H fx) 0]P^> (i - -^ ôj

sur quoi Ton doit observer que la quantité

[i-(n.fx)ô]p(i-f-i^^)

est à sDn maximum lorsque 6 = 0; d'où il suit que la plus grande valeur du facteur

-4- [i -4- (i -h fx) 0]/»-^-» i\ — l^tJf ôV"^*

est très près de 2, et qu'il est beaucoup moindre pour peu que 0 soit plus grand que zéro.

Dans la question présente, ce facteur est toujours extrêmement petit; pour le faire voir, nous mettrons la quantité

sous cette forme

et nous observerons que, 6 étant fort petit, on a, par des suites conver-

gentes,

iog[i--(n-H)9]=-(i-t-fii)0-^(i + f*)'e'-i(i-H,*)»ô» -...,

d'où, en substituant au lieu de/>, -> et au lieu de q, ^> on tire

log[,-(, + ^)9]/.^, + i±if9J

_____ (l-f-fJL)' B^ (fx~i)(i-f-p)* ^

partant

|t a s (US a

0^ étant, comme nous l'avons supposé, beaucoup plus grand que a, et e, logarithme hyperbolique de l'unité, étant plus grand que 2, il est clair que le second membre de cette équation est très petit et décroit très rapidement lorsque a diminue; d'où il suit que la quantité

[l-.(,4-fx)0]'-»(l4--î^0y

est elle-même très petite, ce qui est également vrai de la quantité

[1 ^ (, 4. ^)0]p^i ^, lijf Qy"\

dans laquelle se change la précédente en faisant 6 négatif.

On voit ainsi que, 6 restant le même, quelque petit qu'il soit d'ailleurs, la différence de P à l'unité devient d'autant moindre que a

diminue, non seulement parce que le facteur a^qui multiplie cette différence diminue, mais encore parce que le facteur

est très petit et diminue avec une grande rapidité; et il est visible que Ton peut tellement augmenter p et y, et, par conséquent, diminuer a, que cette différence de P à Tunité soit moindre qu'aucune .grandeur donnée, ce qui est le théorème dont nous avons parlé au commencement de cet article.

Un des principaux avantages de la théorie précédente est de fournir une solution directe et générale d*un problème intéressant, dont Tobjet est le plus ou moins de facilité des naissances des garçons et des filles dans les différents climats. On a observé qu'à Paris et à Londres il nait constamment chaque année plus de garçons que «de filles, et, quoique la différence soit peu considérable, il serait assez extraordinaire que cela fût l'effet du hasard, et il est bien plus naturel de penser que, en France et en Angleterre, la nature favorise plus la naissance des garçons que celle des filles. A la vérité, les naissances observées pendant quatre ou cinq ans dans quelques petites villes de France semblent y indiquer une moindre facilité pour la naissance des garçons que pour celle des filles; mais il est très possible que, sur un petit nombre de naissances, tel que quatre ou cinq cents, il y ait plus de filles que de garçons, quoique la facilité de la naissance de ceux-ci soit plus grande; il faut employer à cette recherche délicate de beaucoup plus grands nombres, vu surtout le peu de différence qui existe entre les facilités des naissances des garçons et des filles, et ce n'est que lorsqu'on sera bien assuré que le nombre observé des naissances dans un lieu quelconque indique, avec une très grande probabilité, que les naissances des garçons y sont moins possibles que celles des filles, qu'il sera permis de rechercher la cause de ce phénomène. La méthode de l'article précédent donne un moyen fort simple pour obtenir cette probabilité lorsqu'on a un nombre suffisant de naissances; nous allons l'appliquer à celles qui ont été observées à Paris, et déterminer combien il est probable que les naissances des garçons dans cette grande ville sont plus possibles que celles des filles.

Pour cela, nous ferons usage des naissances qui ont eu lieu depuis '745 jusqu'en 1770, et dont on peut voir la liste dans nos Mémoires pour Taniiée 1771» page 857. En rassemblant toutes ces naissances, on trouve que, dans Tespace de ces vingt-six années, il est né à Paris 25 1 527 garçons et 241 945 filles, ce qui donne à très peu près j— pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles. Gela posé, la

probabilité que la possibilité de la naissance d'un garçon est égale ou

fydx moindre que { est, par l'article précédent, égale à ^—r — > l'intégrale

f ydx étant prise depuis x --=^0 jusqu'à a; = ^; d'ailleurs cette intégrale, prise depuis x ^o jusqu'à x -= 0 et divisée par ^, est,

par le même article, égale à

ÇH-I

En supposant donc — ^ = 1 et, par conséquent, 0 = ^ . ^ >

on a, pour l'expression de la probabilité que x est égal ou moindre que tJ,

1 — fx \ 2 ) \ afx /

Dans le cas présent.

IX =z ^==0,9619047,

ce qui donne à peu près 0* = 34* en sorte que la série

[48,x'+3fx(i-fx)'+(t-fx)>]

1 — OC ; r- -3 -1- OC" . . .

12^(l-+-fX)(l — fX)^

est très convergente, et l'on trouve, par le calcul, que le second terme est environ ^; on peut ainsi s'en tenir au premier terme : or on a, en logarithmes des Tables,

log - .^tT ~ ^ » 4660089,

le nombre 2 indiquant une caractéristique négative; on a ensuite, en portant la précision jusqu'à douze décimales,

log/> = 5,4oo5846io947,

logçr=: 5, 38871 665 1469,

log(/> -h g) ^ 5,698262515480,

log2 = 0,801029995664,

d'où l'on tire

log(^^y= 74893,8886139, • log 2/^-7^1 — , 4855o , 4760808 ;

2afx

*^K 2 j (-Tjr j i-u = 4^1,0615089.

En repassant des logarithmes aux nombres, on aura, pour la probabilité que X est égal ou moindre que ^, une fraction dont le numérateur est peu différent de l'unité et égal à i,i52t, et dont le dénominateur est la septième puissance d'un million; cette fraction est même un peu trop grande, et, comme elle est d'une petitesse excessive, on peut regarder comme aussi certain qu'aucune autre vérité morale, que la différence observée à Paris entre les naissances des garçons et celles des filles est due à une plus grande possibilité dans la naissance des

garçons. On voit, au reste, que la petitesse de la fraction précédente vient principalement du facteur

[-r-) [-Tir) '

ce qui confirme ce que nous avons dit dans l'article précédent sur la convergence de la valeur de P vers l'unité.

On a observé que, dans riniervalle des quatre-vingt-quinze années écoulées depuis i664 jusqu'en 1757, il est né, à Londres, 787 629 garçons et 698958 filles, ce qui donne environ ff pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles; ce rapport étant plus grand que celui de io5 k loi qui a lieu k Paris, et le nombre des naissances observées à Londres étant plus considérable, on trouverait pour cette ville une plus grande probabilité que les naissances des garçons sont plus possibles que celles des filles; mais, lorsque les probabilités diffèrent aussi peu de l'unité, elles peuvent être censées égales et se confondre avec la certitude.

La constancç avec laquelle les naissances des garçons à Paris l'ont emporté chaque année sur celles des filles, depuis 1745 jusqu'en 1770, est encore un de ces phénomènes que l'on ne peut attribuer au hasard. Déterminons sa probabilité en partant des données précédentes; pour cela, soit 2a le nombre moyen des naissances des garçons et des filles dans l'espace d'une année; supposons, de plus, que sur ce nombre il y ait m garçons et, par conséquent, 2a ^ m filles : la formule (0) de l'article XVII donnera, pour la probabilité P de cet événement,