YZ
1 e/Z dadl) d[Zd(ZdL)]
oTT/i dU ^djlJdU) ^d\J]d{TdL)'\
la question se réduit ainsi à déterminer h. Nous y sommes parvenu dans l'article XVIII où, y = x^{\ — a?)^, au moyen du beau théorème de M. Stirling sur la valeur du produit I.2.3...Z/, lorsque u esjt un très grand nombre; mais ce procédé est indirect, et il est naturel de penser qu'il existe une méthode pour déterminer directement h, quel que soit j^, et dont ce théorème est un corollaire : celle que je vais exposer m'a paru remplir cet objet de la manière la plus générale.
Puisque la valeur dey conduit, par la supposition, à une équation de cette forme j^cfcr = tLzdy^ on a
dx
en sorte que logj' est très grand et de l'ordre de -; d'ailleurs, a étani
la valeur de x correspondante au maximum dey, si l'on fait a? = a ^- G, et que l'on nomme A la plus grande valeur de y ou sa valeur lorsque 0 = o, on aura, en réduisant en série,
alog/ = alogA- Ô«(/-H/'Ô 4-/'ô«4-. . .),
le terme multiplié par 0 disparaissant, parce que l'équation â? = a ou 0 == o rend y un maximum. On aura ainsi
et
fydx = kfe''^'^^'''^-'de,
e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Soit
OU, ce qui revient au même,
logA — logy =z t'y on aura par la méthode du retour des suites
partant
de = J dl(h -^^ 2h('^ olU -h ^h^^^ (xl*-h , . .),
ce qui donne
fydx=zJAfe-'''dt{h-h2h('^Je-h3h(^)<xt^-h...) = k.
L'intégrale j ydx doit être prise depuis x = o jusqu'à a? = i; or, ^ étant nul, on a 7 = o et logj = — oo : donc /* = 00. Lorsque a: = a, on a 6 = o, partant / = o; d'ailleurs, lorsque 6 change de signe, / en change pareillement, en sorte que les valeurs de /, correspondantes à celles de x, depuis ^ = 0 jusqu'à a? = a, ont un signe différent de celles qui correspondent aux valeurs de a?, depuis a7 = a jusqu'à x=i\ or, j? étant^i, on a j^ = o, ce qui donne t^= 00; les valeurs de / s'étendent conséquemment depuis / = — oo jusqu'à / = oo. Dans ce cas, on a
parce que, t^"-*e~^* se changeant en — i^^^^e''' lorsque / est négatif, la somme de ces deux quantités est nulle; on a, par une raison semblable,
y*/"» e-*' dt = aft^'^e-^ di
(la seconde intégrale étant prise depuis ^ = o jusqu'à / = 00) ; or cette supposition donne
ft^'^e-^dt =z — -ft^'^'^e-'^dt;
pareillement
et ainsi de suite; donc
On aura ainsi
Âvrz 2a'A( A-h 1.3 a h 1.3.5 a' — j- -h 1.3.6.7 a* —5- -*-••• ) / e-^^dl.
Il ne s'agit donc plus que d'avoir l'intégrale fe^*dt depuis / = o jusqu'à / = «. Pour cela, considérons la double intégrale
et prenons-la depuis ^ = o jusqu'à ^ == oo et depuis // = o jusqu'à u = 'x>\ en l'intégrant d'abord par rapport à s, on aura
Or on a, comme on sait,
du TT
Tz étant le rapport de la demi-circonférence au rayon ; donc
jye-'^^-^^^^dsdum
Si l'on prend cette double intégrale d'abord par rapport à u, en fai sant uyjs =zt, elle deviendra / ^""'-7= / e~^*dt; soit / e-^'dt = B (l'intégrale étant prise depuis t = o jusqu'à / = 00), on aura
Or, en faisant s = s'^, on a
Ce-'y^ ife'^'ds^^ 2B
(l'intégrale étant prise depuis ^' = o jusqu'à f' = oo) ; donc
ff e-^i'^^^^ds du = 2B^='!^
d'où Ton tire B = ^v^, partant
(5) k=:A^an{h -hi.3 h i.3.5 — 5 h 1.0. 5. 7 — h. . . 1.
Si Ton met l'équation
logA — log/=r^*
sous cette forme
V logA — log^ on aura, pour déterminer les coefficients A, h^*\ h^^\ . . . de ia série
l'expression générale
,,x «""Ucn)- ^4^'-"'(iogA-iog.rP"^1
pourvu que l'on suppose d^ constant et 0 = o après les différentiations. [Voir sur cela les Mémoires de l'Académie pour l'année 1777, p. ii5(*).] Lorsque /i = o, on a
a*A = 6(logA-— log/) *; or
log^ = Io6A + ôi^H-il(^-^,)+...,
y^ dy, d^y, . . . , dans le second membre de cette équation, étant ce que deviennent ces quantités lorsqu'on y suppose 0 = o; cette supposition
donne
dy y^t, ei ^=0;
(1) Œuvres de Laplace, T. IX, p. 829.
on aura donc
Partant on aura à très peu près, lorsque a est très petit,
ou, ce qui revient au même.
(^) [Jydx^'^
l'intégrale fydx étant prise depuis x :^o jusqu'à ^ ~ i, et les quan-
tités y et ^-^ du second membre de cette équation étant ce qu'elles deviennent lorsqu'on y suppose x =^a.
En substituant a + 0 au lieu de x dans logj et en réduisant en série, la condition du maximum de j^ fait disparaître la première puissance de 0 dans cette série; mais cette condition peut, comme l'on sait, faire disparaître la première, la deuxième et la troisième puissance de 0 ou la première, la deuxième, la troisième, la quatrième et la cinquième puissance, et ainsi de suite, pourvu que le nombre des puissances qui disparaissent soit impair. Voyons cc.que devient alors l'intégrale fydx^ prise depuis x =^ o jusqu'à x = i .
Supposons que la première, la deuxième et la troisième puissance de 0 disparaissent, on aura pour alogr une suite de cette forme
alog7=^alogA-^^(/-h/'ô-h/^^'4-...);
donc, si l'on fait
OEuiret de L. - IX. 57
on aura
logA - \ogy — i^
et
e -- Jt{h "h h^^)Jt-h A(*)a*/*-l- A<'>a^/»-f- ah^'U^-h,, .),
d'où l'on tire
On prouvera, comme dans l'article précédent, que l'intégrale relative à / doit être prise depuis / -- -- oo jusqu'à / = «; or on a dans ce cas
et
l'intégrale du second membre étant prise depuis / = o jusqu'à / = oc. Si l'on y suppose ensuite n ~ 21, on aura
et, si /i = 21 -h I, on aura
en supposant donc
fe'^dt =C,
ft^e''*di C, on aura
aa
et il est aisé d'en conclure, par analogie, les valeurs de fydx dans le cas où la condition du maximum de v ferait disparaître un plus grand nombre de puissances de 0.
Tout se réduit donc à déterminer les valeurs de C et de C : nous
MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS. k6i
observerons d'abord que, C étant connu, C le sera pareillement, car, si Ton prend la double intégrale /T^~''*^"*^û/irfw, depuis ^ = o jusqu'à s = ce et depuis u~ o jusqu'à u = cc, on aura, en intégrant d'abord par rapport à s.
Si l'on fait ensuite u\Js ^t, on aura
Soit s = s'\ et l'on aura
donc
ce qui donne
8Cv/2
Quant à la valeur de C, il ne m'a pas encore été possible, malgré plusieurs tentatives, de la ramener aux arcs de cercle ou aux logarithmes; mais j'ai trouvé qu'elle dépendait de la rectification de la courbe élastique rectangle ou, ce qui revient au même, de l'intégrale
/^ y prise depuis a? = o jusqu'à x = i\ si l'on désigne par tz' la valeur de cette intégrale, on a trouvé
Tt'^:: 1,31102877714605987 (*).
Cela posé, considérons la double intégrale /T^~*'^**^''*^fi&rfw, prise depuis 5 = 0 jusqu'à s'^ » et depuis w = o jusqu'à « = qo; en faisant
u yjs — /, elle deviendra
fe-s^^re-'^dt ou cA-'$.
( •) Foir le Traité de M. Stirling, De sommcuione et inierpolatione serierwn, p. 58.
Soit s — *'', et l'on aura
A-'' j. = ife-''ds'= aC.
partant
Supposons maintenant s^i-i-u* = s', et nous aurons
•'-^ J \J\->ru'"^ ^^ J s'x + u"
^> prise depuis u = o jusqu'à
M = X, on aura
QC«=iEv^7r,
ce qui donne
Si Ton fait — ^—. = ^\ on aura
/du _____ r ds
l'intégrale relative à s étant prise depuis s —\ jusqu'à 5 — o, en sorte que
l'intégrale relative à s étant prise depuis s ~ô jusqu'à 5 =: i . Considérons présentement la double intégrale / / — jy
prise (*) depuis x=^o jusqu'à a? = i et depuis s = o jusqu'à 5 = 1;
( * ) n faut sans doute comprendre que cette intégrale doit être étendue à toutes les valeurs positives de x et de z vérifiant l'inégalité
de sorte que, pour une valeur donnée de z, x varie de o à (i — z')^; x augmentant encore jusqu'à i, Télément différentiel deviendrait imaginaire.
{Note de Véditeur.)
en faisant -^ — ar', elle se changera dans celle-ci
ces intégrales étant prises depuis x' --o et 5 ™ o jusqu'à x' —i et 5 ~ i^ ce qui donne
/dz n ^ r dx -,
on aura donc
ttE
Si Ton fait ensuite — z\ on aura
or on a
r r dxdz __ rdx r dz'
/dx TT \J\ — x^ aV^
D'ailleurs, si l'on suppose i — 5'^ = /\ on aura
l'intégrale relative à / étant prise depuis t—.\ jusqu'à / = o; cette in tégrale est évidemment égale à — ir' : donc
r dz' ce qui donne
r r dxdz __ itn' __ ttE
partant
E=-7rV'2?
d'où Ton tire
C^ivVv^ et C'= ' ^
4 vV v^î
Pour appliquer la théorie précédente à quelques exemples, soit
en faisant /7 — - et y — -, on aura, dans le cas du maximum de j,
partant (art. XXIII)
et
«logA-.:^log(^)-+-Iog(-^);
on a d'ailleurs et, si Ton fait
on aura
« logj =:. ^log(-p3^^ - ô) -f. log(^— -f- ô) ; donc
logA -logj^-- ilog[i^ (i4-fx)0] - ^log(i ~ i:tJf 9)
(iH-fxVfiH-fx) (i4-fx)Mi — fx*) ^,^ (i4-fx)»(i-hfx») .
'ja/ji 3afx' 40CfA
d'où l'on tirera, en vertu de la formule (z) de l'article XXIII,
t/. V/2fxa
(i-+-fA)
La formule (s) de l'article XXIII donnera donc
. v/â«B/"' i. , a[(i + f*)'-i3fx] , I
(H-fx) «
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans l'article XVIII.
Si (JL — I, ou, ce qui revient au même, si p^q, on déterminera plus simplement de la manière suivante les coeflicients de la série en /, qui exprime la valeur de G; pour cela, on observera que, dans ce cas,
logA - logj r- - - log(i — 4^*) "-- 1\
ce
ce qui donne et
Soit
en prenant les différentielles logarithmiques des deux membres de cette équation et multipliant en croix, on aura
or on a
^-«'•=i-ar»+ — °LL^ 4 ....
Si l'on substitue cette valeur dans l'équation précédente, on aura entre les coefficients /, Z', /", T, . . . les équations suivantes
et généralement
o-iiil^^^ — (2i—3) h (2/— 6)
456 MÉMOIRE SUR LES PROBABILHe.^.
en continuant cette suite jusqu'à ce qu'on arrive au coefficient /. On déterminera donc facilement t, /", T, ... lorsque ce coefficient sera connu; or, si l'on néglige les puissances de / supérieures à l'unité» on a
donc l=[\ la formule {s) donnera ensuite, en observant que dans ce
cas A = -^ >
If* \ a îi* /
On a généralement
k— f xP(i-'xydx- . Ç f ;
la supposition Aq p = q donne
or le premier membre de cette équation est le terme moyen du binôme (i -f- 1)*''; on aura donc la valeur de ce terme par une suite très convergente, lorsque p est un très grand nombre. Si l'on compare la manière dont nous y sommes parvenu avec celles qu'ont employées MM. Stirling et Eulcr, le premier dans son Ouvrage De transformatione et interpolatione serieruniy et le second dans ses Institutions de Calcul différentiel, on trouvera, si je ne me trompe, que, indépendamment de sa généralité, elle a l'avantage d'être plus directe, en ce que les procédés de ces deux illustres auteurs supposent que l'on connaît d'avance l'expression, en facteurs, du rapport de la demi-circonférence au rayon, expression que Wallis a donnée; celui de M. Euler est, de plus, fondé sur la valeur en série du produit i . 2 . 3 . . .p, lorsque p est un grand nombre; cette valeur est encore très facile a déterminer par notre méthode. Pour cela, soit
y ~ xf*e
on aura, en intégrant depuis x = o jusqu'à x = 00,
JœPe~^ dx = pJxP~^ er^ dx,
d'où il est aisé de conclure
j xPe~'dx=ii .2.3. . ./?.
Le maximum à% y ^ lieu lorsque x =p^ ce qui donne p^e^P pour ce maximum; soient donc p = - et a: = — h 0, on aura
Si l'on fait
on aura
soit
log^' — \0%pPe-Pz=i ^ log(i 4- a9) — 0;
J jrdjc = pPe'Pj e* d9.
log(i -+- a9).— «0 = — a^S
9 = ' (a + h'Jt -h h'(xl*-h h'Jt*-h.. . ),
on trouvera
et Ton aura
e/9 = ^ (a -+- aA'a^/ 4- 3 A'a/» + . . .) ;
donc
f y dx = p^^'^ e-P f dt{h -h a/i'a^^ -h 3A'ût^«-4-. . .)«-*.
L'intégrale en x doit être prise depuis x = q jusqu'à a? = ao; or, ar étant
nul, on a 6 = — i, et par conséquent /* = ao; x étant égal à 00, on a
6 = oc, partant /* = oo; on doit donc prendre Tintégrafe relative à dt depuis / = — 00 jusqu'à / = oo, d'où l'on tire, par l'article XXIII,
Ç ydx=.p ^erP\Jn\h -hi.3 h 1.3.5 — 5 !-•..),
QEurret dt L, — • IX. 58
partant
i .2.3. . .p=: p ' e-'' v^^lr ( I H a 4-...).
Nous pourrions appliquer cette méthode à beaucoup d'autres exemples, et par là étendre et perfectionner la théorie des suites; mais cette digression nous écarterait trop de notre objet principal.
La méthode précédente donne une solution fort simple d'un problème intéressant, qu'il serait peut-être très difficile de résoudre par fl'autres méthodes : on a vu (art. XIX) que le rapport des naissances des garçons à celles des filles est sensiblement plus grand à Londres qu'à Paris ; cette différence semble indiquer à Londres une plus grande facilité pour la naissance des garçons : il s'agit de déterminer combien cela est probable.
Pour cela, soient
u la probabilité de la naissance d'un garçon à Paris;
p le nombre des naissances des garçons observées dans cette ville;
g celui des filles ;
u — xlsL possibilité de la naissance d'un garçon à Londres;
p' le nombre de naissances des garçons qu'on y a observées ;
g' celui des filles.
On aura, pour la probabilité de ce double événement,
H étant un coefBcient constant; donc, si Ton nomme P la probabilité que la naissance d'un garçon est moins possible à Londres qu'à Paris, on aura
ffuP(i — u)^{u — x)P' (i — a -t- xY dx du
l'intégrale du numérateur étant prise depuis u = o jusqu'à ii = a; el
depuis x = o jusqu'à x = i. Celle du dénominateur doit être prise pour toutes les valeurs possibles de a? et de m ; or, si Toïi fait u — x = s, ce dénominateur deviendra
ffuP{i — u)'isP'{i — sy du dSy
la double intégrale étant prise depuis ££ = o jusqu'à </ = i et depuis ^ = o jusqu'à 5 = I : on aura ainsi
ffuP{i — u)9{u^ x)P' (i — Il 4- xY' dx du fJ'uP{i'-u)'rsP'(i — s)9'dsdu
Déterminons d'abord l'intégrale du numérateur. En nommant^ la quantité
UPil— U)9{U-' X)P' (l — tt-h X)9\
on aura à très peu près, par la formule ([x) de l'article XXIII,
V au*
en substituant pour </, dans le second membre de cette équation, sa valeur en x, qui rend 7 un maximum; soit X cette valeur, on a
ày ^ (p q ^ £ ç' \
au \u i—a a — j? j — u-^xj
et
\u I — Il II — X I — u-\-x)'
ày(P 1
du
Si l'on substitue X au lieu de ii, on a, par la condition du maximum ^ = o, partant
du» ~-^LX« "^ (I- X)« "^ (X-a:)« "*" (,-X-4-^)«J'
d'où Ton tire
Jydu=:
(X — o?)* (I — X-ha?)«
X étant déterminé par Téquation
OU
o = X(i-X)[(/>-f-/^')(i-X)-(7 + 7')X] (O { 4.^j(^'H.^')X(i-X)-h(i-aX)[9X-/^(i~X)]j
Soit, pour abréger,
