VIU. JO

7i RECHERCHES SUR L'INTÉfiRATlON

est (lu premier ordre, celle-ci

esl du second ordre, et ainsi de suite.

Comme dans la suite j'aurai besoin de caractéristiques pour désigner la diflërence finie des quantités, leurs intégrales finies, le produit de tous les termes d'une suite, je me servirai pour cela des suivantes.

La caractéristique A placée devant une quantité en désignera, comme ci-dessus, la diflërence finie : ainsi AH^. exprimera la difierencf*

finie de H^; la caractéristique 2] placée devant une quantité en désignera l'intégrale finie : ainsi J^Hj. signifiera l'intégrale finie de H^^;

enfin la caractéristique V désignera le produit de tous les termes d'une suite: ainsi VH^. représentera le produit H,H2H3...Hjp de tous les termes de la suite H, , H2, H,, . . . , H^.

Problème 1. — L'équation différentielle du premier ordre

étant donnée, on propose de l'intégrer.

Je fais dans cette équation jx= "x^Hj.; elle devient

//;, VH^rrr. H^ f/^, VH^ , h X^;

mais on a

partant

H,nu,=rvn,,

it,, — Uj-^x -\- ^^ ou A//^ - , — ^-^j?- ;

et, comme cotte équation a lieu quel que soit a\ on aura

partant, en intégrant,

Â étant une constante arbitraire. On a donc

^. = 7B.(A.2fe)-

Si H^ était constant et égal kp, on aurait

VE.^p- et y,=p^(x^^^;

Problème II. — L'équation différentio^ifférenlieUe

étant donnée, on propose de l'intégrer.

Je fais

oLjp et T^ étant deux nouvelles variables, et j*en conclus les équations suivantes :

yx-i = «*-trar-jH-T;c-„

7x-«4-l — ^x— n-t-l yx-n "^~ * x-n-Hi »

je multiplie la première de ces équations par — *ê, la deuxième par — ^6, la troisième par —'6, ... et je les ajoute avec l'équation (C); ce qui me donne