g) i.a.3.../7.i.a.3...çr

i20 MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.

par X, on aura

pour la probabilité que, sur p -hq enfants, il y aura p garçons et q filles; cet événement est celui que nous avons nommé E dans Tarticle XIV. Pareillement, si Ton désigne par y le produit

pour la probabilité que, sur p -hq enfants qui naîtront d'abord, il y aura p garçons et q filles, et que, sur m-^ n enfants qui naîtront ensuite, il y aura m garçons et n filles; cet événement est celui que nous avons nommé E-he dans l'article cité. Maintenant, x étant susceptible de toutes les valeurs depuis x = o jusqu'à a? = i, et toutes ces valeurs étant a priori également probables, il faut, pour avoir la véritable probabilité de E, multiplier 'kxP(i — xy par adx, a étant constant, et prendre l'intégrale \ fax^^i — xydx (depuis 07 = 0 jusqu'à a? = i); la valeur de a se déterminera en observant que, ^r devant nécessairement tomber entre o et i, on a

l'intégrale étant prise depuis x = o jusqu'à a? = i , ce qui donne a = i . On aura semblablement

pour la probabilité entière de l'événement E -*- e; donc la probabilité cherchée P, que, sur m-hn enfants qui doivent naître, il y aura m garçons et n filles, sera, par l'article XIV,

y fxP'^'^{i — x)^-^* dx J xP{i — x)''dx

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis

X = o jusqu'à x = i. Cette condition donne

/XP(l — X)^ dx •=. '- — '- — ' ' ■ y

/>■*-'« ( I - x)^-*-» dx = i.2.3...(y-i-/i) ^

-' (/9 4-/n4-i)(/?-|-m-h2)...(/>H-^H-/nH-/iH-i)

ce qui change l'expression de P dans celle-ci Or on a, comme Ton sait,

l0g(l.3.3. . .1/) =:Alog27r-i- (ll-4-|)l0gM — Cl -

laii 36oc/' *

ce qui donne à très peu près, lorsque u est considérable,

l .2,3, , ,U=:^2Tiu "e"**,

- étant le rapport de la demi-circonférence au rayon et e le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; donc, si Ton suppose p et q de très grands nombres, on aura

/ v/ X / V 1.2.3. . .(flr-H n) (g -^ nf " '

(/?-+-^-+-i)...(/?-h^H-/n-hn) = ^^ ^ j e

En substituant ces valeurs dans l'expression de P, et en observant que l'on a à très peu près .

p -hq -h ni-h n -hï p -^ q -^ m -h n

elle deviendra

/; ^q ^[p -hq -hm-^ n) *

i22 MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.

Si a et ^ sont de très petits nombres par rapport zp et à 9, on a

\o%(p -H fi)'^'= (p -H S) I log/? -j- logn -H ^ j J

donc

partant, si m et /» sont très petits relativement zp et q^ on a

d'où l'on tire

Cette valeur de P est la même qae celle à laquelle on parviendrait en supposant les possibilités des naissances des garçons et des filles dans le rapport depkq; d'où il est naturel de conclure que ces possibilités sont à très peu près dans le même rapport, et qu'ainsi la vraie

possibilité de la naissance d'un garçon est très approchante de — — ; ce n'est pas que, absolument parlant, elle ne puisse avoir une valeur bien différente, mais l'expression — — et celles qui en sont très voisines sont incomparablement plus probables que les autres, et Ton peut énoncer ainsi la conclusion précédente :

Si l'on désigne par 0 une quantité fort petite et par P la probabilité que la possibilité de la jiaissanc.e d'un garçon est comprise dans les

limites — 6 et — h 6, la valeur de P différera d'autant moins

de la certitude ou de l'unité quep et q seront de plus grands nombres,

et l'on peut tellement faire croître /? et y que la différence de P à Tunité soit moindre qu'aucune grandeur donnée, quelque petit que 0 soit d'ailleurs.

On voit par là comment les événements, en se multipliant, nous indiquent d'une manière de plus en plus probable leur possibilité respective; mais, comme le théorème précédent n'est vrai que dans l'infini et que la valeur de P diffère toujours un peu de l'unité lorsque p et q sont des nombres finis, il est intéressant de connaître cette différence, et pour cela nous allons donner l'expression de P par une suite très convergente que nous verrons se réduire à l'unité, lorsque p etq sont infinis, et qui nous fournira, de cette manière, une démonstration directe et rigoureuse du théorème dont il s'agit.

Soient a? la possibilité de la naissance d'un garçon et i — a? celle de la naissance d'une fille; la probabilité que, sur/? + q enfants, il y aura p garçons et q filles, sera, comme on l'a vu dans l'article précédent, égale à TiX^Çi — xy; or, si l'on regarde x comme une cause particulière de

rxP{i — xY dx

cet événement, =^-; sera, par l'article XV, la probabilité de

j xP {i -— x)*i dx

cette cause, pourvu que l'intégrale du dénominateur soit prise depuis j? = o jusqu'à a: = i; donc la probabilité P, que x sera contenu dans

jxP{i — xy dx

des limites données, sera —; > pourvu que l'intégrale du

j xP{} — xydx

numérateuVne soit prise que dans l'étendue de ces limites; la question est ainsi réduite à déterminer, dans ce dernier cas, la valeur de /a?^(i — xydx^ lorsque p etq sont de très grands nombres. Soit y = a?^(i — a:)^, on aura

y dx "=. ^ -: — dy.

et si l'on fait /? = -, y = ^, a étant une fraction extrêmement petite, puisque /9 et q sont très considérables, on aura

ydx-rziaizdy^

k^ MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.

5 éfant égal à ^37— —r—; de là on tirera, quel que soit 5,.

/•vx r . r. i dz .d(zdz) ^dïzdCzdz)^ i

(X) fydx = C + ccyzy-cc^ + cc*-^-a* ^ ^^+...|.

C étant une constante arbitraire qui dépend de la valeur de Jydx^ à Torigine de l'intégrale. Cette suite, qui est d'un grand usage dans ces recherches, se démontre facilement en observant : 1° Que

Jydx z= Jaz dy = ctyz — ajydz;

2*" Que l'équation

ydx=Lazdy donne yzzzoLZ-^^ et qu'ainsi

/, pzdz, zdz r d(zdz)

3« Qae

r d(zdz) r djzdz) . d(zdz) r d[zd(zdz)]

J^ dx " / " dx "^— ^^" dx^ "^J y dx^

ot ainsi de suite.

La série précédente cesse d'être convergente lorsque le dénomina* teur de z est très petit de l'ordre de a, et c'est ce qui a lieu lorsque x

ne diffère de que d'une quantité de cet ordre; il faut donc n'em-

ployer cette série que dans le cas où cette différence est très grande par rapport à a. Mais cela ne suffît pas encore : chaque différentiation augmentant d'une unité les puissances des dénominateurs de z et de ses différentielles, il est visible que le terme de la série multiplié par a' a pour dénominateur celui de js, élevé à la puissance 21 — i; donc, pour la convergence de cette suite, il est nécessaire que a soit beaucoup moindre, non seulement que le dénominateur de s, mais encore que le carré de ce dénominateur.

Il suit de là que la suite (X) donnera, par une approximation rapide.

l'intégrale fydœ prise depuis a; == o jusqu'à x = —^ 6, pourvu

que a soit beaucoup plus petit que 0^; et si Ton observe que l'on a 7 = o et s = o lorsque a? ~ o, on trouvera, pour la valeur de fydx, dans ce cas,

Cette suite a Tavantage de donner les limites entre lesquelles la valeur de fydx est resserrée; en effet, cette valeur est moindre que le premier terme et plus grande que la somme des deux premiers termes*. Pour le démontrer, nous donnerons à z cette forme

(l-h|X)« l-t-jX (l-Hfx)«[l — (H-fX)x]

et nous aurons

, dx UL dx

dz = h '^