I -4-H / C<p(fij)ûfcj-i-fl' / ^<^(m)dw

(¥-) „ r. . . . ^. râc

3® L'équation

OfO

sa RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

peut ne pas avoir lieu; en supposant dans ce cas

1^ dus âO. dw d6

-7— -h/iB'

^f dtn âO dfs dO

" âW

•3-- -h/iB'

^^'^ i +K' fc<f{^)da + K' f^<f(v3)dw

\ =M(p'(6j)-(-M'9(bt) 4-M'<Pi(bt)+. . .;

en différentiant par rapport h tz, on aura

-f- K'C (p(cj) -h -^ ^-^9(51) ^Bj -4- K'-^ 9(w)

= M9'(ni)-4-(^H-M')9'

Si ^ n'est pas nul, on aura une valeur de / C(f(rs)dfSf qui, substi-

tuée dans l'expression de 5, la rendra de cette forme

Iz = A <p'(m) -^ A' <^'{m) -^ A' <f{m) -^ A" ^t{rs) -\- . . .

si Ton a ^-- = o, K sera fonction de cr sans 6; or, si dans ce cas -3— et

(PG3 OtB

-T— ne sont pas nuls, l'équation (V) sera de forme analogue à celle

de l'équation Çk) de l'article précédent; ainsi, en y appliquant le raisonnement que nous avons fait dans le même article sur l'équation Çk), on prouvera que jCç(cj)r/CT peut être débarrassé du signe y , ce qui est contre l'hypothèse; K, K' et K" doivent donc être fonctions de 0 seul; on aura, cela posé.

En multipliant cette équation par e^^*^d^f on aura

fK'CeS^'^(f{w)dwde-^fK"^ef^(p(w)dmde==lAeS^^(f'(xs) et, en intégrant par rapport à 0, on a

fCeS^^^{m)dm^ Cr:^{fs)dwfK'CeS^^dB

■ f^{fsj)K''Ce^^'^dm- f<p{w)dm fc^ef^^dO

^c^'(ts) fMef^^de-i-... .(*).

Soit

( > ) U faudrait ajouter au premier membre de cette équation le terme

--fff{m)dmfK'CKef^<^d^,

iï RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

on aura

1*9 (ro) «feK' Ce/««rt = IK'e/"» r ^ f (» ) <Ad,

parce que IK'e'*^, étant fonction de 0 seul, peut être mis hors du signe A partant

On a ensuite

substituant ces quantités dans l'expression précédente de z^ elle prendra la forme que donne Téquation ([x'), et comme cette forme renferme celle que donne Téquation ([x), il en résulte généralement que Texpression de s est débarrassée du signe f , par rapport à la fonction arbitraire ^(O)^ ou que, si cela n'est pas» elle est de la forme suivante, par rapport à la fonction arbitraire 9(0),

H- H fc 9 ( w) At -h H' r ^ 9 (nj) At.

Cette valeur de s substituée dans l'équation (Z) produira une équation de cette forme

= L o'(bj) + V 9'(bj) + L' 9'(a>) -4- . . . .

Supposons d*abord que la quantité -ç- -f-/iH' ne soit pas nulle; en faisant

-f- m-r hn-rTT "h /H' 4" -:: h /iH

dm dn an ,„

àïïj

on aura

= M<p'^(fij)-hM'9'(fij)H-...;

en difierentiant cette équation par rapport à a, on aura

+ K |g 9(01) -h ^' /c ?(ro) <fe + K'C <p(lB) = M <p"'(Bj) + . . . .

Si ^ n'est pas nul, on aura / -^ç(cj)6fe par une équation de cette forme

et l'expression de z sera ainsi réduite à ne renfermer plus qu'un seul terme affecté du signe / , ce qui est contre l'hypothëse.

Si, -T- étant nul, ^ ne Téts^it pas, on aurait rC(f(fs) du en termes

délivrés du signe y , ce qui est encore contre l'hypothèse ; donc on a

-j- =ro et -xi: =0;

(7GJ CRU

partiiiil, K et K' sont fonctions de 0 seul; on aura ainsi

En multipliant cette équation par (x^fô, [x étant fonction de 6 seul, on aura

or il est toujours possible, comme Ton sait, de prendre {jl tel que

^i^^ dO -^ IxK^ d9 -h ixK'C dQ

soit une différentielle exacte et égale à ^( (^^ -^ *C j, a étant fonction

de 0 seul; il suffit pour cela de déterminer fx et a, de manière que l'on ait

àa

Kf-^ + «

si Ton intégre Féquation (V) par rapport à 0, on aura

J9(w)cfcjh

àC

donc

C^^-f^'iw) Chkiide-^...,

r^?(cy)*T = — ^rC9(iiy)£te H- 9^cj)^yMfX€/Ô -+-...;

l'expression de z se trouvera donc ainsi réduite à ne renfermer qu*un seul terme affecté du signe T, ce qui est contre l'hypothèse. Supposons maintenant que Ton ait

on aura pareillement

Bnt

dtn

âwde

dR'