PAR APPROXIMATION

Mémoires de l'Académie royede des Sciences de Paris, année 1777; 17S0.

Rien ne fait autant d*honneur à l'esprit humain que la découverte de la gravitation universelle et l'application heureuse que l'on a su faire de l'Analyse au système du monde; mais, si l'Astronomie physique, en donnant l'explication des plus grands phénomènes de la nature, appuyée sur l'observation et le calcul, est, de toutes les Sciences physico-mathématiques, celle qui doit intéresser davantage les philosophes, elle mérite encore plus l'attention des géomètres par les difficultés que l'on a eu à vaincre et par les méthodes qu'il a fallu inventer. Ceux qui en ont fait l'objet de leurs recherches savent qu'une dés principales difficultés qu'elle présente consiste à faire disparaître les arcs de cercle que les méthodes ordinaires d'approximation introduisent dans les intégrales approchées des équations différentielles du mouvement des corps célestes; cette difficulté, qui commence à se faire sentir dans la théorie de la Lune, devient beaucoup plus grande dans la théorie des satellites de Jupiter et dans celle des planètes. M. do la Grange est le premier qui l'ait résolue par une méthode extrêmement ingénieuse; MM. d'Alembert et le marquis de Condorcet en ont depuis trouvé de très belles solutions. Enfin, dans la première Partie de nos Mémoires de 1772, page 65i (*), et dans la seconde Partie (*),

(«) OEuQres de Laplace, T. Vm, p. 36 1. («) Ibid., p. 383.

Œuvres de X. — IX. 4^*

page 2G7, j'ai donné pour le même objet une nouvelle méthode fondée sur la variation des constantes arbitraires. En y réfléchissant de nouveau, il m'a paru que cette manière de faire varier les arbitraires pouvait être d'un grand usage dans TAnalyse, et que, relativement aux arcs de cercle qui entrent dans les intégrales approchées des équations différentielles qui n'en renferpient point elles-mêmes, elle donnait le moyen le plus direct et le plus général de les faire disparaître, toutes les fois que cela est possible. Je me propose, dans ce Mémoire, de l'exposer plus simplement que je ne l'ai fait dans les Mémoires cités, et j'ose me flatter d'y présenter aux géomètres une nouvelle théorie de ce genre d'équations difl^érentielles.

Soit l'équation différentielle du second ordre

dans laquelle dt est constant; T est fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d'angles croissants proportionnellement à /; a est une quantité très petite, et Y est fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d'angles croissants proportionnellement à /, de a, àey et de ses différences. Pour l'intégrer, soit

En substituant cette valeur dans l'équation (A) et comparant successivement les termes sans a, ceux de l'ordre a, ceux de Tordre a', etc., on aura le système suivant d'équations

où il est visible : i^ que T sera fonction de sinus et de cosinus; 2^ que T' sera fonction de sinus, de cosinus et de z; 3® que T" sera fonction de sinus, de cosinus, de z et de z\ et ainsi de suite. Ces équations seront au nombre /i -f-i si Ton veut porter Tapproximation jusqu'aux quantités de Tordre a", et il sera facile de les intégrer par les méthodes ordinaires; mais, le plus souvent, il en résultera dans les intégrales des arcs de cercle, qui, aprës un temps considérable, les rendront fautives. C'est à se débarrasser de ces arcs, lorsque cela est possible, que consiste la principale difficulté de ce genre d'intégrations.

Pour éclaircir ce que nous venons de dire, et pour répandre en même temps un plus grand jour sur ce qui va suivre, nous allons appliquer à un exemple particulier les méthodes ordinaires d'approximation. Soit l'équation différentielle

dont on propose de trouver l'intégrale approchée jusqu'aux quantités de Tordre a*; on fera

et Ton aura les trois équations

dt^

d^z' dt*

0 = --f^ -}- z'-h mz' cos2i.

dt*

En les intégrant, on peut se contenter de satisfaire aux deux dernières et se dispenser d'ajouter des constantes arbitraires à leurs intégrales, parce que la valeur de :; en renferme deux, qui, se trouvant dans l'expression de y^ la rendent complète. Cela posé, la première de ces

360 Mémoire; sur l'intégration

équations donne, comme Ton sait» en l'intégrant»

z II psÀnt-^qcosty

p etq étant deux constantes arbitraires; cette valeur de Zf substituée dans la seconde équation, la change dans celle-ci

iPz' , mp . ^ ma

O = -^r- 4- -5' ^Sin^ H ^COS/

-h — sin3/-h — cos3/.

Pour y satisfaire, nous représenterons par A/sin/ + B/cos/ la partie

de s' qui répond aux termes — — sin/ et — cos/, A et B étant des

coefRcients qu'il s'agit de déterminer; pour cela, on substituera cette partie de l'expression de z' dans l'équation différentielle, et l'on trouvera, en comparant les termes semblables,

Quant aux termes — sin3/ et — cos3/, nous observerons que, en

général, si le terme Ksin((ji/ -f- e) ou Kcos((ji/ -+- e) se rencontre dans l'équation différentielle en z\ et que l'on désigne par Msin((ji/ -h e) ou Mcos((ji/ -H e) la partie de s' qui y répond, on aura

fJL«--l'

d'où il est aisé de conclure que les termes — sin3/ et ^cos3/ pro-

^ mB «fi

duisent dans l'expression de z' la quantité

-~sin3/H ^cosSt; .

la valeur entière de s' sera donc

rnp mq ^^ H ^sin3/H îf cos3^

Cette valeur, substituée dans la troisième des équations (b), donne

o=-5ir+-'

( 8 '-^-irj^'"'-(-r'--3T)^«^

^^sin3/ -^ ^coso^

/w'p . - ^ in}q -

^ c sin5/4--7p^ cosD^ 3q 3a

En représentant par

( A/'-h B/) sin^-h (C^*H- D/) cos/ la partie de l'expression de z" qui répond aux deux termes

£,^.^js.n. et -(^-^.-^jcos^

et en la substituant dans l'équation différentielle, la comparaison des termes semblables donnera

Si Ton représente ensuite par

(M/-hN)sin3^4-(P^-hQ)cos3/

la partie de 5" qui répond aux termes ^/sin3/ et ~ — g^/cos3/,

on trouvera

Enfin la partie de 5" qui répond aux termes ~-^sin5/ et ^^ cos5/ sera, par ce qui précède,

OEu¥ret de L, — IX. 4^

la valeur entière de %" sera, par conséquent.

En rassemblant ces trois valeurs de z, z' et z\ on en conclura

[(xmq ( 3a/n\ a'^w'/? ."1 . ^

[amp / 3am\ ^ cf>m}q ."l ^--/('--F6-)'+-37^T"' / /x 1 «m r / 3am\ am7 1 . «^

<xm\ ( 3am\ «mp 7

f1 vmS r> /v' y»>t ,

expression qui, comme on voit, renferme des arcs de cercle.

Le procédé que nous venons d'exposer suffit pour intégrer l'équation (A) dans tous les cas possibles, et il est aisé d'en conclure que l'expression générale de y aura la forme suivante