I -+ (7-+-M/-+-N/»-hP/»H-...)cosA/-hR
A, B, C, ... et M, N, P, . . . étant des fonctions rationnelles et entières de p^ 7, a, et R étant une fonction rationnelle et entière de ces
mêmes quantités, de i'arc / et de sinus et de cosinus autres que sinA/ et cosA/.
En substituant cette valeur de y dans l'équation (A), qui ne renferme point d'arcs de cercle, on aura une équation identiquement nulle, dans laquelle, par conséquent, les termes semblables se détruiront réciproquement, de sorte que si, dans ceux qui renferment l'arc de cercle /, on change en / — G l'arc / qui n'est point enveloppé sous des sinus et des cosinus, 0 étant arbitraire, l'équation restera toujours identiquement nulle : or il est visible que ce changement revient à en faire un semblable dans l'expression de j^; d'où il suit que, si l'on désigne par/?' et q' deux constantes arbitraires, cette expression est encore susceptible de cette forme
I y~ [/?'H-A'(/ — ^)-hB'(/ — ô)«-hC(/ — ô)»-h...]sin^/
1 4- [7'-h M'(^ - 0 ) -h N'(/ — 0)*-h P'(/ - ô)»-h. . .] cos/i^ -h R',
A', B', C, . . . , M', N', P', ... étant ce que deviennent A, B, C, . . . , M, N, P, ... lorsqu'on y change /? et y en p et ^, et R' étant ce que devient R, en vertu de ces changements, et en changeant de plus en / — 0 les arcs de cercle / que cette quantité renferme.
Quoique cette seconde expression renferme l'arbitraire G de plus que la précédente, elle n'est pas cependant plus générale, parce que, l'équation diiTérentielle (A) n'étant que du second ordre, son intégrale complète ne doit renfermer que deux constantes arbitraires; il est donc possible de faire coïncider ces deux valeurs de y : cette considération va nous fournir le moyen d'en faire disparaître les arcs de cercle. Pour cela, soit
p'—p-^Kt -f-B/*-}-. . .,
Si l'on tire de ces équations, par la méthode du retour des suites, les valeurs de/? et de q en p'\ q" et ^, et que, en les substituant dans R, on forme une nouvelle quantité R", l'équation (A') deviendra
(A'') ^=/>''8in/i^4-/cos/i/-+-R'';
364 MEMOIRE SUR LINTEGRATION
p" et q[' sont des fonctions de t que nous représenterons par ç(/) et ^(/). La comparaison des équations (A") et (A*') donnera ainsi les
suivantes :
Il résulte de ces équations : i^ que
2** que les deux suites
et
ne sont que le développement des deux fonctions
9(0-h^"-0) el iK04-/ — 9)
en séries ordonnées par rapport aux puissances de / -- 0, de sorte que Ton a, par la théorie des suites»
partant, si Ton change dans ces équations 0 en t, ce qui transforme p' et q' en />" et q", et que Ton désigne par A'' et M'' des fonctions de p'' et de ^, semblables à celles de A' et de M' en p' et ^, ou de A et de M en /? et q, on aura les équations
"dJ-^^ -dt-^'
au moyen desquelles on déterminera^" et q".
Pour ce qui regarde R", la comparaison des équations (A") et (A"') donne encore R''= R'; or, si Ton suppose dans cette équation / = G, p" et q" se changent en p' et q\ De plus, les arcs de cercle / — 0 disparaissent de R'; donc l'expression de R" devant être identiquement la même que celle de R' ne doit point, dans ce cas particulier, renfermer
Tare 0, ce qui ne peut être» à moins que, dans le cas général, R'' ne renferme point l'arc t. La substitution des valeurs de ^ et de y en/>", y^ et/ dans R en fait donc disparaître les arcs de cercle; d'où il suit que l'on aura la même valeur de R'', en ne tenant aucun compte de ces arcs dans les valeurs de R,/? et q, ce qui donne
P—P' et q — q';
partant, on formera R" de R, en changeant dans cette dernière quantité/? et q en p" et q'' et en effaçant tous les termes qui renferment des arcs de cercle.
De là résulte cette règle fort simple pour avoir l'intégrale approchée de l'équation (A) sans arcs de cercle, lorsque cela est possible :
Intégrez les équations (B) par les méthodes ordinaires et formez ainsi V équation (A'); vous en ferez disparaître les arcs de cercle en effaçant tous les termes qui en renferment ; mais alors, au lieu de supposer p et q constants, il faut les considérer comme des variables donnéespar les équations
^-A ^?-M dt-^' dt~^'
Pour intégrer ces deux équations, on différentiera la première, et Ton aura la suivante
d^p àA dp dk dq HF ~ dp di "^ dq dt^
qui, à cause *de -^ = M, devient
d^p (JA dp ^dA
dt^ dp dt dg'
maintenant, on tirera de l'équation ^ ~ A la valeur de q, exprimée par
une fonction dep et de ^> que nous désignerons par nf/>, ^ ]> ||, en
la substituant dans l'équation précédente, on aura une équation de cette forme
r(p, -^ \ repréiM^ntant ane fonction de p et de ~ Celte équation est
du second ordre; pour l'abaisser au premier, soit -^ = v. et Ton aura
partant
Cette dernière équation est du premier ordre, et son intégrale donnera
a étant une constante arbitraire et J(/',a) désignant une fonction de ;? et de a; donc
d'où Ton tire
h étant une seconde arbitraise. On aura, au moyen de cette équation, la valeur de p en fonction de /+ 6 et de a, et, en la substituant dans
n(/7, -^\ on aura q en fonction des mêmes quantités.
Si Ton applique la règle précédente à Tintégration de Téquation (a), on aura, en effaçant les arcs de cercle de Téquation (a'),
/=:/?SllW-l-7C0S/ H 7~ ( IH — \ sin3/
OLmq ( 3am\ « 7t)8 768
et l'on déterminera/? et q au moyen des équations
dp amq ( 3a/n\ dq amp / ^«'wX
~di ~ 4~v "^ ~ï6~A di" T'y ~""T6~y
Pour les intégrer» on supposera, suivant les méthodes connues,
p zr.z fe^\ q = geV-^
e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et Ton aura
«m / 3am\ «m ^/ 3am\
d'où Ton tire, en négligeant les quantités de Tordre a', •
. am
cm ^/ 3am q«*m'\
4" ^ = ^A'~~'ti""^^^i^)'
donc, si Ton désigne par /et/' deux constantes arbitraires, on aura
a w __ ojw
et
= (-'rr-'0*) (/■«•"-/'"■)•
Il est facile d'étendre la règle de l'article IV à un nombre quelconque d'équations et de variables; si l'on a, par exemple, les n équations
qui renferment celles du mouvement des corps célestes, T, T', T", . . . étant fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus, et Y, Y',
Y", ... étant fonctions rationnelles et entières de sinus, de cosinus, de a, des n quantités v, y^y^ . • . et de leurs différences; en les intégrant par les méthodes ordinaires, on aura
y ={p 4- A ^4-B t^-h...)sinht h- (7 -+-M/-+-N t^ -h . . .) cosht -h R, y — (/>' -^ A'i -f- B'/» -f-. . .) sin A'/ -^ ig' h- M'/ 4- N'/*-- . . .)coshU -4- R', T'- (//-+- A"/ -i- BV4-. . .) sin/i'/ -t- (7'4-M'/ 4- NV-f-. . .)cosA'/ 4- R', • .•..•••.•...••••.•............•.,
A, B, . . . , M, N, . . . , A', B', . . . étant des fonctions de a, /?, p\ p"^ . . . , y, ^, 7^, . . . , R étant fonction de ces quantités, de l'arc / et de sinus e| de cosinus autres que sinA/ et cosA/; R' étant fonction de ces mêmes quantités, de Tare t et de sinus et de cosinus autres que sinA'£ et cosA'^ et ainsi de suite. Cela posé, pour faire disparaître les arcs de cercle de ces expressions, il suffit d'effacer tous les termes qui en renferment; mais alors il faut considérer/?, p\ p"^ ..., y, ^, y", ... comme autant de variables données par les équations
^P' — kl ^^ — M'
Dans le cas des perturbations du mouvement des planètes, si l'on ne porte la précision que jusqu'aux quantités de l'ordre a, ces équations sont linéaires et faciles à intégrer par les méthodes connues (voir la seconde Partie des Mémoires de 1772, page 36o) ('). Si l'on voulait une approximation plus exacte, les équations précédentes ne seraient plus linéaires; mais il serait aisé de les ramener à cette forme par le procédé que nous avons donné dans les mêmes Mémoires, pages 287 etSii (^).
(«) Œuvres de LaplacCy T. VIII, p. {61. (*) rbid., p. 389 et p. 4i3.
Considérons plus particulièrement ce genre d'équations différentielles qui ne renferment point d'arcs de cercle, mais dont les intégrales, obtenues par les méthodes ordinaires d'approximation, en renferment. Pour cela, soit l'équation différentielle de l'ordre n
P étant fonction de y et de ses différences, de sinus, de cosinus, d'exponentielles, etc. sans arcs de cercle. Supposons qu'en l'intégrant par approximation, suivant les méthodes ordinaires, on ait
X, Y, Z, ... étant des fonctions de sinus, de cosinus, d'exponentielles et de n constantes arbitraires, /?, q, ..., il est facile de prouver, comme dans l'article lY, que cette valeur de y satisferait encore à la proposée, en y changeant les arcs de cercle / en / ~ 0, en sorte que l'on peut supposer
cette seconde expression de y renferme n-hi arbitraires qui doivent se réduire à n. Pour concevoir la possibilité de cette réduction, représentons l'expression rigoureuse et inconnue de y par
9(/, a ■+■ mi, b -h m! t, . . .),
a, 6, ... étant des constantes arbitraires; en la mettant sous cette forme
et en la réduisant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de / — 0, on aura, comme Ton sait,
OEawrm de L. ^ Vk. 4?
u étant égal à <p(/, a -h mG, b 4- m'G, . . .); or il est visible : i® que a, 59* -ggr* • • • renferment les n arbitraires a -\- mG, b -f- /w'G, . . .; 2*^ que
l'arbitraire G, qui se trouve dans les arcs de cercle / — G, (/ — G)*, . . . de la série précédente, rentre dans ces n arbitraires et ne fait que les changer en a, 6, . . .; 3** que ce ne peut être que de cette manière que l'arbitraire G de la suite X -h Y(/ — G) -h Z(/ — G)* -f-. . . rentre dans les n arbitraires p,q, — Cette suite doit donc être la même que celleci, M H- -jqC^ — 0) 4-..., ce qui donne
V au ^
Si Ton représente maintenant par ^(^/'» q^ ...) la fonction X que nous supposons connue, l'équation u = X donnera
p, y, ... sont, par conséquent, fonctions de a-f-mG, ftn-m'G, .... Soit
/? = n(a-l-mô, b-h m'6f . . .), ^ = ni(a4- mOf b-h m'Of . . .),
et l'on aura l'équation identique
9(^ a ■+■ mOy b -+- m'O, . . .) = ^[t, n(a-4-m9, b-bm'9, ...), Ui{a-^m9^ b-^-m'S, ...), ...].
En changeant G en /, les deux membres de cette équation se changent dans l'expression rigoureuse de 7; il suffît donc, pour avoir cette expression, de déterminer/?, q, ... en fonctions de G, de changer dans ces valeurs G en / et de les substituer ensuite dans la fonction X : la question est ainsi réduite à déterminer ces valeurs.
Si l'on différentie l'équation u = X relativement à G, on aura
au â\ dp d\ dq
dê'^'dp dd'^ âq âS
Téquation :^ =Y deviendra donc
âO
Y àX dp dX âq
dpdO'^'dqdê
Cette équation, ayant lieu quel que soit t, donnera, en la différentiant /i — I fois par rapport à /,
dY ___ d«X dp d^X dq
dt "" IpJt de "^ âqdt ôQ "^ "'
à^Y a^X dp d*X dq
dl* ~~ dp dt^ dO ^ dq dt^ dS
En déterminant ^' ^f ' • • • ^^ moyen de ces n équations, on aura
dB"^ ' dQ" '
X\ Y', ... étant des fonctions de p, q^ ... sans /, puisque les valeurs
de ^> ^» • • • doivent être indépendantes de cette variable.
Cette considération peufr servir à déterminer ces valeurs uniquement par l'inspection de l'équation
^ dX dp ^"l^dê^"'
et d'une manière souvent plus simple qu'avec le secours de ses différentielles, en égalant à zéro les coefficients des diiférents sinus et cosinus.
En changeant 0 en / dans les équations
dô "" ' de~' '
on aura les suivantes
dt-:^' dt~^ ' et les valeurs de p^Çf ... que l'on trouvera en intégrant ces dernières
91h MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans Tarticle V; et, comme il résulte de ce même article que la valeur de y renferme les
amt OLmt
quantités e ^ ete ^ , on peut en conclure que les exponentielles sans imaginaires sont inévitables et qu'elles entrent dans l'intégrale rigoureuse.
Au lieu de comparer les coefficients de sint et de cos/, on aurait pu comparer ceux de sin3/et de cos3/, et les équations diiTérentielles en ^ et en y auxquelles on serait parvenu doivent coïncider avec les précédentes; mais on doit observer que, ces coefficients étant tous multipliés par a, les équations qui résultent de leur comparaison ne peuvent être exactes que jusqu'aux quantités de l'ordre a : elles deviennent, en effet, en n'ayant égard qu'aux quantités de cet ordre et en y changeant 0 en /,
dp amg
di" V
dg amp
'dû "* 4"'
Or ces équations rentrent visiblement dans les précédentes, en négligeant les quantités de l'ordre a^.
Âpres avoir résolu le problème le plus difficile et le plus important de la théorie désintégrations par approximation, il nous reste, pour compléter cette théorie, à exposer une méthode générale pour obtenir des intégrales de plus en plus approchées; M. de la Grange a déjà rempli cet objet d'une manière très simple et très ingénieuse dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1775, page 192; mais la méthode suivante a, si je ne me trompe, l'avantage d'être plus directe.
Soit l'équation différentielle de Tordre n
P étant fonction de t.y^ ^, •• -, , jf et Q pouvant être de plus fonction de a; supposons que Ton sache intégrer Téquation
et que son intégrale soit y = ^(^ p^ q^ r^ ...), p, q, r, ... étant des constantes arbitraires; en différcntiant cette intégrale n — i fois do suite par rapport à t, on aura, en y comprenant l'équation intégrale elle-même, n équations au moyen desquelles on pourra obtenir, par l'élimination, les valeurs des n arbitraires en fonctions de /, y,
dt^ •••> ^.nS • Soient V, V, V% ... ces fonctions, en sorte que
p = \, ç = V', r = V% ..., on aura, en differentiant,
o=:e/V, o = rfV', o = rfV^
or il est clair que ces différentes équations ne peuvent être que le produit de celle-ci
par différents facteurs qui la rendent intégrable et qui sont les coefB-
fin y
cients de ^— ^j dans ces équations. Soient F, F', ... ces coefficients.
et l'on aura
cela posé, si l'on multiplie la proposée (y) successivement par Y dt^ Y'dtf . . . , elle prendra les n formes suivantes
o = dV -^(xFQdt,
En intégrant, on aura
p^q, ... étant des constantes arbitraires.
Si Ton suppose maintenant a = o dans ces équations et qu'on en
élimine les différences ^> ^> •••> , jf? on aura une équation finie
entre j, /,/?, 7, ... qui doit, par ce qui précède, se réduire à
En changeant donc, dans cette expression de y^ p en p — oLjFQdt, g en g — afFQ dt, .... on aura pour cette même expression, lorsque
a est quelconque,
(X) y=9i^,p-o^fFQdi, ^-«/F'Qrfr, ...).
Toutes les fois que FQ^ft, T'Qdt, . . . seront des différences exactes, on aura l'intégrale rigoureuse de j^; or c'est ce qui a lieu lorsque l'équation (y) est linéaire, car alors aQ est fonction de / seul, et l'on a
M, N, ..^. , S étant fonctions de t seul; de plus, l'intégrale de l'équation
est visiblement alors de cette forme
li, {/, iif\ ... étant fonctions de /; or il est clair que si, au moyen de cette équation et de ses n — i premières différentielles, on élimine
p, q, Ty . .., ce qui est très facile, on aura n équations de cette forme
F, H, . . . , F', H', ... étant des fonctions de / seul. En difierentiant ces équations, on aura les suivantes
qui ne peuvent être que la propo'sée elle-même, multipliée successivement par F, F', ..., en sorte que, dans ce cas, FQ, F'Q, ... seront uniquement fonctions de /; l'intégrale complète de Téquation (y) sera donc alors, dans la supposition de a quelconque,
ce qui donne, comme l'on voit, le procédé le plus direct pour conclure l'intégrale de cette équation lorsque a est quelconque, de son intégrale lorsque a = o.
Il arrivera le plus souvent que les fonctions aFQrf/, aF'Qrf/, ... ne
seront pas des différences exactes; mais, si dans ce cas l'équation (X)
• n'est plus l'intégrale finie de la proposée (y), elle est au moins d'une
forme très avantageuse pour trouver des intégrales de plus en plus
approchées; en effet, si l'on y suppose d'abord a = o, on aura
et ce sera la première valeur dey. En la substituant dans les fonctions FQrf/, F'Qdt, ..., elles deviendront fonctions de t seul, et si l'on
0Ru9reê de L, — IX. 48
représente par E, G, * . . leurs intégrales, on aura pour seconde valeur
de 7
En syibstituant cette seconde valeur dans FQ cfo, F'Q dt, ... et représentant par E\ G\ ... leurs intégrales, on aura pour troisième valeur approchée de y
et ainsi de suite.
Supposons que Téquation différentielle (y)» ainsi que sa première intégrale, ne renferment point d'arcs de cercle, mais que les intégrales subséquentes en renferment, en sorte qu'ils soient introduits par les fonctions successives E, G, E', G', ... ; on les fera disparaître en les effaçant de la dernière valeur de j' à laquelle on s'arrêtera, et que nous supposons être la (n -4- i)'*'"*^-; mais il faudra y substituer, au lieu de /?, 7, . . . , les valeurs que Ton trouvera en intégrant les équations
A, B, ... étant les parties constantes du coefficient de t dans E^'•~*^
Vf , ....
La méthode précédente donne un moyen facile de reconnaître a priori si les intégrales approchées de l'équation (y) renfermeront des arcs de cercle; car il est visible, par exemple, que la seconde valeur de j ne peut renfermer l'arc at qu'autant que le produit de Q par l'un des facteurs F, F', ... qui rendent intégrable l'équation
renferme un terme constant, après y avoir substitué pour j sa première valeur. Pour appliquer cette règle à l'équation
on doit observer que les deux facteurs qui rendent intégrable celle-ci sont e*'^ et e*"*'*^^, et que son intégrale complète est
y=^p sîn A/ -+^ q co%ht\
il faut donc, pour que la seconde valeur approchée de y renferme l'arc a/, que Q^ef*^"^ ou Qe-^'v^"* renferpae un terme constant, après y avoir substitué, pour j', /?sinA/ h- y cosA/; or il est visible que cela ne peut être, à moins que Q ne renferme, après cette substitution, un terme multiplié par sinA/ ou par cosA/, ce qui est conforme à ce que l'on sait d'ailleurs.
On peut encore employer avec avantage la méthode de faire varier les arbitraires dans le cas où les équations différentielles renferment des quantités qui changent d'une manière presque insensible, ce qui se rencontre fréquemment dans l'Astronomie physique. Soit, par exemple, l'équation différentielle
P étant fonction de /, j', ^ > • • > ,^^j; et des quantités a, b, . . . , qui
varient très lentement, en sorte ^que les différences -^y -^y • • • soient
très petites; supposons qu'en l'intégrant et en supposant a, 6, ... constants on ait
p, q, ... étant les constantes arbitraires que donne l'intégrfttion : on pourra représenter encore par cette forme l'expression complète Aey, dans le cas où l'on considère a, b\ ... comme variables; mais il faut
alors faire varier les arbitraires/?, q, ... de manière que ^> ^i • • • >
38p MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION, ETC.
-^ restent pareilles fonctions de a^ b, .... p,q, ... que si ces quantités étaient constantes; car il est clair que ces fonctions, substituées dans l'équation différentielle proposée, la rendront identiquement nulle. Il est donc nécessaire que les variations des valeurs de ^y,
-^> • • • soient miles, en vertu des variations de a, A, . . . , ii, y, . . . , co qui donne les n équations suivantes
da dy db dy dp dy dq dy
^~dtd^ '^dcTb '^'"'^diTp '^didg'^"''
da d*y db d^y dp d^y dg d*y
^'^di dadi'^dt dbTt'^''^ de dpdt^ dt dgTi^
Ces équations sont les mêmes que celles auxquelles nous sommes parvenu par un raisonnement à peu près semblable, dans les Mémoires de V Académie, année 1772, II* Partie, p. 3i5 (*), et l'on peut observer qu'étant rigoureuses elles ont généralement lieu, quelles que soient les variations de a, 6, . . , , en sorte qu'elles ne sont point restreintes au cas où ces variations sont insensibles. Il est facile d'étendre à un nombre quelconque d'équations tout ce que nous avons dit dans ces derniers articles; nous croyons ainsi pouvoir nous dispenser d'entrer dans un plus grand détail sur cet objet. .
P) OEuvres de Laplace, T. Vm, p. 416.
Mémoires de l* Académie royale des Sciences de Paris, année 1778; 1781.
Je me propose de traiter dans ce Mémoire deux points importants de l'analyse des hasards qui ne paraissent point avoir encore été suffisamment approfondis : le premier a pour objet la manière de calculer la probabilité des événements composés d'événements simples dont on ignore les possibilités respectives; l'objet du second est l'influence des événements passés sur la probabilité des événements futurs, et la loi suivant laquelle, on se développant, ils nous font connaître les causes qui les ont produits. Ces deux objets, qui ont beaucoup d'analogie entre eux, tiennent à une métaphysique très délicate, et la solution des problèmes qui leur sont relatifs exige des artifices nouveaux d'analyse; ils forment une nouvelle branche de la théorie des probabilités, dont l'usage est indispensable lorsqu'on veut appliquer cette théorie à la vie civile. Je donne, relativement au premier, une méthode générale pour déterminer la probabilité d'un événement quelconque, lorsqu'on ne connaît que la loi de possibilité des événements simples, et, dans le cas où cette loi est inconnue, je détermine celle dont on doit faire usage. La considération du second objet me conduit à parler des naissances : comme cette matière est une des plus intéressantes auxquelles on puisse appliquer le Calcul des probabilités, je fais en sorte de la traiter avec tout le soin dû à son impor-
(0 Remis le 19 juillet 1780.
OEupres de L. — IX. 48*
tance, en déterminant quelle est, dans ce cas, l'influence des événements observés sur ceux qui doivent avoir lieu, et comment, en se multipliant, ils nous découvrent le véritable rapport des possibilités des naissances d'yn garçon et d'une fille. En généralisant ensuite ces recherches, je parviens à une méthode pour déterminer, non seulement les possibilités des événements simples, mais encore la probabilité d'un événement futur quelconque, lorsque l'événement observé est très composé, quelle que soit d'ailleurs sa nature. Je donne, à cette occasion, la solution de quelques problèmes intéressants dans l'histoire naturelle de l'homme, tels que celui du plus ou moins de facilité des naissances des garçons relativement à celles des filles dans différents climats : c'est ici surtout qu'il est nécessaire d'avoir une méthode rigoureuse pour distinguer, parmi les phénomènes observés, ceux qui peuvent dépendre du hasard, de ceux qui dépendent de causes particulières, et pour déterminer avec quelle probabilité ces derniers indiquent l'existence de ces causes. La principale diiliculté que l'on rencontre dans ces recherches tient à l'intégration de certaines fonctions différentielles qui ont pour facteurs des quantités élevées à de très grandes puissances, et dont il faut avoir les intégrales approchées par des suites convergentes : j'ose me flatter que l'analyse dont je me suis servi pour cet objet pourra mériter l'attention des géomètres. Enfin je termine ce Mémoire par quelques réflexions dans lesquelles je présente ce que le Calcul des probabilités m'a paru fournir de lumières sur le milieu que l'on doit choisir entre les résultats de plusieurs observations.
Dans l'analyse des hasards, on se propose de connaître les probabilités des événements composés, suivant une loi quelconque, d'événements simples dont les possibilités sont données ; celles-ci peuvent être déterminées de ces trois manières : i® a priori, lorsque, par la nature même des événements, on voit qu'ils sont possibles dans un rapport donné; c'est ainsi que, au jeu de croix et de pile, si la pièce que l'on
jette en Tair est homogène et que ses deux faces soient entièrement semblables» on juge croix ei pile également possibles; 2® a posteriori^ en répétant un grand nombre de fois l'expérience qui peut amener Tévénement dont il s*agit, et en examinant combien de fois il est arrivé; 3** enfin, par la considération des motifs qui peuvent nous déterminer à prononcer sur l'existence de cet événement; si, par exemple, les adresses respectives des deux joueurs A et B sont inconnues, comme 9a n'a aucune raison de supposer A plus fort que B, on en conclut que la probabilité de A pour gagner une partie est ^. Le premier de ces moyens donne la possibilité absolue des événements; le second la fait connaître à peu près, comme nous le ferons voir dans la suite, et le troisième ne donne que leur possibilité relative à l'état de nos connaissances.
. Chaque événement étant déterminé en vertu des lois générales de cet univers, il n'est probable que relativement à nous, et, par cette raison, la distinction de sa possibilité absolue et de sa possibilité relative peut paraître imaginaire; mais on doit observer que, parmi les circonstances qui concourent à la production des événements, il y en a de variables à chaque instant, telles que le mouvement que la main imprime aux dés, et c'est la réunion de ces circonstances que nous nommons hasard : il en est d'autres qui sont constantes, telles que l'habileté des joueurs, la pente des dés à retomber sur une de leurs faces plutôt que sur les autres, etc. ; celles-ci forment la possibilité absolue des événements, et leur connaissance plus ou moins étendue forme leur possibilité relative ; seules, elles ne suffisent pas poui' les produire : il est de plus nécessaire qu'elles soient jointes aux circonstances variables dont j'ai parlé; elles ne font ainsi qu'augmenter la probabilité des événements, sans déterminer nécessairement leur existence.
Les recherches que l'on a faites jusqu'ici sur l'analyse des hasards supposent la connaissance de la possibilité absolue des événements, et, à l'exception de quelques remarques que j'ai données dans les Tomes YI et YII des Mémoires des Savants étrcuigers, je ne sache pas
OKuvres de L, — IX. 49
que Ton ait considéré le cas où l'on n'a que leur possibilité relative. Ce cas renferme un grand nombre de questions intéressantes, et la plupart des problèmes sur les jeux s'y rapportent; on peut donc croire que si les géomètres n'y ont pas fait une attention particulière, cela vient de ce qu'ils l'ont regardé comme susceptible des mêmes méthodes que celui où l'on connaît la possibilité absolue des événements; cependant la différence essentielle de ces possibilités ne peut' manquer d'influer sur les résultats du calcul, en sortéf que l'on s'exposerait souvent à des erreurs considérables en les employant de la même manière : c'est ce dontîl est aisé de se convaincre par l'exemple suivant.
Supposons que deux joueurs A et B, dont les adresses respectives sont inconnues, jouent à un jeu quelconque, et proposons-nous de déterminer la probabilité que A gagnera les n premières parties.
S'il ne s'agissait que d'une seule partie, il est clair que, A ou B devant nécessairement la .gagner, ces deux événements sont également probables, en sorte que la probabilité du premier est ^; d'où, en suivant la règle ordinaire de l'analyse des hasards, on conclut que W
probabilité de A pour gagner les n premières parties est-^- Cette conséquence serait exacte si la probabilité { était fondée sur une égalité absolue entre les possibilités des deux événements dont il s'agit; mais il n'y a d'égalité que relativement à l'ignorance où nous sommes sur les adresses de deux joueurs, et cette égalité n'empêche pas que l'un ne puisse être plus fort que l'autre. Supposons conséquemment que
représente la probabilité du joueur le plus fort pour gagner une
