II
-^'Hx,
De là on conclura
«6= Hx-ax,
»S =: *Hx 4- fltx- 1 Hx— «x^x-i»
'6=:*Hx4-ax-i.'Hx+«x-i«x iHx— «x^x-iax-j»
"-•6 = —'IIx -t- Xx-»+i ."-'II, -H «x « 4 j ax-,-> .» -*IIx + . . .
** 3f j: - 1 • • • flCjp- «-H — — 9
à cause de Téquation
on aura donc, pour résoudre le problème, les deux équations suivantes :
I Tx= (Hx- «x) Tx-,-H (»Hx4- «x-i Hx- «x«x-i)Tx-,-t-. . .
\ «x-rt+l
HIIT s If »-11î
«X «x^x-1 «x5fx-i^x-î ^Cx... «X-/H-1
Les équations (D) et (E) sont d'un degré inférieur à la proposée, et l'équation (D) est de la même forme; or il n'est pas nécessaire d'intégrer généralement ces équations pour intégrer l'équation (B) du problème; il suffit de connaître pour ta^ une quantité qui satisfasse à l'équation (E). Je nomme SxCette valeur; on la substituera dans l'équation (D), que je nomme (D') après cette substitution, et l'on cherchera l'intégrale complète de l'équation (IV); ensuite, au moyen de Téqua-
tion 7x= ^xyx-t + Tx« on conclura, en intégrant par le problème I,
^.= Vi,(A-^2fe)'
A étant une constante arbitraire.
Cette équation est l'intégrale complète de Téquation (B), car, l'équation (D') étant nécessairement de l'ordre n — i, l'expression complète de Tx renferme n — i constantes arbitraires irréductibles; partant,
V5;p(A -+-2=y^] renferme n constantes arbitraires. Ces constantes sont de plus irréductibles, car VSj.^-f"^' en renferme n -— i d'irréductibles, et aucune d'elles n'est réductible avec la constante A.
L'expression précédente de y^ peut servir à faire connaître l'intégrale de Téquation (B) du problème; car, puisque l'équation (D') est linéaire, on peut supposer que l'expression de T^ a cette forme
T.=VX.(.A+2fe).
*T« dépendant de l'intégration d'une équation linéaire de l'ordre /i — 2; on a donc
yx=^àa:
^■A2?-fe:-2^]>
en continuant de raisonner ainsi, on verra que l'expression dey^ est de cette forme
7,= AVa,4- »AV'a,-f- «AV»d,4-. . . + «-»AV»-«da:-+- L^,
A, * A, *A, ... étant arbitraires.
Si l'on suppose X-p= o dans l'équation (B), il est aisé de voir, par la suite des opérations que je viens d'indiquer, que L^^. sera nul; ainsi, dans ce cas,
o« satisfait par la supposition pour a^ dans l'équation (E); 'd«, '^x, ... y satisferont pareillement; car, puisque l'équation y^ = V*S^,
78 KECUEKCilES SUH I/INTÉGRATION
par exemple, satisfait à l'équation (B) en y supposant X^ = o, on
aura
V 'o\ =--- II, V «d,., + 'H, V, -Ô,.., + . . . .
parti! nt
„ Hx 'Hx
Sv suppose, dans les équations (D') et (B), X;r= o; j'aurai les deux expressions suivantes de y^ :
(a) 7^=AVdx-h»AV'8^-h*AV«ô,-+-...-4."-»AV'-»d,.
Ces deux expressions, difTérentes en apparence, doivent réellement
coïncider; je suppose donc que Tintcgralc complète de l'équation (W)
soit
T^m 'AR^-+^ «A>R^-f^ . . . -r «-'A «-«K,;
on substituant cette valeur de T^r ^^"^^ Téquation (i)« on aura
h]n comparant cette dernière équation avec Tcquation (2), on aura
Oonc
Donc» si je sais résoudre Téquation (B) en y supposant X^= o, je saurai résoudre l'équation (D') en y supposant pareillement Xx=o. Soient alors i/^* *"x» ^"xf ••• les valeurs particulières dey^ dans l'équation (B), en sorte que son intégrale complète soit
on aura
et l'intégrale complète de l'équation (D'), en y supposant X^=o, sera
Présentement, si je sais intégrer l'équation (D') en y supposant X;^ quelconque» je pourrai» dans la même supposition» intégrer l'équation (B)» puisque l'on a» par ce qui précède»
="-(A-2fe:>
donc la difficulté d'intégrer l'équation lorsqu'on sait intégrer celle-ci se réduit à intégrer l'équation
qui est du degré n — i» et que l'on sait intégrer en y supposant X^=:o : on fera pareillement dépendre l'intégration de (D') de l'intégration d'une équation du degré n — 2» et ainsi de suite; d'où il résulte que l'équation
est intégrable dans les mêmes cas que celle-ci
yx = Vl^yx-i -h ... 4- *~*H,/;r-«.
Le procédé que je viens d'indiquer pour ramener rinlégralc de Téquation (B) a celle de Téquation (h) peut servir à démontrer la liaison qu'ont entre elles ces deux intégrales; mais il serait fort pénible de l'employer à intégrer l'équation (B). Il serait donc très utile d'avoir immédiatement l'expression générale de ^j^ dans Téquation (B), lorsqu'on a celle de l'équation (b).
Je reprends pour cela l'équation
— (-^-sl:::)
T^ étant supposé être l'expression complète de T^ dans Téquation (D').
Or, cette équation (D') étant de la même forme que l'équation (B), si
1 I « Ton nomme w^., *i/j., 'i/^., ... les intégrales particulières de T, dans
l'équation (D'), lorsqu'on y suppose Xj.^o, on aura, de la même manière et quel que soit X^.,
*Ta. étant l'expression complète de *T^ dans une équation de l'ordre /i — 2, que je nomme (D") et qui résulte de l'équation (D') de la même manière que celle-ci résulte do l'équation (B); on aura semblablement
et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on par\'ienne à l'équation du premier ordre
dont l'intégrale est Si l'on substitue présentement dans l'expression de j^ la valeur de
Tx en 'T,, celle de *Tx en "T,, etc., on aura
(K.) ,rx=«x A +
II faut présentement déterminer £/^, u^, ...; or on a, par rArticle précédent,
pareillement
on aura de même
ar-l
Wx-l
la formule (K) deviendra
si Ton ne connaissait que le nombre n — i d'intégrales particulières de ^xf dans l'équation
rintégration n'aurait pas plus de difficulté ; je suppose que ce soit l'intégrale ""•i£, qui soit inconnue ; puisque l'on connaît //^, '//j., . . . , "'^n^, on
OEmwrtn de L VIU. 1 1
connaîtra i/j., i/^, ...jusqu'à //j. exclusivement. Pour déterminer Wj., il faut intégrer l'équation
en supposant X^ = o, ce qui serait facile par le Problème I si Ton connaissait Sj. Pour le trouver, j'observe que, dans l'équation (D'), le coefficient de T^., est
à cause de
Pareillement celui de *Tc .,, dans l'équation (D"), esl
et ainsi de suite; partant,
^x — Il r — - -, - - - ... — jrii —
Si, au lieu de connaître l'intégrale de l'équation
on connaissait un nombre n ou // — i de valeurs pour aj., dans Téquation (E), les formules précédentes serviraient également, car, o^, *5j, ... étant ces valeurs, on a
La formule (0) n'a point encore tout le degré de simplicité que peut avoir l'intégrale complète dé y^?» c^ar on a vu (Art. IV) que cette intégrale a la forme suivante
il faut donc ramener l'équation (0) à cette forme; pour cela, je divise Téquation (0) par i/^, et j'en conclus, en la différentiant.
d'où l'on conclura, en divisant par A— ^^-^ et différentiant.
On aura donc, en continuant de différentier ainsi, une équation de cette forme
*A 4-2 H^-^ ^y^r*-*- %7*-t-^V*y^-«-+---+"~V*7*-«-Hi,
Tx» *Yx» ••• étant des fonctions de m^., ^tt^?» ••• et de leurs différences finies. J'observe maintenant que, pour former les valeurs de i/^, u^,
Ux^ •... j'ai considéré (Article précédent) les quantités Uj.^ *w^, ^u^., ... dans cet ordre
^Xi ^X9 ^^X9 • • • » ''x î
mais si, au lieu de cela, je les eusse considérées dans Tordre suivant
^xy Wj-, Uxf • • • > Wjp,
je serais parvenu à l'équation suivante
^x/t (Tx)» • • • étant ce que deviennent Ux, Ya?» • • • lorsqu'on y change Ux en *aa., et ^u^ en m^. Si j'avais supposé Xar-n = o, je serais parvenu
Sk KËCUEUCIIKS SUR L'INTÉGRATION
aux (Imix ('*(|uations
dans lesquelles la constante "~*A est visiblement la même, puisque j'ai supposé, pour former Tune rt Taulro équation, que la valeur complète do r^ est
yx~' A//xH- *AW/^-f-. . .4- "-^A^-W/j..
On aura donc, en comparant ces deux é(|uations,
'/x^'x'^ "/xyx- 1 -H ... -I- '/x^x n-t-t
— {'/x)yx'^ C'/x)yx^i-^- '-^ r-'yx)yx-n-^if
équation qui doit être identique; car, si elle ne Tétait pas, cette équation étant difTérentielle de Tordre // — i aurait cependant pour intégrale complète
yx= Awx-t- . . . -H " ^\ ."-V/^,
équation qui renferme n constantes arbitraires, ce qui serait absurde (Art. II).
On a donc
\ tix. l) "Xf-I
partant
('/ I \ ni
Ainsi l'expression de Uj. reste toujours la même, soitqu*on y change lij. en V/j., et *Uj. en z/^; on s'assurera de la même manière que si dans
Ujp on change Uj. en *//^, et ^//, en Uj,; ou ^/^ en *//j., et *Wj. en *//^, et {généralement *//j; en 'w^., et '//j, en *z/j, X' et i étant moindres que n — i ,
Texpression //j. restera toujours la mémo, et qu'ainsi, quelque ordre que Ton donne aux quantités w^, *//^, ^//^, ... pour former //j., cette expression restera toujours la mémo, pourvu que "~'//x soit considérée
comme la dernière de ces quantités, /i-i Je fais w^^., = " '^x^-i; ensuite, au lieu de considérer "'//«: comme
la dernière des quantités u^^ *Ug,, ..., je suppose actuellement que """*ii^ soit cette dernière; soit"'~*jSaH., ce que devient alors ""^^^y+i, c'està-dire lorsqu'on y change "~*i/aï en ""*«-»» et '^"^u^ en ""^w^p. On aura, par un procédé semblable au précédent,
T«f *^xf • • • étant ce que deviennent y^t 'Ta?» • • • lorsqu'on y change '*~*Ma. en ""^Ma? et "~^Ux en ""*i/j.; on aura pareillement
''"*5a^^^» Ya?t *Y» étant cc que deviennent ""'js^p^.,, y^?» *Yar» ••• lorsqu'on y change "~*i/x en """•ii, et ""'w^? en """^Wa;. Cela posé, en disposant dans l'ordre suivant toutes les équations que l'on peut former ainsi
"^•A 4-2^rï7^ = yx/ar+V«7x-i4-'yx/«-j4-. .. 4-"-Vxrx-«-hi^
. . , " *A 4- X TITI — fxjx-r- rxjx-i-r- fxjx-t-T-- "-T- txjx-n-i-u
'^'^Z^irr^^^yxyx+^yxyx-i'^^yxyx-t'^" . 4-"-*y*rx-i
A i.v2^î±j -. ' ya? y . 'yj? y I 'y* y .^ i-UZîv
et les ajoutant ensemble, après avoir multiplié la première par "'*i/^, la seconde par ""'e/^r, etc., enfin la dernière par i/^, on aura une équation de cette forme
ce qui donne, en faisant X^^, = o,
86 RECHERCHES SUR LINTËGRATION
mais on a dans ce cas
partant
Or cette équation doit être identique, car autrement, quoique de Tordre n — i, son intégrale renfermerait les n constantes arbitraires que renferme Texpression complète de j,; on a donc pour l*intégrale complète de Téquation (B) du Problème II, quel que soit X.
■'■'-"{' -It:^)
-;-"-vi« 'A.h2,7.?!"-)-
De là résulte cette règle fort simple, pour avoir l'intégrale complète (le l'équation
yx—Uxj'x 1 -h'Uxyx-i-^-' "-^''-'llxyx-n-^' X,, lorsqu'on sait intégrer celle-ci :
Yx-- H^Jjr-l -»- *Ux.Vx-2 4-. . . H- "-^Hxyx-^n-
Soit
>'j.r^ A Ujc 4- *A Uljc -H -A 'ti^ -f- . . . 4- "-'A "-^Ux
l'intégrale de cette dernière, et que l'on fasse
lijc-i Wx-i
jusqu'à ce que l'on parvienne à former w^, soit i/^="-*3j.. Si, dans
l'expression de ""'«x. on change ""'«» en "''Uj, et "~*«x en "''Ujc, on formera ""•««,; si, dans la même expression de "''z^, on change "~*Uj. en ""*«,, et réciproquement ""'m^ en "~'«a,» on formera "~*Sa,, et ainsi de suite; l'intégrale complète de l'équation
(B) Vx=Hxj'x-i-+-'H,/x-t-4--- -(-"-'H^^x-B+X,
sera
Je reprends maintenant les équations (>) de l'Article précédent; elles donnent
si l'on multiplie la première par "~*i/j., la seconde par "-^Wj., ..., on aura, en les ajoutant ensemble, une équation de cette forme
donc
x* yx+i ■+" ^x yx-k-1 -t- ...-+-'*"" Ax ^x-rtH-t =^ j'x»
équation qui doit être identique; partant,
On trouvera pareillement
et ainsi de suite jusqu'à ce qu*on parvienne à cette dernière équation inclusivenient.
Yx
Toutes ces équations étant l'intégrale complète de Téquation (B) sont identiquement les mêmes; en les comparant ensemble, on formera les équations suivantes :
Jj!x
L'intégration de l'équation (B) du Problème II étant réduite à l'intégration de cette même équation lorsque X^= o, il ne s'agit plus pour résoudre le problème que d'intégrer celle-ci, mais cela parait très difticiie en général; ainsi je me bornerai aux cas particuliers. En voici un fort étendu, dans lequel l'intégration réussit, et qui embrasse tous les cas déjà connus; c'est celui dans lequel on a
Si îpjj.= r, on aura l'équation des suites récurrentes.
L'équation (E) de l'Article IV devient dans ce cas
Or (Art. VI), il suffit pour intégrer l'équation (B') de connaître un nombre n de valeurs pour a^. dans l'équation (E'). Soit donc 0Lj. = a^x^ a étant constant, et l'équation (E') donnera
d*oîi l'on aura un nombre n de valeurs pour a, et par conséquent pour
a<p, puisque a^ = a Ça:.
Soient/?, *p, */?, ..., "^*p les différentes valeurs de a dans l'équation (h). On aura (Art. IV)
8x = P9xf **a: = */?9x» *ix = ^P9x9
Or on a (Art. V)
Ux=V 5x=9i<pi93...9x />',
L'intégrale complète de l'équation (B') est donc
On déterminera les constantes arbitraires A, ^A, ^A, ... au moyen de n valeurs de /^, dans autant de suppositions particulières pour ce. Soient
et l'on aura
