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pour la probabilité de cet événement; dans ce cas y = xp{i — o?)^, et
son maximum a lieu lorsque x= ^ ; cette valeur de a? est donc,
à très peu près, la véritable possibilité de la naissance d'un garçon, lorsque p^iq sont de très grands nombres.
Œuvres tU L,^ IX. 56
Supposons encore que Ton tire trois boules d'une .urne qui renferofie une infinité de boules blanches et noires dans une proportion inconnue» et que  et B jouent à cette condition que A gagnera la partie si sur ces trois boules il y a plus de blanches que de noires, et qu'il la perdra s'il y a plus de noires que de blanches. Supposons ensuite que, sur/? -h q parties, A en ait gagné p et perdu y; cela posé, si l'on nomme x la probabilité d'amener une boule blanche, on aura x^Çi — ix) pour l'expression de la probabilité que A gagnera une partie, et (i — a7)*(n- 20?) pour la probabilité qu'il la perdra; la probabilité de l'événement observé sera donc
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dans ce cas,
et son maximum donne
o=/>(i — xy (i -♦- 20?) — ^j:*(3 — ^x);
d'où il suit que, si l'on nomme a la racine positive et moindre que l'unité de cette équation, le rapport des boules blanches aux boules
noires de l'urne sera à très peu près égal à -—- -•
Le maximunA de j^ n'indique d'une manière approchée la véritable valeur de x qu'autant que les valeurs de y voisines de ce maximum sont incomparablement plus grandes que les autres; car il est visible que l'intégrale fydx, prise dans un très petit intervalle de part et d'autre de ce maximum, est alors très approchante de cette même intégrale prise depuis a? = o jusqu'à a? = i : or le rapport de la première de ces intégrales à la seconde exprime la probabilité que la valeur de x est comprise dans cet intervalle. Les valeurs de y voisines du maximum surpasseront considérablement les autres, lorsque y
aura des facteurs élevés a de grandes puissances de l'ordre -> a étant
un coefficient très petit et d'autant moindre que Tévénement observé
est plus composé; si Ton prend, dans ce cas, le rapport de dy à ydx^ on sera conduit à une équation de cette forme
y dx az
z étant une fonction de x, qui ne renferme plus de puissances de
Tordre -• Ainsi, toutes les fois que Ton parviendra à une équation
semblable, les valeurs de x décroîtront avec une grande rapidité en s*éloignant du maximum, et la valeur de x correspondante à ce maximum sera très approchante de la véritable.
On voit par là que les événements composés ne sont pas tous propres à faire connaître les possibilités des événements simples : par exemple, A et B jouant aux mêmes conditions que dans l'article III, si A gagne
la partie, en nommant x son adresse, on aura y-^ — ^ pour la
probabilité de cet événement. Or, si l'on suppose m et n de très grands nombres, l'événement observé sera composé d'un grand nombre de coups; mais, comme les valeurs de y correspondantes à x plus grand que 5 sont très peu différentes de l'unité, cet événement ne peut faire connaître d'une manière approchée la valeur de x : tout ce que l'on en peut conclure, c'est qu'il est extrêmement probable que A est plus fort que B, parce que les valeurs dey correspondantes à x plus petit que ^ sont incomparablement moindres.que les autres.
La connaissance des valeurs approchées des possibilités des événements simples qui résultent d'un événement composé serait très imparfaite si l'on n'était pas en état d'apprécier combien il est probable que, en prenant pour ces valeurs celles qui répondent au maximum de j, on ne se trompera pas, soit en plus, soit en moins, d'une quantité donnée; pour cela, il est nécessaire, comme on l'a vu dans l'article XYIII, de déterminer le rapport de l'intégrale Tv ^, prise dans
Wfc MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.
un petit intervalle de part et d'autre de ce maximum» à cette même intégrale prise depuis x = o jusqu'à x = i, et c'est ce que nous avons fait, dans l'article cité, pour le cas où j = x''{i — o:)^, P ^^ Ç étant de très grands nombres. Nous allons présentement généraliser ces recherches et les étendre à toutes les valeurs de y qui conduisent a une équation de cette forme
z étant une fonction de x qui ne renferme point de puissances de l'ordre -• Reprenons l'équation (X) de l'article XVIII,
n^ rv^^-r-^«v^i, ^^^ , .^(zdz) d[zd{zdz)] (.
si l'on nomme
a la valeur de x correspondante au maximum dey; Y et Z les valeurs de a? et de 5 correspondantes à ^ = a — 6 ; Y' et — Z' les valeurs de ces mêmes quantités correspondantes à a? = a -+- 0;
si l'on observe d'ailleurs que» les deux événements simples étant supposés avoir eu lieu, on aj^ = o lorsque a? = o et lorsque a? = i, Tinlégrale /jcfcr prise depuis x = o jusqu'à a; = a — ô sera
cette même intégrale, prise depuis a? = a -h 6 jusqu'à a? = i, sera
En nommant donc i l'intégrale fydx^ prise depuis x = o jusqu'à a? = I, on aura cette même intégrale, prise depuis a? = a — 6 jusqu'à a? = a 4-0, en retranchant de k les deux intégrales précédentes; en divisant ensuite ce reste par k, on aura la probabilité que x sera com-
pris dans cet intervalle. Cette probabilité sera» par conséquent, égale à
