4- (â/i'—i/i) [cosdsine 4- sin9coseco8(Bj — 9)].

Cette équation ayant lieu, quels que soient 0 et cr, nous pouvons y supposer d'abord ct = ç et 0 = 90®— e; elle donnera

in' — dn r= o ou in! := in,

ce qui change Téquation (3) dans la suivante

i 0= (39' — 39)8in9co8e8in(cj— 9)

( -h {it'—it) [co89co8e — 8in98ineco8(c7 — 9)].

En supposant dans cette dernière équation 0 :r:^ o, on aura

o:=it' — it OU it' = it,

et Téquation (4) devient

o z= (^9'— ^9) 8in^ cose sin(o — 9).

Partant, Scp'= 8^; on aura donc les trois équations

d'où il suit que les variations du mouvement du sphéroïde terrestre recouvert d'un fluide sont les mêmes que si la mer formait une masse solide avec la Terre, et qu'ainsi la précession et la nutation sont entièrement égales dans ces deux hypothësçs.

Quoique la démonstration précédente soit fondée sur la supposition que la Terre est un sphéroïde de révolution recouvert par la mer, il ne parait pas cependant impossible de l'étendre au cas de la nature, dans lequel la figure de la Terre et la profondeur de la mer sont très irréguliëres, et les oscillations des eaux sont altérées par un grand nombre d'obstacles; car tout se réduit à faire voir que aSL ne renferme alors ni terme proportionnel au temps, ni sinus ou cosinus d'angles croissant très lentement et divisés par le coefficient du temps dans ces angles. Gela parait d'abord incontestable, relativement aux termes proportionnels au temps; car on voit a priori que les oscillations de la mer, et par conséquent la valeur de -r- qui lui est relative,

seront les mêmes lorsque les circonstances du mouvement de l'astre se retrouveront entièrement semblables : la difierence, s'il y en avait quelqu'une, ne pourrait venir que de la position et de la vitesse des eaux à l'origine du mouvement; mais cette vitesse a dû être détruite depuis longtemps par toutes les résistances que la mer éprouve, en sorte qu'il serait impossible, par l'état présent de son mouvement, de tixer cette origine, que l'on pourrait supposer plus ou moins éloignée sans qu'il en résultât aucun changement dans les oscillations actuelles de la mer.

Il suit de là que, si les éléments de l'orbite de l'astre attirant sont

invariables, l'expression de ^» relative au fluide, ne renfermera

aucun terme proportionnel au temps, mais qu'elle sera une fonction de ces éléments et de quantités périodiques dépendantes du mouvement de cet astre et de la rotation de la Terre : cette fonction représenterait encore à très peu près la valeur de -^' si quelqu'un de ces

éléments, tel que la position du nœud de l'orbite, venait à varier d'une manière presque insensible, comme il arrive pour la Lune; il suffirait alors de regarder cet élément comme variable, ce qui peut, à la vérité, introduire dans l'expression de aSL des sinus et des cosinus de la distance angulaire du liœud de l'orbite lunaire à l'équinoxe du . printemps, mais sans être divisés par le coefticient du temps dans cet angle, comme cela serait nécessaire, pour qu'elle put influer sur la précession et sur la nutation. Il est donc généralement vrai que de quelque manière que les eaux réagissent sur la Terre, soit par leur attraction, ou par leur pression, ou par le frottement et la résistance des côtes, elles communiquent à l'axe de la Terre un mouvement à très peu près égal à celui qu'il recevrait de l'action directe du Soleil et de la Lune sur la mer, si on la supposait former une masse solide avec la Terre. On peut comparer l'effet des oscillations des eaux sur la précession des équinoxes à celui des vibrations insensibles que l'action de la gravité, et généralement toutes les forces de la nature, excitent dans les corps même les plus solides et qui ne les empêchent pas de se mouvoir comme s'ils étaient parfaitement durs, conformément au même principe dont nous avons fait usage dans ces recherches, savoir, que la réaction de leurs molécules les unes sur les autres n'altère point la somme des produits de chaque molécule par l'aire que décrit son rayon vecteur sur un plan fixe quelconque.

Considérons la Terre comme étant entièrement solide, et reprenons l'équation (i) de l'article IV; si l'on choisit pour plan fixe celui de l'équateur terrestre à l'origine du mouvement, on aura

tj — 9 et 0 t=r 90° — 8 ;

a52 MÉMOIRE SUR LA PRÉCESSION DES ÉQUINOXES.

Téquation (i) deviendra donc

ad-7- = (xHdn.

dt '

ce qui donne, en la differentiant,

Maintenant il résulte de l'article III que ^^-37? est égal à la somme

des produits de chaque molécule par Taire que son rayon vecteur, projeté sur le plan de l'équateur, décrirait dans Tinstant dt^ en vertu des attractions du Soleil, de la Lune et des planètes : or, sans prendre la peine de calculer cette aire, on conçoit aisément qu'elle ne peut être exprimée que par une suite de termes de la forme

ps\n{rnt-\- m/-hE),

^ et E étant constants, r étant un nombre entier ou zéro et m étant nul ou dépendant du mouvement de Tastre attirant dans son orbite. Si Ton suppose ce mouvement extrêmement petit, en sorte que, dans l'intervalle d'un jour, on puisse regarder l'astre comme immobile, la somme des termes dans lesquels r=o pourra, dans le même intervalle, être représentée par une constante G; mais il est visible que, lorsque la molécule, par la révolution de la Terre sur elle-même, aura pris de l'autre côté du méridien de l'astre une situation semblable à celle

qu'elle a dans le moment présent, la partie de ^^-^ qui lui est relative sera exactement la même avec une figure contraire, ce qui ne peut être, à moins que l'on n'ait C = o. Partant, ^^-ztî ne renferme

ni terme constant, ni sinus ou cosinus d'angles croissant très lentement, d'où il suit que a^/i ne renferme point de pareils sinus ou cosinus, ni aucuns termes proportionnels au temps; le mouvement de rotation de la Terre ne reçoit donc point de variation sensible de l'action des corps célestes, et, comme la valeur de a S/i est, par ce qui

précède, encore la même lorsque la Terre est recouverte d'un fluide de peu de profondeur» on voit que Inaction de ces difl^érents corps sur cette planète et sur les eaux qui la recouvrent n'altère point l'uniformité de son mouvement de rotation.

Je terminerai ces recherches par la remarque suivante sur l'axe réel de rotation de la Terre.. La position de cet axe dans l'espace est, comme on l'a vu, la même dans le cas où la Terre est entièrement solide, et dans celui de la nature où elle est recouverte en partie d'un fluide de peu de profondeur; mais sa situation par rapport à la surface du globe est-elle dans ces deux cas exactement semblable?

Si l'on considère la Terre comme un sphéroïde de révolution entièrement solide ou recouvert d'un fluide, il est facile de s'assurer que l'axe réel de rotation ne peut jamais s'écarter d'une quantité sensible de l'axe de figure, autour duquel elle est supposée tourner, au moins à très peu près, à l'origine du mouvement; car, la raison pour laquelle l'axe réel de rotation s'écarterait plutôt à droite qu'à* gauche de l'axe de figure ne pouvant venir que de la position primitive du sphéroïde par rapport à l'astre, il est visible que, en supposant le mouvement de rotation de la Terre très rapide par rapport k celui de l'astre, le même écart que l'on trouve après le temps /, à droite de l'axe primitif, en prenant pour origine du temps le commencement du premier jour, doit se trouver à gauche après le même temps, si l'on fixe cette origine au milieu du premier jour. L'axe réel de rotation ne peut donc avoir autour de l'axe de figure que des mouvements périodiques et insensibles, en sorte que l'on peut toujours supposer que ces deux axes coïncident; mais il n'est pas de la même évidence que l'on puisse également confondre l'axe réel de rotation de la Terre avec son axe primitif, dans le cas où la figure de cette planète et la profondeur de la mer sont très irrégulières. Il ne suffit pas alors pour l'équilibre que la direction de la pesanteur soit perpendiculaire à chaque point

OFsUvres de L. ^ IX, 45

de la surface des eaux : il faut, de plus, que les efforts de toutes les molécules pour déplacer l'axe de la Terre se balancent et se détruisent réciproquement. Or, si ces deux conditions ne sont pas remplies, si la configuration du vaste bassin de la mer s'y refuse, ne doit-il pas en résulter dans Taxe réel de rotation des mouvements imperceptibles, qui, réunis à ceux que produisent l'action directe du Soleil et de la Lune et la réaction des eaux, peuvent le faire successivement répondre à différents points de la surface du globe éloignés les uns des autres, et transporter ainsi, après un temps considérable, le pôle dans d'autres régions? N'est-ce point à ces mouvements qu'il faut attribuer les déplacements presque insensibles que l'on observe dans la masse des eaux? Ces questions me semblent mériter, par leur importance et leur extrême difficulté, l'attention des géomètres.