partie, et celle du plus faible; en nommant P la probabilité que

A gagnera les n premières parties, on aura

suivant que A sera le plus fort ou le plus faible : or, comme on n'a aucune raison de le supposer plutôt l'un que l'autre, il est visible que,

pour avoir la véritable valeur de P, on doit prendre la moitié de la somme des deux valeurs précédentes, ce qui donne

En développant cette expression, on a

Cette valeur de P étant plus grande que — > lorsque n est plus grand

que l'unité, on voit que l'inégalité qui peut exister entre les adresses des deux joueurs favorise celui qui parie i contre 2"— i que A gagnera les n premières parties, pourvu que l'on ignore de quel côté se trouve la plus grande adresse. Cette remarque, que j'ai déjà faite ailleurs, est, si je ne me trompe, très utile dans l'analyse des hasards, non seulement en ce qu'elle montre la nécessité d'avoir égard à l'inégalité inconnue des adresses des joueurs, mais encore en ce que Ton peut souvent déterminer si cette inégalité est favorable ou contraire à celui qui pafie d'après le Calcul ordinaire des probabilités.

Considérons encore deux joueurs A et B, chacun avec un nombre donné de jetons, et jouant ensemble de manière que, à chaque coup, celui qui perd donne un jeton à son adversaire; supposons que la partie ne doive finir que lorsqu'il ne restera plus de jetons à l'un des joueurs, et déterminons, dans ce cas, leurs probabilités respectives pour gagner cette partie.

Pour cela, nommons généralement/? l'adresse de A, i — /? celle de B et j« la probabilité de A pour gagner la partie, lorsqu'il a a? jetons; il peut arriver au coup suivant qu'il gagne un jeton à B, et dans ce cas sa probabilité se change en ^".,.^4 ; il peut arriver qu'il en donne un à B, ce qui réduit sa probabilité à y^^^ : or la probabilité du premier

(le ces deux événements est/?, et celle du second est i — /?; on aura donc Téquation aux différences finies

Pour l'intégrer, soit j'a?= Ca*, on aura

les deux racines de cette équation sont a = i et a = ^-—^i partant, si

C et C représentent deux constantes arbitraires, l'expression complète de y g sera

Pour déterminer ces deux constantes, on observera : i^ que, x étant nul, on 9iy^= o, et que, x étant égal au nombre total des jetons de A et de B, on a 7a? = I ; soient n ce nombre, m le nombre des jetons de A au commencement de la partie, et par conséquent n — m celui des jetons de B, on aura

d'où Ton tire

On aura la probabilité y^ de A pour gagner la partie, en changeant

dans cette expression x en m, ce qui donne

et, en changeant m en /i — m, /? en i — ^, et réciproquement, on aura la probabilité de B pour gagner la partie, et Ton trouvera i — ^m pour cette probabilité; c'est ce dont il est facile de s'assurer d'ailleurs en considérant que, A ou B devant nécessairement gagner la partie, la somme de leurs probabilités doit être égale à l'unité.

Maintenant, si Ton suppose les adresses des deux joueurs égales, et, par conséquent, /? = ^, l'expression précédente de y„^ devient J, ce qui ne fait rien connaître; mais, en diiférentiant le numérateur et le dénominateur de cette expression par rapport à/i, on trouve que dans ce

cas^;„= — > en sorte que les probabilités des deux joueurs A et B

sont en raison du nombre de leurs jetons : leurs mises respectives doivent donc être dans le même rapport. Examinons présentement le changement que doit occasionner dans leur sort une inégalité quelconque entre leurs adresses.

Soient la plus grande et -^^^— la plus petite ; on changera

successivement, dans l'expression de y„^^ p en - — - et ^^^; on aura

ainsi deux valeurs qui auront lieu suivant que A sera le plus fort ou le plus faible : la véritable expression de y„^ sera donc égale à la moitié de la somme de ces deux valeurs; d'où l'on tire

on peut mettre cette expression sous cette forme

Dans le cas de a = o, nous venons de voir que ym^= —l en sorte que, alors,

or, si Ton suppose m moindre que -> il est clair que, a augmentant, la

fraction ^ — -. — | — -- — 7 ^r- — diminue, ainsi que le facteur (i —a*)'";

on aura donc, dans la supposition de a plus grand que zéro,

h étant nécessairement positif. Partant,

d'où il suit que l'inégalité des adresses de A et de B est favorable à celui des deux joueurs qui a le plus petit nombre de jetons.

a restant le même, si m et n augmentent en conservant toujours le même rapport, il est clair que

[(l-f.«)^-îm(,Oe)n-lmj

(i-hoc)*— (1 — a)'

deviendra plus petit, et que l'on peut tellement faire croître n et /w, que cette quantité soit plus petite qu'aucune grandeur donnée; donc, si les deux joueurs conviennent de doubler, de tripler, etc. leurs jetons, leur sort, qui, dans le cas où les adresses sont égales, n'en sera point changé, deviendra très différent s'il y a une inégalité quelconque entre leurs adresses; la probabilité de celui qui a le plus petit nombre de jetons augmentera de plus en plus, jusqu'au point de différer infiniment peu de ^, et par conséquent de la probabilité de son adversaire.

En général, si, dans un problème quelconque relatif aux deux joueurs A et B, on représente par l'adresse du plus fort, et par

'^ ^ celle du plus faible, le sort P du joueur A supposé le plus fort

sera exprimé par une fonction de a, qui, réduite en série, aura la forme suivante :

En changeant a en — a, on aura, pour l'expression de P, dans le cas où le joueur A est le plus faible,

P = a — ai a -h ûTj a' — aj a' -+-... .

On aura donc la véritable valeur de P en prenant la moitié de la somme des deux séries précédentes, ce qui donne

Lorsque a est très petit, on peut s'en tenir aux deux premiers termes de cette série, et Ton a sensiblement

P=: a-f- ûfja*;

on connaîtra donc alors, par le signe de a^, si P est plus grand ou moindre que dans le cas où les adresses sont égales; il sera plus grand si a, est positif, et moindre s'il est négatif.

De ce qu'il ne reste dans la valeur de P que des puissances paires de a, il résulte que le cas de a = o indique toujours un maximum ou un minimum pour cette valeur; mais il est possible qu'elle soit susceptible de plusieurs maxima ou minima, et c'est ce qui aura lieu si la différentielle de P, prise par rapport à a et égalée à zéro, donne pour a une ou plusieurs valeurs positives, comprises entre les limites dans lesquelles a peut être renfermé ; dans ce cas, on cherchera si la supposition de a = o donne le plus grand de tous ces maxima, ou le

plus petit (le tous ces minima; si cela est» on pourra s'assurer que le sort P de A est ou n'est pas plus avantageux que lorsque les adresses sont égales; mais, si cela n'est pas, il sera impossible de prononcer sur cet objet, à moins que de connaître la loi de possibilité des adresses respectives.

Il est facile d'étendre les remarques précédentes à un nombre quelconque de joueurs; supposons, par exemple, i joueurs A, B, C, D, . . ., et que l'on propose de déterminer la probabilité P que les r joueurs A, B, C, . . . gagneront les n premières parties. Il est clair que, si leurs adresses étaient égales, la probabilité de chacun des joueurs pour gagner une partie ou, ce qui revient au même, leur adresse respective

serait \y en sorte que la probabilité cherchée P serait \^)\ mais, s'il

existe une inégalité quelconque entre les adresses des joueurs, en

nommant i— r-^ la plus grande, .^ la deuxième dans l'ordre de

i-ha*'

grandeur, — -. — la troisième, et ainsi de suite, oi) aura d'abord

puisque la somme de toutes ces adresses doit être égale à l'unité.

Si l'on nomme ensuite 5, s\ s", ... les différentes sommes que l'on peut former en ajoutant un nombre r des adresses précédentes, on aura autant de valeurs correspondantes de P, qui seront P = 5", P = /'», V = s^'"p ...; le nombre de ces valeurs est égal à celui des combinaisons de i quantités, prises r k r, et, par conséquent, égal à

o — ^; on aura donc la véritable valeur de P, en divisant

par ce nombre la somme des valeurs précédentes, ce qui donne

«(I — i)(/--a). ..(* — /• -hi)'

Il est aisé de voir que chaque adresse se trouve répétée dans la somme

s -I- 5' -h 5" 4- $'"'{- . . . autant de fois que l'on peut combiner /— i quantités r— I à r — i; d'où il suit que cette somme est indépendante de a, a', a", ... et égale à

Or on prouvera facilement que, dans ce cas, la somme

est la plus petite possible lorsque s = s' = s" = ..., ce qui suppose a = a'= a''=...= o; donc la valeur de P est la plus petite lorsque les adresses des joueurs sont égales, en sorte que l'inégalité de ces adresses favorise celui qui parie que les n premières parties seront

gagnées par les r joueurs A, B, C,

Il est visible que l'on peut faire des remarques analogues sur les jeux dans lesquels on fait usage de polyèdres, tels que le jeu des dés; car, avec quelque soin qu'on ait formé ces polyèdres, il s'y rencontre nécessairement entre leurs différentes faces des inégalités qui résultent de l'hétérogénéité de la matière qu'on emploie et des défauts inévitables dans leur construction. En général, ces remarques ont lieu pour tous les événements dont la possibilité est inconnue et peut varier dans certaines limites; et, si dans la suite nous considérons particulièrement les événements du jeu entre plusieurs joueurs dont les adresses sont inconnues, ce n'est que pour nous rendre plus clair, en fixant les idées sur un objet déterminé.

Il est infiniment peu probable que les adresses de deux joueurs A et B soient parfaitement égales; mais, en même temps que l'on ignore de quel côté se trouve la plus grande ou la plus petite adresse, on ignore également la quantité de leur différence; ainsi, tout ce que l'on peut conclure de la théorie précédente, c'est que le sort de tel ou tel

OEupres de L. — \%. * 5o

joueur est plus favorable que suivant le Calcul ordinaire des probabilités, sans que Ton soit en état d'assigner de combien il est augmenté. Cependant, si Ton connaissait la limite et la loi de possibilité des valeurs de a, rien ne serait plus facile que de résoudre exactement ce problème; car, si l'on nomme q cette limite et que l'on représente par ^(a) la probabilité de a, on voit d'abord que, a devant nécessairement tomber entre o et 9, la fonction ^(a) doit être telle que l'on ait

l'intégrale étant prise depuis a = o jusqu'à a = çr. On multipliera donc par ûfa^(a) les probabilités déterminées par ce qui précède, et, en intégrant ces produits depuis a = o jusqu'à a = 9, on aura les probabilités cherchées; on trouvera de cette manière, pour la valeur de P dans l'article II,

Si, par exemple, "^{ol) est égal à une constante /, en sorte que toutes les valeurs de a soient'également possibles, l'équation JdoL'\>(a) = i

donnera /= -> et Ton aura

La quantité a est une fonction du rapport des adresses absolues des deux joueurs; au lieu donc de supposer la loi de sa possibilité immédiatement connue, il est beaucoup plus naturel de la déduire de celle qui représente la possibilité de l'adresse absolue d'un joueur quelconque. Pour cela, comparons les adresses de tous les joueurs à celle d'un joueur unique, que nous prendrons pour unité d'adresse; et, en représentant par l'abscisse x tous ces rapports, concevons, élevées sur chaque point de l'abscisse, des ordonnées j" proportionnelles au nombre supposé infini de tous les joueurs dont l'adresse est x : nous aurons ainsi une courbe renfermée entre les limites h et h\ h étant la plus petite adresse et A' la plus grande; et il est visible que le rapport

de l'ordonnée j" à la somme de toutes les ordonnées, ou» ce qui revient au même, à l'aire entière de la courbe, exprimera la probabilité que l'adresse d'un joueur quelconque est x. Cela posé, pour en conclure la loi de possibilité des valeurs de a, soit y = (p (a?), et nommons a l'intégrale jcteç (a?), prise depuis a? = A jusqu'à a? = Â'; soient, de plus, X l'adresse de celui des deux joueurs A et B qui est le plus faible, et ic 4- w celle du joueur le plus fort; on aura

ce qui donne

iH-a j? 4- a = X.

Or la probabilité que l'adresse de l'un des joueurs étant a?, celle de l'autre sera x-h u, est égale au doublé du produit des probabilités de a? et de a? + t/, et par conséquent égale à

. ao(a?)©( ^x)

on aura donc

pour la probabilité entière de a, l'intégrale étant prise depuis x = h jusqu'à X = "~ h\ Quant à la limite q de a, on observera que, h étant la plus petite adresse et h' La plus grande, on a

ni — q

d'où l'on tire

Lorsque la fonction <f(x) est inconnue, il est impossible de connaître exactement le sort des deux joueurs A et B, et l'on est réduit à choisir les fonctions les plus vraisemblables. Nous nous occuperons

a96 MÉMOIIIË SUR LES PROBABILITÉS.

de cet objet dans la suite; mais auparavant nous allons exposer une méthode générale pour déterminer le sort respectif d'un nombre quelconque de joueurs, lorsqu'on ne connaît touchant leurs adresses que la loi de leur possibilité: cette matière présent^ quelques difficultés assez considérables d'analyse, dont la solution est renfermée dans celle du problème suivant.

Problème. — Soient n quantités variables et positives /, /, , /j, . . . , ^«-i » dont la somme soit s et dont la loi de possibilité soit connue; on propose de trouver la somme des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction donnée 4'(^» t^j t^^ .. .) de ces variables^ multipliée par la probabilité correspondante à cette valeur.

Solution. — Supposons, pour plus de généralité, que les fonctions qui expriment la possibilité des variables /, /|, z^, ... soient discontinues, et représentons par q la plus petite valeur de /; par <p(/) la possibilité de /, depuis t=^ q jusqu'à t = q\ par ç'(0 "+" ?(^) ^^ P^^' sibilité, depuis / = ^ jusqu'à / = q'*\ par ç"(0 "+" ?'(^) "+" T(0 cette possibilité, depuis t^=(f jusqu'à t = q'\ et ainsi de suite jusqu'à / = Qo. Désignons ensuite les mêmes quantités relatives aux variables t^, ^2» ^3» • • • psir les mêmes lettres, en écrivant au bas les nombres i, 2, 3, . . ., en sorte que ^i, y,, q^^ ... expriment les plus petites valeurs de /, , ^2, /,,..., que <p, (/, ) exprime la possibilité de /, , depuis /, = y, jusqu'à t^ = q\^ et ainsi du reste; dans cette manière de représenter les possibilités des variables, il est clair que la fonction ç(/) a lieu depuis t = q jusqu'à / = oo, que la fonction (p'(0 a lieu depuis t = q' jusqu'à ^ = Qo, ainsi de suite. Pour reconnaître les valeurs de /, t^, /a, ..., lorsque ces fonctions commencent à avoir lieu, nous multiplierons ç(^) par f'^ <p'(r) par /^; ?i(/|) par /^t, ... ; les exposants des puissances de / qui multiplient chaque fonction indiqueront alors ces valeurs; il suffira ensuite de supposer l=i dans le dernier résultat du calcul : c'est à ces artifices très simples que nous devons la facilité avec laquelle nous allons résoudre le problème proposé.

La probabilité de la fonction ^(t, /,, /j, ...) est évidemment égale au produit des probabilités de ^, /,, ^2, ..., en sorte que, si Ton substitue pour / sa valeur s — i^ — t^ — ... que donne l'équation

le produit de la fonction proposée par sa probabilité sera

On aura donc la somme de tous ces produits : i^ en multipliant la quantité précédente par dt^ et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont ^, est susceptible; 2^ en multipliant cette intégrale par r/z^ et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont/.j est susceptible, et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable /^-i ; ï^ais ces intégrations successives exigent quelques attentions particulières.

Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que

En le multipliant par dt^ , il faut l'intégrer pour toutes les valeurs possibles de /, ; or il est clair que la fonction (f^'^(s — - /, — /^ — . . .) n'a lieu que lorsque / ou 5 — /| — /a — . . . est égal ou plus grand que g^'^'; la plus grande valeur que /, puisse recevoir est donc 5— ^^'^ — /^ — ^3 — • • • • De plus, 9^f'(^) n'ayant lieu que lorsque ^, est égal ou plus grand que y'f , cette quantité est la plus petite valeur que /< puisse recevoir; il faut donc prendre l'intégrale dont il s'agit depuis /, = ^*f^ jusqu'à /, = 5 — 5^^'^ — /a — /, — ... ou, ce qui revient au même, depuis /, ^ q^p= o jusqu'à /, - ^f> = 5 -^ f^^ q^p-^ t^^ .. . .

On trouvera de la même manière que, en multipliant cette nouvelle intégrale par rf/j, il faudra l'intégrer depuis t^ — q'p= o jusqu'à

En continuant d'opérer ainsi, on arrivera à une fonction de

s^g(i)^qf-.qf> —

dans laquelle il ne restera aucune des variables /, /,, /,, — Cette fonction doit être rejetée si ^ — y^'^ — ^'f' — ... est négatif; car il est visible que, dans ce cas, le système de fonctions ç^'XO» ?r(^)» îSrX^a)» ... ne peut être employé; en effet, les plus petites valeurs de /,, /a, ... étant, par la nature de ces fonctions, égales à ç^^^ q^^\ ..., la plus grande valeur que / puisse recevoir estf — y^f — ^!j"* — ...;

partant, la plus grande valeur de / — q^^ est s—q^^ — y^f * — ^'f ' —

Or la fonction ç^'X/) ne peut être employée que lorsque t ^ q^^ est positif.

Au lieu de rejeter la fonction dont il s'agit, il est égal de supposer alors dans tous les termes de cette fonction s — ^^'^--^,'*— ••• constamment égal à zéro; car, en ne considérant, par exemple, que les trois variables /, /«, z^, la dernière intégrale relative à dt^ devant être prise depuis /, — ^if * = o jusqu'à

il est visible que cette intégrale sera nulle toutes les fois que Ton supposera

Il résulte de ce que nous venons de dire une méthode très simple pour résoudre le problème proposé.

Que l'on substitue : i** au lieu de /, ^ h-m dans ?(/)» ^'H- " dans ?'(^)» ^"-^^ dans ç''(^), ...; 2** au lieu de /«, q^ + u^ dans Çi(^)» q\+u^ dans Ç|(/|), ...; 3® au lieu de /j, ^j-f- w^ dans Çj(^a), ...» et ainsi de suite, les quantités

qui représentent les probabilités de i^, /«, ..., se changeront ; la pre-

miëre, dans une fonction de </; la seconde» dans une fonction de

w,, Nous désignerons ces fonctions par n(M), II, (W|), ll2(u^), —

Que Ton change ensuite, dans 4'(^ ^o '2» •••)» ^ ^^ A-f-w, /, en >t, -h M« , . . . , on aura une fonction de m, i/| , Wa, . . . , que nous représenterons par r(i/, 1/49.1/2» . . .)î ^^'^ posé, on prendra l'intégrale

rt/Uir(5— wj— a,— . . ., Mi> ^19 . . .)n(5 — Wi— Wf— . . .)ni(i/|)n,(M,). . .

depuis u^ = o jusqu'à w, = 5 — //^ — m, — . . . .

On multipliera cette première intégrale par du2f et on l'intégrera depuis 112 = o jusqu'à w^ = f — w, — . . . ; on multipliera cette seconde intégrale par rfi/,, et on l'intégrera depuis m, = o jusqu'à i/, =f — w^ — . . . . En continuant ainsi» on arrivera à une fonction de s seule» que nous désignerons par 1(^)» et cette fonction sera la somme demandée de toutes les valeurs de ^(t, /|, ^3» • . .)» multipliées par leurs probabilités respectives; mais» pour cela» il faut avoir soin de changer» dans un

terme quelconque multiplié par r '^* '^* "^'"» k en ^^'\ k^ en y^f ^ k^ en q[p, ... ; de diminuer s de l'exposant de / et» par conséquent» d'écrire, au lieu de ^ , 5 — çr<'^ — q^(^ — q^p — ... ; de faire cette dernière quantité égale à zéro toutes les fois qu'elle sera négative; enfin» de supposer 1=1.

Si r(i/, w,, Mo» • ••)» n(M), ni(M|)» n,(tt2), ... sont des fonctions rationnelles et entières des variables u^ K|» m,» ..:» d'exponentielles, de sinus et de cosinus, toutes ces intégrations successives seront possibles, parce qu'il est dans la nature de ces quantités de ne reproduire par les intégrations que des quantités du même genre; dans les autres cas, ces intégrations pourront n'être pas possibles» mais la méthode précédente réduit alors le problème aux quadratures des courbes.

Le cas de fonctions rationnelles et entières offre quelques simplifications qu'il n'est pas inutile d'exposer. Pour cela, soit ufuflu^... un produit quelconque des variables m, ii,, i/,, ...; si, après y avoir

VOO MEMOIRE SUR LES PROBABILITES.

substitué pour u sa valeur s — w, — Wa — . . . , on le multiplie par du^ , il est facile de s'assurer que l'intégrale

fdu^ {s — Wj — Ui — ... )' u\ mÇ . . .

prise.depuis //, = o jusqu'à w, = 5 — i/^ — ... est

en multipliant cette intégrale par du^ et en l'intégrant depuis u^=o jusqu'à 1/2 = 5 — 1/3 — . . . , on aura pareillement

et ainsi de suite; donc, si l'on suppose

El ( «1 ) = Ai -h Bj «1 H- Cl «î H- . . . ,

n,(//,)=:A,H-B,l/,H-C,ttî-h. . .,

et que l'on désigne par Hm'm'j'w^ ^"^ terme quelconque de

la partie correspondante de 7(5) sera

1.2.3. . .{.1.2.3. . .r. 1 .2.3. . .1''. . .Hs*"*"'"^*'-*^''"^--* x[A +(« + 1)8 * + (*+i)(i +a)C 5»4-...] (B) ^ x[A,-+-(»'H-i)B,i-+-(j'+i)(t'-ha)C,5'-i-...]

pourvu que, dans le développement de celte quantité, au lieu d'une puissance quelconque c de s, on écrive =

On aura ensuite la partie correspondante de la somme entière des valeurs de ^{t^ t^^i^^,, .), multipliées par leurs probabilités respectives.

en changeant un terme quelconque, tel que EXl^^^ en HX(* — [/.y, et en substituant dans H, au lieu de k^ la partie de Texposant (x qui est relative à ^; au lieu de k^, la partie relative à /« et ainsi du reste.

Si, dans la formule (B), on suppose H = i et o = i = i' = i" = . . . , on aura la somme des valeurs de Tunité, multipliées par leurs probabilités respectives : or il est visible que cette somme, n^étant autre chose que la somme de toutes les .combinaisons dans lesquelles l'équation

a lieu, multipliées par leurs probabilités, exprime conséquemment la possibilité de cette équation elle-même. Si, dans les hypothèses précédentes, on suppose de plus que la loi de. possibilité est la même pour les r premières variables f , /< , . . . , /^, , et que pour les /i — r dernières elle soit encore la même, mais autre que pour les premières, on aura

A — — A| — — • • • — — A|*— ify

B ^^^^ B| =... = Bfi— 1,

Ar — A|^^| — ... — An—i, Dr = Bi.4-1 = ...=!: B,|i,

et la formule (B) se changera dans celle-ci

( 5*-*X (A -hB 5H-2C5* H-...)»-'' (C)

I X (Ar4-Br5 4-2Cr5*-h...)'*;

cette formule servira à déterminer la probabilité que la ^omme des erreurs d'un nombre quelconque d'observations dont la loi de facilité est connue sera comprise dans des limites données, ce qui peut être utile dans plusieurs circonstances, et particulièrement lorsqu'il s'agit de prévoir le résultat d'un nombre quelconque d'observations. Comme ce problème est d'ailleurs le plus simple auquel on puisse appliquer la méthode précédente, il est très propre à l'éclaircir, et, dans cette vue, nous allons considérer les exemples suivants.

Œupre» dt L. — IX. 5l

Supposons /ï — I observations dont les erreurs puissent s'étendre depuis — h jusqu'à -4- g" et que, en nommant z Terreur de la première, sa facilité soit exprimée par a -f- A^ -H cz^\ supposons ensuite que cette facilité soit la même pour les erreurs 5,, z^y ..., z^^^ des autres observations, et cherchons h probabilité que la somme des erreurs de ces observations sera comprise entre les limites/^ et/> h- e.

Si Ton fait

il est clair que /, ^» /^t . • . seront positifs et pourront s'étendre depuis zéro jusqu'à h-^- g\ de plus, on aura

^ H--5i4-^i4-. . .4- Zn-\'= ^ 4- ^|-t- ^i-h. . .4-^1,-1— (/l — l)A.

Donc, la plus grande valeur de la somme 5 4- 5, 4- ... 4- 5«| étant, par la supposition, égale à /? 4- e, et la plus petite étant égale à p, la plus grande valeur de / 4- /, 4- . . . 4- /«-, sera {n — \)h 4- ^ 4- e, et la plus petite sera {n — \)h 4-/>; en faisant ainsi

(/l — l)A4-/>4-e = 5 et ^4-fi4-...4- r„-., = 5 — ^«»i,

/^, sera toujours positif et pourra s'étendre depuis zéro jusqu'à e. Cela posé, si Ton applique à ce cas les formules des deux articles précédents, on aura

d'ailleurs, la loi de facilité de l'erreur z étant a 4- bz 4-C5', on en conclura la loi de facilité de /, en changeant 2 en / — A; soit

on aura

a' 4- b't-^ct^

px)ur cette facilité : ce sera donc la fonction ^{t)\ mais, comme, depuis t = h -h ^jusqu'à / = X), la facilité des valeurs de / est nulle par l'hy-

pothëse, on aura ce qui donne donc, si l*on fait

la quantité que nous avons nommée li(u) dans l'article Vil sera ici et l'on aura

ni(i/t), n,(ii,), ..., n,,(i/,»,),

en changeant, dans cette quantité, u successivement en K|, k^» ....

Quant à la variable t^-n on observera que la possibilité de l'équation

étant, quel que soit [/., égale au produit des possibilités de ;s, ^i, . . . , ^/i-2» la possibilité de l'équation

sera égale au produit des possibilités de /, /|, ..., z^.,; mais cette même possibilité est évidemment égale au produit des possibilités de ^. ^, ...» ^ii-i. La loi de possibilité de /^-i est donc constante et égale a l'unité, et, comme cette variable ne doit s'étendre que depuis /„, = o jusqu'à /«! = e, on aura

Çn-l = 0> Ç'a-i = ^f 9n-l ( ^-1 ) = I » 9«-i ( ^«-1 ) -+- (p«-i ( ^„-i ) = O,

partant

d'où il est aisé de conclure

n.-iCii^-t)^!'-/';

kOh MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.

la formule (C) de l'article précédent se changera conséquemment dans celle-ci

Soit

(a' 4- b's H- ac5»)»-» = a(») 4- 6^»)* -h c««)5«-4- . . . ,

(a'4- 6'5 4- ac5«)»-«(a''H- ô''* 4- 2C5«)«= at«)-h 6<«)5-h C«»5«4-. . .,

et cette dernière formule prendra la forme suivante

— (/i — i)/A^^ (aW*«-«4-6^*Ji«4-c(«>*»^*4-...) 4- (/l — l)/*+^-"(a(«)5*-*4-6f*>**4-C<«>5»+*4-...)

4- : Ll ilïh+tf (eïW5*-*4-. ..)

on en conclura la probabilité cherchée en y changeant un terme quelconque tel que 'kl^si^ en -^^ — r^* ^® ?^* donne, pour cette probabilité, l'expression suivante

ad) [^-t — (5 — e)»-> ] 4- — [5»— (5 — e)»]

cd) 4- -~^ r [«*^* — (5 — e)*+* ] 4- . . .

— (/i — i) I aW [(5 — A — ^)»-t - (5 — A — ^ - e)«-« ]

en observant de rejeter les termes multipliés par (s — ^y, dans les-

quels [/. est plus grand que s. On peut, au moyen de cette formule, résoudre un problème que je me suis proposé ailleurs, sur les inclinaisons des orbites des comètes; en supposant toutes les inclinaisons à Técliptique également possibles, il s'agissait de déterminer la probabilité que l'inclinaison moyenne des orbites de n — i comètes sera comprise dans les limites 0 et 0' ou, ce qui revient au même, que la somme de leurs inclinaisons sera comprise dans les limites (n — i)0 et (n — i)0'. En nommant /, /«, /,, . . . , t^^ ces inclinaisons, comme elles peuvent s'étendre depuis zéro jusqu'à 90^, on aura

/z=o et ^ = 90® ou ->

u exprimant le rapport de la demi-circonférence au rayon ; de plus, leur possibilité dans cet intervalle étant constante, la fonction a' 4- b't -h ct^ se réduit à la constante a", d'où il est aisé de conclure

D'ailleurs, la valeur de / étant nécessairement comprise dans les limites o et-> f^'^^ = '» l'intégrale étant prise pour toute l'étendue

de ces limites, d'où l'on tire 0^== -1 la formule précédente donnera ainsi pour la probabilité demandée

OÙ l'on doit observer que* = (/i — i)0'ete = (/i — i)(0'— 0).

Zf ^if ^39 ••• représentant toujours les erreurs de /i — i observations, supposons que-la loi de facilité, tant de l'erreur positive z que

im MÉMOIRE SLR LES PROBARILITÉS.

f\f. Orrenr négatÎTe — s, soil A — ^, et qoe A et — A soient les limites de celte erreur; ^opposonà, de pioâ, qoe cette loi soit la même poor les ^rreum ^t* ^t* • — * ^«^ des aatres obsenratioDs, et que Tod cherdie la probabilité qoe la âomme des enreors sera comprise dans les limites^ et/>4-e.

Si Ton fait s = / — A, s, = /, — A, . . . , il est clair que /, /,, ... seront toojonrs positifs et pourront s*étendre depuis zéro jusqu'à 2A; la loi de facilité de /, depuis / = o jusqu^à / = A, sera exprimée par i; cette même loi, depuis / = A jusqu'à / = 2 A, sera 2A — i; elle sera nulle depuis / = 2A jusqu'à / = oc. On aura ainsi dans ce cas

d'où Ton tire

. 9'(0 = îi^ — af, f^\t)=t —a A.

La fonction que nous avons désignée par n(i£) dans l'article VU sera donc u(\ — t^y^ et Ton aura les fonctions

, n,(tt,), .... n„,(i/„,)»

en y changeant u successivement en Ui» i/,, . . . , Ki,., • Présentement, on a

donc la somme des erreurs js, 5, , ... devant, par l'hypothèse, être renfermée dans les limites/? et/? + ?, la somme des valeurs de 1, /« » /s» . . . sera comprise dans les limites {n — \)h -hp -\-e et (n — i)A -h/?, en sorte que» si l'on fait

ii^, pourra s'étendre depuis zéro jusqu'à e» et Ton prouvera» comoie

dans l'exemple précédent, que sa facilité doit être supposée constante et égale à l'unité dans cet intervalle, et qu'elle doit être supposée nulle depuis ^n-i = ^ jusqu'à /««, = oo; d'où l'on conclura, comme dans ce même exemple,

La formule (C) de l'article VIII deviendra ainsi

et l'on aura la probabilité cherchée en changeant dans le développement de cette quantité un terme quelconque tel que \l^s*"'^ en

— T~/ V ^® fl^* donne pour l'expression de cette probabilité

1.2. 3. ..(2/1-2] j ^ (^ILlZ^lSllZr.^ [(5 ». 3/i)in-« (, - 2 A - e)»—»]

en ayant soin de rejeter les termes multipliés par (s — (/.)*'*-* lorsque 5 — (1. est négatif.

Je dois observer ici que M. de la Grange a déjà résolu le problème où l'on se propose de trouver la probabilité que la somme des erreurs de plusieurs observations sera comprise dans des limites données, lorsque la loi de facilité de ces erreurs est exprimée par une fonction rationnelle et entière de ces erreurs, d'exponentielles, de sinus et de cosinus (voir le Tome V des Mémoires de Turin, p. 221); sa méthode est très ingénieuse et digne de son illustre auteur; mais la précédente a, si je ne me trompe, l'avantage d'être plus directe et plus générale, en ce qu'elle réduit la solution du problème aux quadratures des courbes, quelle que soit la loi de facilité des erreurs des observations.

Voyons maintenant Tusage que l*on peut faire de la théorie précédente dans la solution des problème^ relatifs à un nombre /i — i de joueurs dont on ne connaît que la possibilité des adresses. Soient

^» ^9 • •• 9 ^n-% l^s adresses absolues des joueurs; Af A|9 ^s» • • • l^s plus petites valeurs de /, /« , ... ; ^'» A'if ^i» • • . leurs plus grandes valeurs;

si Ton fait et

la variable /«., pourra s^étendre depuis zéro jusqu'à

A'— Ah- A', — A, H-...;

la loi de sa possibilité doit être supposée constante et égale à Funité dans cet intervalle, et nulle au delà jusqu'à /^., = c»; de plus» il est clair que les adresses respectives des joueurs seront

/ . tt t

S — ffl-i s — ^n-X S — tn-\

On cherchera donc, par les méthodes connues de l'analyse des hasards, la solution du problème proposé, en partant de ces adresses respectives, et Ton arrivera à un résultat qui sera une fonction de

En y substituant, au lieu de ^ , sa valeur, cette fonction sera celle que nous avons désignée par ^(/, /«, /a, . . .) dans le problème de l'article VU; il ne s'agira plus ensuite que de chercher par la méthode de ce problème la somme de toutes les valeurs dont cette fonction est susceptible, multipliées par leurs probabilités, et cette somme sera le résultat demandé : il ne reste plus, comme on voit, dans ce genre de

problèmes, que les difficultés inévitables de Tanalysc, difficultés qui deviennent beaucoup moindres si Ton suppose que la loi de possibi* lité des adresses est la même pour tous les joueurs.

Cette loi ne peut être connue que par une longue suite d'observations, et le plus souvent les circonstances ne permettent pas de les faire; on ne peut suppléer a cette ignorance que par le choix des fonctions les plus vraisemblables; l'analyse des hasards, qui n'est en ellemême que l'art d'apprécier les vraisemblances, doit donc nous guider dans ce choix : examinons ce qu'elle peut nous fournir de lumière sur cet objet.

Nous observerons d'abord que, s'il est difficile de connaître par l'observation la loi de facilité des adresses des joueurs, il est beaucoup plus aisé d'en connaître les limites; cai^ supposons que l'on ait observé la plus grande inégalité de ces adresses, et que l'on ait trouvé que le rapport de l'adresse du joueur le plus fort au joueur le plus faible est m, en nommant h la plus petite adresse des joueurs et h' la plus

grande, on aura

or, si l'on nomme i l'adresse moyenne et x l'excès de h! sur cette adresse, on aura

d'où l'on tire

partant

hz=i et A'=

Maintenant, la loi de possibilité des adresses étant nulle au delà des

QFsUvreide L. — IX, 52

limites h et h\ il est très vraisemblable qu'elle va en croissant depuis ces limites jusqu'au milieu de Tintervalle qui les sépare et qu'elle est la même de chaque côté de ce milieu. Voilà donc une condition à laquelle on doit assujettir la fonction dont on fera choix; mais cette fonction reste encore très indéterminée, et, comme, parmi celles qui peuvent satisfaire à la condition précédente, on n'a aucune raison d'en préférer une, il faut prendre une fonction moyenne entre toutes ces fonctions : la question est ainsi réduite à déterminer cette fonction moyenne.

Pour cela, soient 2a l'intervalle compris entre les deux limites et a? la distance du milieu de cet intervalle à un point quelconque pris de l'un ou de l'autre côté de ce milieu ; si l'on élève à ce point une ordonnée^, qui représente la probabilité de a?, on aura une courbe renfermée entre les deux limites, et, la valeur de x devant nécessairement tomber dans cet intervalle, la surface de cette courbe sera égale à l'unité, en sorte que, depuis le milieu jusqu'à Tfine des limites, cette surface sera {\ on peut donc concevoir cette quantité ^ partagée dans un nombre infini de parties égales distribuées au-dessus des différents points de l'intervalle a; par la condition du problème, cette répartition doit être telle qu'il y ait d'autant moins de ces parties au-dessus de chaque point qu'il s'éloigne davantage du milieu; toutes les combinaisons dans lesquelles cela existe sont également admissibles, et l'on aura l'ordonnée moyenne qui en résulte pour l'abscisse j?, en prenant la somme de toutes les ordonnées y relatives à chaque combinaison et en la divisant par le nombre de ces combinaisons.

Supposons d'abord le nombre des points de l'intervalle a fini et égal à n, et nommons s le nombre infini de parties qu'il faut distribuer au-dessus de ces points, en observant la condition précédente; soient, de plus, z l'ordonnée relative au n'*™* point; 5 -*- a, l'ordonnée relative au {n — i)i«»n« point; 5 -+- 5, h- 5^ l'ordonnée relative au {n— 2)""'® point, et ainsi de suite, en sorte que l'ordonnée relative au premier point ou au point du milieu de l'intervalle 2a soit jî -4- s, -f- . . . -h 5fl«, : il est visible que 5, 5,, 5,, . . . , j5^«, seront né-

MÉMOIRE SUR LES PRORABILITÉS. Ul

ccssairemcnt positifs et que l'on aura

Soit

Téquation précédente deviendra

les variables /, /,, ^2» • • • pourront s'étendre depuis zéro jusqu'à s, et l'ordonnée relative au r'*"* point sera

Il faut conséquemment déterminer la somme de toutes les variations que peut recevoir cette quantité et la diviser par le nombre de ces variations : or il est visible que ce problème rentre dans celui de l'article VII; que la quantité que nous y avons nommée 4'('»^«»^2» •••) est ici

que les quantités q et q' sont ici o et s, et que la loi de facilité des variations de t doit être supposée égale à une constante b et la même que pour /«, t.^, On aura donc, dans le cas présent,

1,. K K* Km—r U Ut iifg^m

n(w) = ni(tf») = n,(ao=...=6(i-/');

mais, comme il faut distinguer les limites o et^, qui appartiennent aux variables /, /, , . . . , t„^rf afin d'assigner à i, k^, . . . , k^^^ les valeurs qui leur conviennent, nous représenterons par c\ s\ &\ s\ d" , s"^, ... ces limites. Cela posé, la formule (B) de l'article VIII donnera pour l(s)

k Al k^

i .2.3, , An — i)

Il faut ensuite, dans le développement de cette quantité, substituer pour k la partie de l'exposant de / qui dépend de c et de s'\ pour ^i , la partie de cet exposant qui dépend de c" et de s" ^ etc.; diminuer s de l'exposant entier de /, et rejeter ce terme toutes les fois que cet exposant, ainsi diminué, sera négatif; enfin supposer

La quantité précédente se réduira ainsi à cette formule très simple

h'^a^ /il I I \

en divisant cette quantité par le nombre de toutes les combinaisons, qiH ne peut être une fonction de /î, on aura, pour l'ordonnée moyenne correspondante au r*^'°* point,

N(i + L+... + iV- \n n — I r /

N étant fonction de n.

Supposons maintenant que les nombres /i et r deviennent infinis, que le r*^"* point réponde à l'abscisse x et le /î*^™*^ point à l'abscisse a, on aura, comme l'on sait,

II I , , . n . a

- H h. . .-h - ~ log/i — logrz^ log- — log~:

donc l'ordonnée moyenne j qui répond à l'abscisse a? estNlog—; on

déterminera N, en observant que l'on doit avoir y Neirlog- = -» l'intégrale étant prise depuis x = o jusqu'à a: = a, ce qui donne

partant

I , a y— — log-

Il faut observer que cette équation doit être supposée la même, x étant positif ou négatif, ce qui revient à supposer ici les logarithmes des

quantités positives égaux aux logarithmes des quantités négatives, c'est-à-dire log(i. = Iog(— (/.).

Telle est Téquation dont il faut faire usage lorsqu'on n'a, relativement à la possibilité des valeurs de a?, d'autres données, si ce n'est qu'elle est d'autant moindre que ces valeurs sont plus grandes : or c'est ce qui a lieu dans un grand nombre de circonstances. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse du véritable instant d'un phénomène observé par plusieurs observateurs; chacun d'eux peut aisément fixer la plus grande erreur dont son observation est susceptible, soit en plusy soit en moinsy en prenant pour cette limite la moitié du plus grand intervalle qu'il peut supposer entre deux observations semblables, sans les rejeter comme mauvaises; cet intervalle est ce que nous avons nommé ia\ il dépend de l'adresse de l'observateur, de la bonté de ses instruments et de la précision dont l'observation dont il s'agit est susceptible, et il doit être supposé le même pour tous les observateurs, si l'on n'a aucune raison de préférer, sous ce point de vue, une observation à une autre. Maintenant, il est naturel de penser que les mêmes erreurs, en plus et en moins, sont également probables et que leur facilité est d'autant moindre qu'elles sont plus grandes; si l'on n'a aucune autre donnée, relativement à leur facilité, on retombe évidemment dans le cas du problème précédent : il faut donc supposer alors la possibilité, tant de l'erreur positive a?, que de l'erreur négative — a?, égale à — log -; et c'est cette loi de possibilité dont il faut

partir, dans la recherche du milieu que l'on doit choisir entre les résultats de plusieurs observations.

Lorsqu'il s'agit des adresses des joueurs, on a (art. XII) ia = A'— h ; l'adresse / d'un joueur quelconque est égale à i =h a? : la possibilité de tf depuis / = A jus(fu'à / = h\ sera donc représentée par

kik MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.

pourvu que l'on fasse les logarithmes des quantités négatives ^aux aux logarithmes des quantités positives. En appliquant à ce cas les formules de l'article VII, on aura

9'(0-^?(0-=o ou <^\i)=z j—j^^log—-—^;

on doit supposer d'ailleurs cette loi de possibilité la même pour les adresses de tous les joueurs : on aura ainsi toutes les données nécessaires à la solution des problèmes que Ton peut se proposer relativement à un nombre quelconque de joueurs; et, en appliquant à ces données l'analyse de l'article VU, on parviendra au seul résultat qui convienne à l'état d'ignorance où nous nous supposons relativement à la facilité des adresses des joueurs.

La théorie précédente suppose que l'on n'a aucune raison d'attribuer à Tun des joueurs plus d'adresse qu'aux autres, ce qui est vrai lorsque le jeu commence; mais, à mesure que les parties se succèdent et que les événements du jeu se multiplient, on acquiert de nouvelles lumières sur leurs forces respectives, en sorte qu'elles seraient exactement connues si le nombre des parties était infini, comme nous le démontrerons dans la suite : les adresses des joueurs et, plus généralement, les différentes causes des événements sont ainsi liées à leur existence par des lois qu'il est très important de bien connaître, et, sous ce point de vue, on ne peut douter que les jévénements passés n'influent sur la probabilité des événements futurs. Examinons cette influence et la manière dont on doit en tenir compte.

Pour cela, nommons E l'événement déjà passé; e l'événement futur dont on propose de calculer la probabilité P; E -f- e un événement composé de l'événement E arrivant le premier et de l'événement e

arrivant ensuite. Si l'on détermine par la théorie précédente et sans avoir égard aux événements passés la probabilité de l'événement E et celle de l'événement E h- e; que l'on nomme V la première de ces probabilités et (^ la seconde, il est clair que cette dernière probabilité (^ sera égale à la probabilité de l'événement E, multipliée par la probabilité cherchée P, que, E ayant déjà eu lieu, l'événement e lui succédera; on aura ainsi PV= ^, ce qui donne

La méthode précédente s'applique donc également au cas où l'on a égard aux événements passés, et il n'en résulte qu'un calcul plus composé.

Lorsque la possibilité des événements est connue a priori et par la nature même des causes qui les produisent, comme la possibilité d'amener une face donnée d'un dé dont la matière est homogène et dont les faces sont parfaitement égales, la probabilité v de l'événement E H- e se détermine en calculant séparément les probabilités de E et de e, et en les multipliant l'une par l'autre, en sorte que la valeur de P est égale à la probabilité de e, II suit de là que les événements passés n'ont alors aucune influence sur la probabilité des événements futurs; on peut s'en assurer d'ailleurs, en observant que, quels que soient les événements déjà arrivés, leur possibilité absolue reste toujours la même, ce qui rend la considération du passé entièrement inutile lorsque cette possibilité est exactement connue; mais il n'en* est pas ainsi quand elle ne l'est pas; car il est visible que les événements passés doivent rendre plus ou moins probables les différentes valeurs qu'on peut lui supposer, suivant qu'elles leur sont plus ou moins favorables. Cette remarque nous conduit naturellement à déterminer la probabilité des causes prise des événements.

Supposons qu'un événement donné ne puisse ôtre produit que par les n causes A, A', ..., A^""'^; soient x la probabilité qui en résulte

pour IVxistence de A: jc' celle de FexisteDce de A'; sf celle de l'existence de A"^, etc. Si Ton nooiine a^d ^cC^ ... les probabilités que les causes A, A\ A'', . . ., étant supposées exister, produiront Tévénement dont il s*agity il est clair que la probabilité d'un second événement semblable au premier sera égale au produit de a par la probabilité x de la cause A, plus au produit de à par la probabilité sf de la cause A% plus etc.; d'où il suit que Ton aura

ajt — a'x' — a' j' — . . .

pour cette probabilité; on trouvera, de la même manière,

pour la probabilité de deux événements consécutifs semblables au premier;

pour la probabilité de trois événements consécutifs semblables, et ainsi de suite. On aura, par l'article précédent, ces mêmes probabilités, en chercbant a priori les probabilités de deux, de trois, de quatre, etc. événements consécutifs, et en les divisant par la prob*abilité du premier; or la probabilité d'un premier événement est a ou a\ ou o^, etc. suivant que la cause A ou la cause A', ou etc. existe; ce qui donne

pour cette probabilité. Pareillement, les probabilités de deux, de trois, etc. événements semblables sont

n it

donc les probabilités qu'un premier événement ayant déjà eu lieu, il sera suivi d'un ou de deux, etc. événements semblables, sont

En égalant ces probabilités aux précédentes, on aura

ax -f- û'j?' -H a* x' -+-. . .zz:

on formera /i — i équations semblables, et, en les combinant avec Téquation

qui résulte de la supposition que Tévénement ne peut être produit que par les n causes A, A\ A% . .., on aura en tout n équations du premier degré, qui serviront à déterminer or, xf ^ af\ . . .; or il est visible que Ton y satisfera en faisant

X'zn

a-ha'-f-a'H-. . .

a 4- a'-f- a'-Jf . . .

d*où il suit que, pour avoir la probabilité de Texistence d'une cause quelconque A^'^ résultante d'un événement donné, il faut déterminer la probabilité a^^ que cette cause ayant lieu produira cet événement, et diviser cette probabilité par la somme des probabilités semblables a, a\ a", . . . relatives à toutes les causes qui peuvent le produire.

Pour appliquer cette théorie et pour faire sentir par un exemple fort simple l'influence des événements passés sur la probabilité de ceux qui suivent, considérons deux joueurs A et B dont les adresses soient inconnues; il est infiniment peu vraisemblable qu'elles seront

parfaitement égales. Soient donc la plus grande et la plus

petite ; si Ton cherche la probabilité P que A gagnera les deux pre-

QRnvres de L, — IX. ^3

iniërcs parties, on aura, par rarticle II,

en sorte qu'il y a de l'avantage à parier i contre 3 que cela aura lieu; mais, si Ton cherche la probabilité que B ayant déjà gagné la première partie, A gagnera les deux suivantes, il est visible que la valeur précédente de P est trop considérable, puisqu'il y a une raison de croire que l'adresse de B est la plus grande. En effet, si l'on considère chaque adresse comme une cause particulière de l'événement, la probabilité

que l'adresse de B est sera, par l'article précédent, -égale k la

probabilité que B ayant cette adresse gagnera la première partie « divisée par la somme des probabilités qu'il la gagnera en ayant successivement les adresses et "~ ; d'où l'on tire pour cette

probabilîié.

Pour déterminer, dans ce cas, la valeur de P, on observera que l'événement que nous avons nommé E dans l'article XIV est ici le gain de la première partie par B, et que l'événement e est le gain des deux parties suivantes par A; la probabilité V de l'événement E est

donc ^.ou "" > suivant que la plus grande ou la plus petite

adresse appartient à B, ce qui donne, en prenant la moitié de la somme de ces deux valeurs, V = ^; pareillement, la probabilité s^

de l'événement E-i-e est égale à l^(^i:ti^y ou à \±l(l:=^\, partant

donc

il y a donc du désavantage à parier i contre 3 que A gagnera les deux parties suivantes, en sorte que l'inégalité des adresses qui, dans le premier cas, favorise celui qui parie conformément au Calcul ordinaire des probabilités, lui est défavorable dans celui-ci.

On trouvera de la même manière que, B ayant déjà gagné la première partie, la probabilité P que A gagnera les n suivantes est

Si a esl peu considérable, on a à très peu près

or, toutes les fois que n surpassera 3, cette quantité sera plus grande

que la probabilité -^ que donne la supposition des adresses égales;

d'où il résulte que, dans ce cas, quoiqu'il soit probable que A est Iç joueur le plus faible, cependant la probabilité qu'il gagnera les n parties suivantes est plus grande que si Ton supposait A et B do forces égales.

Lorsqu'on n'a aucune donnée a priori sur la possibilité d'un événement, il faut supposer toutes les possibilités, depuis zéro jusqu'à l'unité, également probables; ainsi, l'observation pouvant seule nous instruire sur le rapport des naissances des garçons et des filles, on doit, à ne considérer la chose qu'en elle-même et abstraction faite des événements, supposer la loi de possibilité des naissances d'un garçon ou d'une fille constante depuis zéro jusqu'à l'unité, et partir de cette hypothèse dans les différents problèmes que l'on peut se proposer sur cet objet.

Supposons, par exemple, que l'on ait observé que, sur/i-f-y enfants, il est ïïkp garçons et q filles, et que l'on cherche la probabilité P que, sur m + /i enfants qui doivent naître, il y aura m garçons et n filles; si l'on nomme x la probabilité qu'un enfant qui doit naitre sera un garçon, et i — a? celle qu'il sera fille, en désignant