G/H db/ 1 rf^y K <p (lar

6 /"cij;(ô)rf9 4-..

. Les recherches précédentes sont fondées sur la transformation des variables x et v dans celles-ci, ct et 0; mais il peut arriver qu'elle soit impossible dans deux cas qu'il est nécessaire de discuter.

Le premier a lieu lorsque a = o et 6 = o; Féquation (L) de Tarticle précédent devient dans ce cas

ôx* ' ÔJC or

et Ton a

àm àS

ce qui indique que a et 0 sont fonctions de v seul, en sorte qu'il n*est l>as possible alors d'avoir x en fonction de o et de 0. Le second cas a lieu lorsque 6 = J- a^ ; on a dans ce cas

«ir ' CM* «*x * àr

parlant* n est fonction de 0; les deux variables a et 0 ne sont donc point indépendantes Tune de Paufre, et* puisque x et v sont indépendants Pun de Tautre* ils ne peuvent être donnés chacun par une fonction de u et de 9« Supposons conséquemment que, dans Inéquation ( L>

de l'article précédent, on laisse subsister 7, et que Ton détermine u de manière qu'il satisfasse à l'équation

dx • dy

on aura x en fonction de u et de 7, et, si Ton considère z comme fonction de xs et de j, on aura

ds dz dcj

dx duj dx

dz dz âfs {àzY

ây ^ dwdy ^ \dy) '

(^) ^^^^^ '^ coefficient de dy, dans la différence de 1, considéré comme fonction de u et de j^; on aura ensuite

d^z d^z (te* dz d^fsj

dx^ dus* dx* dtn dx* *

d*z d*z dus duj / d*z y dis dz d*i3

dx dy dtn* dx dy \dnidyj dx dut dxdy^

d*z d*z dus* fd*zy dz d*w ( d*z V dfs

dy* dus* dy* \dy*/ dm dy* \dfsdyj dy

Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (L) de l'article précédent, et que l'on considère que 6 = ja* et^ = — ^a^, on trouvera facilement qu'elle peut être mise sous cette forme

(d*z\ ,/dzy .dz ^,

ain&i les deux cas que nous discutons ici conduisent l'un et l'autre à une équation aux différences partielles de cette forme

/«x à*z dz ^dz ^

or on prouvera comme ci-dessus que, si l'intégrale de cette équation est possible en termes finis, que l'on suppose une des fonctions arbi-

QKnvres de L. — IX. 4

traires nulle, et que Ton représente par ^([f-) l'autre fonction arbitraire, on aura au moins par une suite infinie

5 = R 4- A (p(fz) -^ A' <p, (fx) -f- A* <p,(/x) -f- . . . ;

en substituant cette valeur de s dans Téquation précédente, on formera les suivantes :

\ ôx dx ' '' dx dy

dx^ dx

La deuxième de ces équations donne J^ =o; partant, [i est fonction

de y seul; la troisième donne 5A^ = o; donc, si S n'est pas nul, on

a J^ = o, en sorte que [x n'est point fonction de y; ainsi [x n'étant

fonction ni de a:, ni dey, est nécessairement constant; d*où il résulte que Tintégrale complète de l'équation (H) est impossible, excepté dans le cas de 8 = o, ce qui réduit cette équation (H) à une équation aux différences ordinaires entre z et x, dont l'intégrale renfermera deux constantes arbitraires qui seront fonctions quelconques de y.

Il est d'autant plus remarquable que l'intégrale complète de l'équation (H) soit impossible, même par une suite infinie, dans le cas où o n'est pas nul, que cette équation est susceptible, au moins dans un grand nombre de cas, d'une infinité d'intégrales particulières. Pour en donner un exemple fort simple, supposons y, o et 6 constants, et T = o. Si l'on fait z = Ae'"*'*^^, e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, l'équation (H) donnera

m*-i-ym-h6 . mx-y g

nz=z ^4 et z=:\e ^ ;

l'équation (H) étant linéaire, il est clair que Ton peut supposer

mx-y V m,x— y — j

zr=Ae ^ -hAi<? ^ -t--..,

A, m. A,, m,, ... étant des quantités constantes quelconques. Il y s^ plus; si Ton fait m = a-{- ib^ on aura', en réduisant en séries,

m*-t-YllH-5 «'-t-Yrt-4-6 mx — y — • — ^^ «IX — y i-

1*6*/ Qa 4-y-t- 16\* /.

Si l'on substitue cette valeur de z dans l'équation (H), il est clair que tous les termes homogènes, par rapport à i, doivent se détruire réciproquement; d'où il suit que, cette équation étant linéaire, on peut, à la place des différentes puissances de i6, substituer des constantes arbitraires; on aura ainsi

a' -♦- Y a -H 6 ax—y

i = Ke «

A, a, C, C, ... étant des constantes quelconques; on aura ainsi

[,^c(,-^Hf>:)H-...]

On voit ainsi que l'équation (H) est susceptible d'une infinité d'intégrales particulières, sans pouvoir l'être d'une intégrale complète. J'observerai, en passant, que la méthode précédente donne un

moyen extrêmement simple d'avoir une infinité d'intégrales particulières des équations aux différences partielles linéaires, d'une manière plus étendue que par les procédés connus; mais, mon objet étant ici de déterminer les intégrales complètes de ces équations, lorsqu'elles en sont susceptibles, je remets à m'occuper dans un autre Mémoire de la recherche des intégrales particulières.

Je reprends maintenant Téquation

OUS (77 (fus C/7

dont l'intégrale est, comme on Ta vu,

Z7= R-h A<p(tst)4- A'<p,(bj) 4- A'<Pi(w)-4-. . .

-^BfCdm<f(w) 4- B' fC'dfa<^(m) -h. . .

-h D^E rfeyPrfw 9(«t) -+-. . .

-+-avKÔ)

Je suppose, pour simplifier, Tune des fonctions arbitraires, par exemple ^(0), nulle, et que l'expression de s, considérée par rapport à la seule fonction arbitraire f (u)» ne renferme point le signe /, en sorte que l'on ait

« = R 4- Aç(bj) -4- A'<Pi(gi) 4- A'ç,(bt) -h

Comme je démontrerai ci-après que ce cas embrasse tous ceux dans lesquels l'intégrale de l'équation (Z) est possible en termes finis, il est très important d'avoir une méthode pour l'intégrer ; j'ose me flatter que la suivante mérite, par sa simplicité, l'attention des géomètres.

Si l'on fait d'abord T = o, on aura

d*z dz àz

dont rintégrale sera

Si Texpression de z ne renferme qu'un seul terme, en sorte que Ton ait z = A(f(îz)f en substituant cette valeur de z dans Féquation différentielle, et en égalant séparémentà zéro les coefficients de ç'(o) et de 9(c7), on aura les deux équations suivantes :

Si Ton fait

on aura

mais Téquation

d^A d\ dA ,.

(TBT Ov (PB 0\J

Mï àz

:»>= (-^ -h mAJ <p(bj) = o;

drs d6 dfs dd

peut être mise sous cette forme

K^^"^') (dz \ /, dm ^

donc, à cause de 2^*^= o, on a

, dm

o = / — -T— — /im ;

et c'est Téquation de condition qui doit avoir lieu pour que Ton ait

ZZ=. A(p(GT),

OU, ce qui revient au même, pour que Texpression de z ne renferme qu'un seul terme.

Si Tcxpression de z renferme deux termes, en sorte que Ton ait

on substituant cette valeur de s dans l'équation différentielle* on aura les trois suivantes

si Ton fait

on aura

ây\ d\ dA ,, âA'

â^K' âK' d\' ,,,

o ~zi -4- i>i - — -i- n 1- l K *

(Il as

/dA' .A , . /d.\-

en sorte que l'expression de z*^ ne renfermera qu'un seul terme; présentement, Téquation

d*5 dz as ,

C>6T (>f/ C>6T dd

peut être mise, comme on Ta vu, sous cette forme

#7Sr \ #761

Soit«

, âm

en ditTèrentiant cette équation par rapport à 0, on aura

05 àz »

n àz

u iiwdi u* d® ti àv

,1 d5 â5 ) as

si Ton ajoute à cette dernière équation la précédente multipliée par /n, on aura, à cause de ^ -hmz = z^^K

/ çV\ / ^

e^i^cM dz^'n de ] dz^'^ ,,A dd an

Soient

dix djx

ôô an ....

et a H- nni — n H 3^ = *^ »

OGJ dd

On vient de voir que l'expression de 5^*^ ne renferme qu*un seul terme, et par ce qui précède l'équation de condition pour que cela ait lieu est

c'est aussi Téquation de condition nécessaire pour que l'expression de z renferme deux termes.

Si Texpression de :; renferme trois termes, en sorte que Ton ait

dn A 9(gj) h- A' (pi (w) 4- A' 9i(tsi),

en substituant au lieu de :; cette valeur dans Téquation différentielle,

on aura les suivantes

0=- H-;nA,

d^k ""- dfs'dê'^'"'

en faisant z^^^= 3^ h- mz, on aura

zi'^-(~ -f-mAJ9(cT) -nf-^ H-'wAM<pi(cj)-h^-^ -^ mX'j (p^(w)

l'dk'

AM <p,(w) -f- (-^^ -\- mAM 9,(bt),

3i RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

en sorte que l'expression de s-*' dans l'équation {Z') ne renferme que deux termes; or, nous avons tu ci-dessus que, pour que Texpression de :; ne renferme que deux termes, on doit avoir Téquation de condition

donc, si Ton change dans cette équation m en m » et / en

a — nm — n -^ — »- ^, on aura Téquation de condition pour que l'expression de 5 '^ ne renferme que deux termes et, par conséquent, pour que l'expression de z en renferme trois.

Pareillement, si, dans cette nouvelle équation, on change m en

n > et /en u -^ mn — n h -^t on aura 1 équation de con-

dition pour que :; renferme quatre termes, et ainsi de suite: en sorte qu'on aura facilement, par ce moyen, l'équation de condition nécessaire pour que 2 renferme un nombre quelconque de termes.

De là. je tire un moyen très simple d'avoir la valeur complète de s.

Soit

l'équation

donnera

àz

dz'^ /. dm

d*oii. en faisant

-"-•'~H'-" jS -"'"}•

- dm .,, âS ul^=i g ; nm. m*" z=z m

,,, àO dn

^ u au

on tirera

Soit

ons Ov (riB uQ

el Ton aura d*où, en faisant

dm<^^ dd

dw u<'>

^fxt'

on tirera

Soit

/(«).= ^n)^;imc)-^-^-^^,

et Ton aura

d*où, en faisant

âii

on tirera En continuant ainsi, on aura

C£irrr«t </«• !.. — IX.

d'où l'on tirera

on aura ensuite, en faisant 5^'''= -^ h/w'''~*^5^'^"*\

Maintenant, puisque Texpression de s, considérée par rapport à la fonction arbitraire ^(cj), se termine, on peut supposer, en n*ayant égard qu'à cette seule fonction, 5(^=0; partant.

donc

d'où Ton tire

'^(0) étant une fonction quelconque arbitraire de 0; ensuite Téquation

donne

ays^t ainsi s^*"""' , on aura s^*""*^ au moyen de Téquation

ce qui donne

on aura pareillement

et ainsi de suite jusqu'à z; l'expression de z que l'on trouvera de celle manière, renfermant les deux constantes arbitraires <p(cj) et ç(6), sera complète.

J'observerai ici que, si les coefficients /, n, m étaient constants, on aurait

d'où il est facile de conclure que l'on aura généralement

m<''-»=/n et /^'•-«)=/;

l'équation de condition trouvée ci-dessus donnera, dans ce cas,

0=1/ — nniy

et comme on a la même équation, en considérant la fonction arbitraire '1(6), puisqu'il suffit alors de changer n en m, et réciproquement, il en résulte que, si cette équation n'est pas satisfaite, l'intégrale de l'équation proposée est impossible en termes finis, comme on le démontrera ci-après, le suppose maintenant que, dans l'équation

d^z dz àz , ^

T ne soit pas nul, on fera comme ci-dessus

,i\ àz

et Ton aura

0= -T— -t-/i5<*>-H5(/— -^ — /im j 4-T;

soit

donc

, dm

^ ^ fX , fX

si l'on différentie cette équation par rapport à 6, que l'on ajoute à cette équation ainsi différentiée l'équation elle-même multipliée par m, et

i|uo l'on fasse

— mT = T«',

dn ^

on aura

Ai-.\ A- I' A-.l

on fera ensuite

as'

et Ton aurai

-^ns' -+-S» //' -^^—nm'\-hT,

d'où l'on tirera, par la méthode précédente. Téquation

on continuant d*opérer ainsi, on parviendra aux équations suivantes

àm â*3 •--•

— niM — « ) -- T •--=

&BO'3 en? <r7

Maintenant, pui^ue Texpression Je z se termine, on a

()lN

— nmk

donc

OfSJ

d'où l'on tirera

ensuite l'équation

donne

5(r-l)— ^/«<'^OrfOjç(,5,)^y'^/mt'-«>rf6-/*rfOrfg[^j;(0)y*e/»*'«T^'--'irfro

ayant ainsi z^''^*\ on aura s^'"""*^ au moyen de 1 équation

dcj

on aura pareillement

et ainsi de suite jusqu'à z; on ferait les mêmes opérations par rapport à la fonction arbitraire 4^(0), si, dans l'expression de :;, la fonction arbitraire ç(ny) était enveloppée sous le signe T, la fonction '^(0) no l'étant pas.

La méthode précédente suppose l'intégration des équations aux différences partielles

ou^ ce qui, par l'article IH, revient au même, elle suppose l'intégration

dos équations aux différences ordinaires

1 4 > o—dv — dx{\ OL — v'I ««—€).

( ï ) o = dy — dx{\ a -h V » 3[* — ^).

Klle suppose de plus que, ayant a et 0 en fonctions de x et de v, au moyen de ces équations intégrées, on en peut conclure x et ^ en fonctions de a et de 0; or, dans Fétat actuel de TAnaUse, Tune et Tautre de ces suppositions est souvent impossible. Il serait cependant utile de pouvoir s'assurer alors si Tintégrale complète de Téquation aux différences partielles est possible ou non en termes finis; on sVn assurera facilement par le procédé suivant.

Je reprends Téquation (L) de Tarticle V

dx* âr ÔY df' ' àx ôy

on a vu ( même article > qu'elle pouvait se transformer dans celle-ci de plus, il est facile de voir, par Tarticle cité ci-dessus, que Ton aura

d-r ÛJc \dje âr

ày àx)

^&o àS ày ÔY

^""âxàjr

àY

d*5 ôxàjr

àjr

et T =

équation

âz

àz "àS^

Iz-T

nne «nsuite

Soit présentement K = o, Téquation de condition trouvée dans i*ar-

ticle précédent entre /w, /i, /et leurs différences prises par rapport à a et à 6, pour que la valeur de 2, considérée par rapport à Tune des deux fonctions arbitraires, par exemple f (n), se termine après le deuxième terme; il s*agit de savoir si cette équation a lieu, sans avoir m, n eil en fonctions de o et de 6; pour cela, on substituera dans les expressions précédentes de w, n et /, au lieu de g- et j-> leurs valeurs que

donnent les équations (2) et (3); on aura ainsi m, n et /en fonctions de

àtn d^xs de d^

""' ^* ày' W' ày ^^ ây^'

mais l'équation K = o» renfermant les différences de m^ n et /, prises par rapport à a et à 6, il faut connaître ces différences; supposons con-

séquemment qu'il s'agisse d'avoir la valeur de ^; on différentiera

l'expression de m par rapport kx et par rapport à y^ ce qui donnera

- dm - àfn .

dm = -T— ax -+- -T— dy ; dx ày ^

donc

dm dm dx dm d^ ^

dus dx dïïs dy dfs*

on doit observer que les termes tels que

dxdy ây*dx dxdy dy^dx

qui se rencontrent dans les quantités ^ ®^'^' peuvent être éliminés

au moyen des équations (2) et (3), en sorte que ces quantités seront réduites à être fonctions de

dm^ d^ d^ d^ ù^ d^^ ^

dy^ dy* ' dy^ dy ' dy^ dv^ *

mais 0 étant supposé constant, on a

àO . de .

o = -V- dx '\' -r-dy dx dy "^

-T- dx , ax

on a ensuite

— — — — ax

j àw j do - dm , OY dx

€PO= -r- dx -Jt- ^^ dv =z -T- ax = — ^ y

dx dv " dx dO

ilonc

dx dv

&B d^dS ^d^ dS' dx dv dv dx

et changeant x en v. et réciproquement, on aura

Ovs

dus dS

d'BS

de'

éliminant ensuite 3- ^^ y au moyen des équations (2) et ( 3\ on auni

'-.— en fonction de

d^ «^ d^ dS^ d^ <^p,

' " ' dv^ dv** dv^^ dy^ dv* dr**

on aura par un procédé semblable les valeurs de

de'

dvs*'

dmd'j'

CfCJ

dfD

Têquation K = o deviendra ainsi fonction de

dss d*^ de

dy dy* dy

t^ en réduisant tous les termes au même dénominateur, et faisant égale ii zéro la somme de tous les numérateurs* on aura entre x. >\ -j-*

w-çT de

.il» d

—y ••' une équation, rationnelle et entière par rapport aux

AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. hi

différences

dm d*Gj de â^e

Considérons présentement un terme quelconque

dy** dy''-^ uy

de cette équation de condition que nous nommerons (K). H sera fonction de a; et de j'; mais les équations (2) et (3), qui servent à déterminer CT et 0, en x et j, étant aux différences partielles du premier ordre, il est clair qu*on peut changer a dans une fonction quelconque arbitraire de a, et 6 dans une fonction arbitraire de 6; que Ton change

conséquemment cj en ?(nj), et ô en ^(^), le terme H^-;^-- • en produira un de cette forme

lequel doit être séparément égal à zéro, puisque les fonctions 9(17) et ^(6) sont arbitraires; on aura donc H = 0, et, puisque a? et j sont indépendants l'un de l'autre, l'équation H = o sera identique; d'où il suit que l'équation de condition (K) doit être telle, que les coefiicie#ts do chaque terme y soient identiquement égaux à zéro. Si les intégrales des équations (4) et (5) sont possibles, mais qu'il soit impossible, par les procédés connus, d'en tirer j? et j en fonctions de xs et de 0, on aura facilement l'expression de s par les quadratures des courbes.

Pour éclaircir par un exemple la méthode de l'article VII, considérons l'équation aux différences partielles

""ày

~ dx^

dxdy

^Oy^

hx-\-fy

hx-^fy

x + fyY

a, b, c, e, h^f eiK étant constants; cette équation est d'autant plus

OEu^rts de L. ^ \X, 6

remarquablo, quVIlo renferme les lois de la propagation du son, en y supposant T = o, el en déterminant d'une manière particulière les

constantes a, A, r,

Pour rintégrer, on changera les variables â? et^ en d*autres o et 0, telles que Ton ait

re qui donne

5 = X ( - irt — Vî«*— à) -^y.

d'où Ton tire

.r^ - - - et V r^ ;

on aura ensuite

Va «

partant, si Ton fait, pour simplifier,

2 e — ac ->rC \Jà^ — (\b , 2 e — ac — c sja} — (\b ,

2(4^ — a*) ~~^' 2(4^ — rt«) —^^

K' et T7r^.=T'^

en supposant d'ailleurs que Ton ait substitué dans T, au lieu de x et de j, leurs valeurs en xs et 6, on aura

, dz ,dz

d'z "^ d^ ^ dO K'z

soit encore h'n = u' ct/'O ^ 0', on aura

ôm'^ m' âe -^^ dB' ®^ 'dmd^~'^ dm' ÔO''

on aura ainsi

, dz fâz

d^z ^ dxs' ^ d^ K'z T

dfn'de' fi^-^O') h'(xs'-^e') ' fh'{js'^Q'y^ fil"

Téquation proposée sera donc ainsi réduite à une équation de cette forme

dz dz

/^x d^z dm dO cz ^

^ ' dujdO cy-h6 m-hô (gj -h ô)«

a, 6, c étant des constantes qui ne signifient plus la même chose que précédemment. Pour l'intégrer, on fera, suivant la méthode de l'article VII,

dO^js^e et l'on arrivera à une équation de cette forme

drsd^i'^ ^-{-0 dm "^cj-f-ô de "^ (gj-h 0)« "^ ^^*^'

on faisant encore

et, continuant d*opérer ainsi, on arfîvcra à une équation de la forme suivante

drssdO m-^Bd^js-^QdB (w-f-ô)

é^^ ftc) et 6^^ étant des fonctions de r, qu'il s'agit de déterminer. Soit

(^5 cy-+-ô

et Ton aura

(cr)

d'où l'on tire

En différentiant cette équation par rapport à 0, et ajoutant à cette

équation ainsi différentiée l'équation elle-même multipliée par g>*

on aura, en observant que

dO en- 0

Zir)^

(J'st»-*-») a<'')4-Q r^5('*+») ^<''> ^5<''+'>

GJH-Ô dÔ

mais on a

drsOh Ts -^-0 drs

donc, en comparant, on aura

Gj-hÔ à^

(GT-+-Ô)'

'" dQ ^ m-hS '

Téquation aux différences finies a^'^"*"'^= a^''^-h 2 donne, eh Tinlégrant,

A étant une constante arbitraire; pour la déterminer, j*observe que, r étant nul, on a

donc

l'équation

donne

et Téquation

donne

en intégrant, on a

A=^a el a^**^ =r rt 4- ar;

cC-*-») — c^Oziza-h 6-h ar;

A étant une constante arbitraire; or, en faisant r= o, on a donc

A=:c et c<''^=: c-h (a -h 6 — i)r-hr*.

Pour que l'expression de z soit possible en termes finis et délivrés du signe j, par rapport à la fonction arbitraire 9(0), il faut qu'en supposant T = o, et n'ayant égard qu'à la seule fonction arbitraire ç(tj), on ait ja;^'''**'^=o, r étant zéro ou un nombre entier positif; l'équation (a) donnera, dans ce cas,

en substituant au lieu de a^''^ 6^''^ et é^^ leurs valeurs, on aura

d'où Ton tire

Si Tune ou Tautre des valeurs de r est zéro ou un nombre entier positif, la proposée sera intégrable en termes finis et débarrassés du signe / , par rapport à la fonction arbitraire 9(c7); en changeant a en A. et réciproquement h en «, dans cette expression de r, on aura

a — it — \ rz\[,ft -^ a — i )* — \c

et si l'une ou l'autre de ces expressions de r est zéro, ou un nombre entier positif, la proposée sera intégrable en termes finis et délivrés du signe / , par rapport à 1a fonction arbitraire '^(0): mais si aucune des quatre valeurs de r n'est zéro, ou un nombre entier positif* on sera sûr alors que l'intégrale est impossible en termes finis, comme nous le flémontrerons ci-après.

Supposons maintenant que l'on ait

Téquation (a) donnera

O =z — - - uT r';

pour déterminer T*^, on observera que l'on a, par ce qui précède, el si Ton tait successivement r - o, i - i . = 2, . . ., on aura

♦^T ■ «î - -4-,. .^-T > :: — .>^t?T \ii — 1 \*i — 3^

T^ - / -"îT ■■ - -.: > 1.::. :-i ^i: . - j;

en continuant ce pnHvdo, on aura l'expression de T': si Ton intègre

ensuite Téquation précédente, on aura

4'(0) étant une fonction arbitraire de G; Téquation

~ âO m -h 9

donnera

5(r) (ç,^ 0)-(a-hîr) j ^(ç,) ^JciO(T3-h ô)«-+-*'-~^[vj;(ô) —fT''^(xn -h 9)^ cfcj] |,

9(0) étant une fonction arbitraire de u; ayant ainsi s^'"^ on aura^^par l'article VII,

,. -. C^ TiJ -h 0 •

ah,'—a — C'\- (6 — a — i)(r — 1) — (r — i)*

ab — a — c-^-i^b — a — i)(r — 2) — (r — 2)*

et ainsi de suite jusqu'à z.

J'ai supposé, article VII, que l'expression complète de -s, considérée par rapport à l'une ou à l'autre des fonctions arbitraires ^(ct) et 4^(0), était débarrassée du signe intégral; je vais présentement discuter les cas dans lesquels ces deux fonctions sont nécessairement enveloppées sous ce signe : si l'on fait, pour plus de simplicité, T = o, on aura (article VII), en ne considérant que la seule fonction arbitraire ç(cy),

5 = A9(GT)-f- A'<pi(cy) -h A''9,(cy) H-. . .

-h ey C 9(iiy) cfcj H- B'^ C cp(GT) e/d -4- . . .

-+- D^E^eyF cp(Gi) €fc 4-. . .

Je suppose d'abord qu'il n-'y ait que des termes affectés du simple

signo / , on aura

z=z\ 9(cy) 4- A'çi(cy) -t- A" 91(01) -h. . .

S'il n'existe qu'un seul terme affecté du signe /, en sorte que le terme B' fc ^{x3)dxs et les suivants soient nuls, en substituant au lieu (io :; cette valeur dans Téquation

d^z ôz dz ,

on ^ura une équation de cette forme

fâB

\âU3

'ïBJJ -^9(GT)r/Gj

... dB

Si la quantité ^ 4- nB n'est pas nulle, en faisant

on aura

ûwdO

dfss

/tB

-T— -h /lis (PS3

ÔB

/iB

(>.) r~ <f(m) dus ■+■ KfC<f(v3) dis = M <p'(ro) + M' ç(8j) -l- . . . .

En'différcntiant cette équation par rapport à u, on aura

^9(^)-+-5^/C?(iiT)^ny4-KC9(ny)=:M9«'(iiy) + (^H-M')9'

(lîj) 4-. . ..

Si ^ n'était pas nul, il est clair que / C(f(zs)dzs serait donné en

quantités débarrassées du signe j, ce qui ne peut être; donc -r— = o;

partant, K ne peut être fonction que de 6; on peut ainsi le faire passer sous le signe y dans le terme Ky C<p(cj)rfcj; Téquation Çk) devient alors

En la multipliant par e^^^dQ, e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on aura

en intégrant cette équatic^ par rapport à 6 et faisant on aura

y* e/**^C 9(w) rfcj = N 9'(fij) -f. N' cp(w) -t" . . . ; donc

équation impossible, puisque / C<p(cj)rfcj ne peut être, par hypothèse, donné en quantités débarrassées du signe f, par rapport à la fonction arbitraire ç(tT).

De là, il suit que Ton a

dB ^

-—2 -h nU =zo;

or on doit avoir en même temps

d*B dB dB ,„

car autrement Téquation (y) donnerait

JCc^(r,)dm^-^ ^g ^B— -'

Œuvres de L, — IX. 7

ce qui ne peut avoir lieu; maintenant, puisque Ton a

â^B ôB àB ,„

0V OQ 0V Qv

il est clair que Téquation 5 = Bi{/(0) satisfera à Téquation (Z), en sorte que Texpression de s sera délivrée du signe /*, en n*aytBl é^rd qu*à la fonction arbitraire '>{/(0).

Ce théorème important a également lieu« quel que soit le nombre des termes affectés du signe / ; et« quoique nous n*en avons considéré qu*un seul, cependant la dêmonsti^tion précédente s*étend au cas d*un nombre indéfini de termes semblables; mais, comme elle exige pour cela quelques artifices d^analjse assez délicats, je vais rappliquer au cas dans lequel Texpression de s renferme deux termes nécessairement affectés du signe / , par rapport à la fonction arbitraire fia).

On aura pour lors en sakslitsant cette valeur de s dans Téqvation

OB aun une équation Je cette forme

or il peut arriver plusieurs cas que nous allons discuter Bépari^ ment :

i^ Les deux équations

o=^--+-/iB',

(7GJ

Oïs ou ats OQ

peuvent avoir lieu en même temps; il est visible qu'alors Téquation z = B'^(O) satisfait à l'équation (Z), et qu'ainsi l'intégrale de cette dernière équation, considérée par rapport k la fonction arbitraire v(/(6), est délivrée du signe T.

2® L'équation

o=^'^nB'

otn

ayant lieu, il peut arriver que celle-ci

d'B' dB' dB' ,,

n'ait point lieu; dans ce cas, l'équation (F) donnera pour fc/ ff(zs)dxs une expression de cette forme

^ 9 (bj) flfcj -h M ç'(gt) -+- M' <p (cj) 4- . . . ;

l'expression de z peut être ainsi mise sous cette forme

/ *=:A9'(fij)-i-A'?{w)4-A'<pi(fij)-f-...

r r êc