i-çr4-2a-hi) i.2.3.../?.i.2.3...çr
on aura donc la probabilité que les naissances des garçons ne l'emporteront point sur celles des filles, en prenant la somme de toutes les
valeurs de P, depuis m = o jusqu'à m = a. Soit
i.a.3...(aa — /n).i.a.3...m '^'"*
et cherchons l'intégrale finie Sjm» depuis m = o jusqu'à m=za^ la caractéristique £ servant à désigner les intégrales finies; on a visiblement
(m-4-i)(y-f-aa — m)
donc
OU
'"L (aa — m)(/?-+-m-i-i)J (aa — m) (/?-+- m -h») ^'"
___ (m4-i)(y4-aa-^/n)
la caractéristique A étant celle des différences finies. Supposons généralement
nous aurons» en intégrant,
or, si l'on substitue pour j;„ sa valeur jSmAXm» ^^ ^
^{ym A^«-l) = 2(^« A5;„l A/;„)
Pareillement,
= ym^m-t A(5«.t A«;,»,) — 1 \ymà[z^.i à{s^^i A5,„-s)] j,
et ainsi de suite ; on aura donc (y) ^ym=C-hy^z^-i]
G étant une constante arbitraire. Cette suite est, dans les difi'érences finies, ce qu'est la suite (X) de l'article XYIII, dans les différences
ORupres de Z. — IX. 55
infiniment petites : pour déterminer dans quel cas elle est convergente, nous observerons que, si la dimension de «m-,, en p, y, a et m, est r, celle de ^m-2 sera r — i, celle de A(5;„.2 A5,„,) sera nr — 2, et ainsi du reste; or la convergence de la série exige que ces dimensions aillent en diminuant, ce qui suppose que r est moindre que Tunité. Dans la question présente, oii
'*'""■*"" 2ap -]- q — m{p -^ q)*
les dimensions du numérateur et du dénominateur sont égales à 2, et par conséquent r=o; la suite sera donc convergente, pourvu que le
dénominateur ne soit pas extrêmement petit, c'est-à-dire que — ^^-
difffere sensiblement de - : or c'est ce qui a lieu, lorsque m est égal ou moindre que a, p étant supposé plus grand que q.
On peut mettre la quantité ^w -^ aa-n — m) ^^^^ ^^^^^ forme
en faisant
* 2ap
-f-çr-
IJé
2ap
^~ {p + qY
{^ap + q)[q(p + q) A- laq + p'\ ^
{P + lY
on aura ainsi
*""*"" [2ap -h q — ni(p -h q)][2ap H- p -h 2q — m(p -{- q)]
Or, F et G étant positifs, il est clair que As;^., est toujours positif tant
que ^*~' est moindre que -; on voit de plus que, dans ce cas,
z^^^Az^^^ va toujours en augmentant, en sorte que A(5,„,A5;,.-.a) est encore une quantité positive ; donc £ j^» étant égal à
est moindre que ^-i-ym^m-i* H étant une arbitraire. Pareillement, 2(rmA5;^0 étant égal à
est moindre que H'4-7TO^m-i^5/n-2» H' étant une nouvelle arbitraire ; donc l'intégrale Hy^ est moindre que C -h jm^m-i d pl^s grande que
Si l'on détermine, au moyen de la formule (y), l'intégrale Zym depuis m = o jusqu'à m = a, la constante C sera nulle; si l'on suppose ensuite qu'il naît 20000 enfants chaque année, ce qui donne a = 10 000, on trouvera, en employant pour p etq les valeurs de l'article précédent relatives à Paris,
aPa-i =26,23, 5a i= 26,09.
àza^t = o,i3;
Parlant,
on aura ainsi
et
En faisant donc
2j'^=:26,22ya,
celte valeur de Zy^ ne surpassera que de ^^ environ la véritable valeur; il suitdelàque, si l'on nomme P la probabilité que sur 20000 enfants il y aura autant de garçons que de filles, la probabilité que le nombre des garçons ne l'emportera pas sur celui des filles sera un peu plus petite que 26,22 p.
On déterminera la valeur de P par la formule (u) do l'article XVII ; pour cela, on y supposera m = n = a^ et on la mettra sous cette forme
On observera ensuite que
d'où Ton tire, par l'article XVII,
on a d'ailleurs
a étant peu considérable par rapport h p etp différant peu de 9, ces suites sont très convergentes, et l'on peut s'en tenir aux deux premiers termes; en ajoutant donc ces logarithmes, on aura
log r, + ^(p-9) y^ r, aip-ç) 1^-
= aUp-gy\ î i p'ç-^g'P'^a(p'^ç')l
L/?7(/?-+-çr-|-2a) a p*^«(/>-f-^4-aa)« J
On peut supposer à très peu près a{p^'\- q^) = 2.apq^ ce qui réduit le second membre de l'équation précédente à — ^ ^""^ — r; ce logarithme est hyperbolique, et, pour le convertir en logarithme des Tables, il faut, comme l'on sait, le multiplier par 0,4342944^. En appliquant des nombres à ces formules, on trouvera que le logarithme tabulaire de
est o,o638o4i; on a ensuite, en portant la précision jusqu'à dix décimales,
iogl> = 5,4oo5846io9,
log9'= 5,3837i665i5,
log(/? -f- ^) = 5,69326251 56,
ce qui donne
lOg . Ma =2,3622260;
(p±iY
de plus,
log v/ôtÎ = 2,2486750,
on aura donc
d'où l'on tire
, ( P -+- Ç)\/{ P'ha)(ç-ha) - « log^-^^ ^ "^ ^ ^-^^^-T — ' = 1,991379*:
y/pqip-^q -^ 2a)"
logP = 4,i688342,
La probabilité que, dans une année, les naissances des garçons ne seront pas en plus grand nombre à Paris que celles des filles, est donc
moindre que -?-; or, en la supposant égale à cette fraction, on aura, à '
très peu près, le nombre d'années dans lesquelles on peut parier un contre un que cela n'arrivera pas, en multipliant son dénominateur 259 par le logarithme hyperbolique de 3, c'est-à-dire par 0,6931472, ce qui donne pour produit 179 : on peut donc parier avec avantage un contre un que cela n'arrivera pas dans l'intervalle de cent soixantedix-neuf années.
Relative ment à Londres,
et
ce qui donne
et
en sorte que, si l'on suppose la probabilité que les naissances des garçons ne l'emporteront pas sur celles des filles égale à i8,3P, cette prohabilité ne surpassera que d'un quinzième environ la véritable. On
trouve ensuite
log[
liP
]p-ha = 0,
log ^-^ — ^'^ ^-^^^ = 1 ,9970020.
On a de plus» en portant la précision jusqu'à dix décimales,
log/?
log^
log(/?4-ç^)
d'où l'on tire
log
la^a
la
on aura donc
partant
logP = 6,6435674,
i8,3 P = o,oooo8o54i = — 7—5 •
La probabilité que les naissances des garçons, à Londres, ne l'emporteront pas sur celles des filles, dans une année déterminée, est donc
un peu moindre que , ^> en sorte que Ton peut parier avec avantage
1 contre i que cela n'arrivera pas dans l'intervalle de huit mille six cent cinq années; ce phénomène est, comme l'on voit, beaucoup moins probable à Londres qu'à Paris, ce qui vient de ce que, dans la première de ces villes, le rapport des naissances des garçons à celles des filles est plus considérable.
La théorie précédente suppose que l'on connaît le nombre de fois que chaque événement simple est arrivé; mais, quoique cette supposition s'étende à un grand nombre de problèmes intéressants, cepen-
dant elle n*est encore qu*un cas particulier de cette partie de l'analyse des hasards» qui consiste à remonter des événements aux causes. Nous allons exposer» dans les articles suivants» uq^ méthode générale pour déterminer les possibilités des événements simples, quel que soit l'événement composé dont on a observé l'existence.
Considérons d'abord deux joueurs A et B» jouant aux mêmes conditions que dans l'article III» c'est-à-dire que» A ayant m jetons au commencement de chaque partie» B en ait /i — m; qu'à chaque coup celui qui perd donne un jeton à son adversaire» et que la partie ne doive finir que lorsque l'un d'eux aura gagné tous les jetons de l'autre. Supposons ensuite qu'ils aient joué de cette manière un très grand nombre de parties» dont p aient été gagnées par A et ç par B» et que l'on veuille déterminer leurs adresses respectives» ou, ce qui revient au même» leurs probabilités de gagner un seul coup. Il est clair que le nombre des coups gagnés ou perdus par chaque joueur est inconnu» puisque chaque partie peut être composée d'un nombre plus grand ou moindre de coups : on ignore donc ici le nombre de fois que chaque événement simple est arrivé; mais il est facile d'étendre à ce cas et à tous les autres semblables la théorie des articles précédents» en observant que, si/7 et ç sont de très grands nombres, les probabilités des deux joueurs A et B pour gagner une partie seront à très peu près dans le rapport de ces nombres : or» ces probabilités étant connues» on aura facilement leurs adresses respectives ou leurs probabilités de gagner un seul coup; car» en nommant X la probabilité du joueur A pour gagner une partie» et x son adresse» on a» par l'article III»
La seule racine utile de cette équation est celle qui est positive et
moindre que Tunité; or il est aisé de voir a /?nbri qu'il ne peut y en
^avoir qu'une qui satisfasse à ces conditions» puisque l'adresse x ne
peut augmenter ou diminuer sans que la probabilité X augmente ou
khO MÉMOIRE SUR LES PROBAdh...^
diminue; la valeur de x que Ton tirera de cette équation jouira donc du même degré de probabilité que X; or» si Ton suppose p etq très considérables» il sg:a extrêmement probable, par l'article XYIIl» que
X diffère très peu de ^ ; donc, si Ton nomme a la racine positive et
moindre que l'unité de l'équation
il sera très probable que l'adresse x est très approchante de a, en sorte que, si p etq étaient infinis, il serait infiniment probable que la différence de â? et de a est moindre qu'aucune grandeur donnée. Cette valeur de 0? a d'ailleurs l'avantage de nous faire connaître le rapport des coups gagnés aux coups perdus par le joueur A; car, si l'on nommer le nombre des premiers et s celui des seconds, l'adresse x doit être très
peu différente de > en sorte que l'on a, à très peu près,
d'où l'on tire
Supposons encore que A et B ont joué p parties avec la condition précédente, et q parties dans lesquelles A avait m' jetons etB n'— mf au commencement de chaque partie. Supposons ensuite que, sur ces p-hq parties, A en ait gagné r; cela posé, pour déterminer les adresses de ces joueurs, nous nommerons j? celle de A, et u le nombre inconnu de parties qu'il a gagnées sur les /? premières : l'équation (a) donnera dans ce cas
Le nombre des parties que ce joueur a gagnées sur les q dernières est r — u ; on aura donc encoror en vertu de l'équation (a),
o = {q — r -f- u)a:*'4- (r — u) (i — a:)*'— ç j?*-'*'(* — ar)*"'.
En éliminant u de ces deux équations, on aura une équation en x
MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS. Wl
dont la racine- positive et moindre que l'unité est celle qu'il faut choisir; or on prouvera, comme ci-dessus, qu'il ne peut y en avoir
qu'une de cette nature. Si l'on nomme a cette racine, sera à très
peu près le rapport du nombre des coups gagnés au nombre des coups perdus par le joueur A. On aura ensuite
et ce sera le rapport du nombre des premières parties gagnées par le joueur A au nombre total p de ces parties.
Voici maintenant une méthode directe et générale pour déterminer les possibilités des événements simples, quel que soit l'événement observé.
Si Ton désigne par a? et i — a? les possibilités des deux événements simples, et que Ton cherche, par les règles ordinaires de l'analyse des hasards, la probabilité de l'événement composé dont il s'agit, on aura pour son expression une fonction de or, multipliée par un coefficient constant quelconque; si l'on nomme y cette fonction et a la valeur de Xj positive et moindre que l'unité qui la rend un maximum, non seulement cette valeur sera la plus probable, mais aile sera encore très approchante de la véritable possibilité x : par exemple, si l'événement observé est la naissance de p garçons et de q filles sur p-^ q enfants, en nommant x la possibilité de la naissance d'un garçon et, par conséqu'ent, i^ x celle de la naissance d'une fille, on aura
