AUX DIFFÉRENCES FINIES LEUR USAGE DANS LA THÉORIE DES HASARDS

Mémoires de l'Acadim» Royale des Sciences de Paris {Savants étrangers), année 1773, t. VO, 1776 (>).

Les premières recherches que Ton a faites sur la sommation des progressions arithmétiques et sur les progressions géométriques renfermaient le germe du Calcul intégral aux. différences finies à une et deux variables; voici comment : une progression arithmétique est une suite de termes qui croissent également, et il fallait en trouver la somme d'après cette condition; il est visible que chaque terme de la suite est la différence finie de la somme des termes précédents, à cette même somme augmentée de ce terme; on se proposait donc de trouver cette somme d'après la nature de sa différence finie; ainsi de quelque manière qu'on y soit parvenu, on a véritablement intégré une quantité aux différences 6nies. Les géomètres qui sont venus ensuite ont poussé

des carrés et des

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puissances supérieures el entières des nombres naturels; ils y sont parvenus (l'abord par des niétbodes indirectes : ils ne s'apercevaient pas que ce qu'ils cbercbaient revenait à trouver une quantité dont la diflerence finie était connue; mais sitôt qu'ils ont eu fait cette réflexion» ils ont résolu directement, non seulement les cas déjà connus, mais beaucoup d'autres plus étendus. Kn (général, 9(^) représentant une fonction quelconque de la variable .r, dont la dilTérence finie est supposée constante, ils se sont proposé de trouver une quantité dont la ditlerence finie soit égale à cette fonction, et c'est l'objet du Calcul intéj^ral aux diiïérences finies à une seule variable.

Pareillement, la recherche du terme {][énéral d'une progression géométri(|ue revient à trouver le .r'""« ternie d'une suite telle que chaque terme soit à celui qui le précède en raison constante. Soient y^^^ le (.r - I )'••"*« terme et Vj. le a**'"** t(»rme : la loi de la suite exige que Ton ait Vj, = /> Vj 4, quel que soit .r, p étant constant. Or il est clair que, de quelque manière que Ton soit parvenu a trouver v^., on a véritablement intégré l'équation aux diiïérences finies v^ = /?j'jp,. Ensuite, on a généralisé cette recherche en se proposant de trouver le ternie général des suites telles que chacun de leurs termes soit égal à plusieurs des précédents multipliés par des constantes quelconques; ces suites ont été nommées pour cela récurrentes. On est parvenu d'abord à trouver leur terme général par des voies indirectes, quoique fort ingénieuses; on ne s'apercevait pas que cela revenait h intégrer une équation linéaire aux différences finies; mais, lorsqu'on eut fait cette réflexion, on essaya d'appliquer à ces équations les méthodes connues pour les équations linéaires aux diflérences infiniment petites, avec les modifications qu'exige la supposition des différences finies, et Ton résolut de cette manière des cas beaucoup plus étendus que ceux qui l'étaient déjà.

M. Moivre est, je crois, le premier qui ait déterminé le terme général des suites récurrentes; mais M. de Lagrange est le premier qui se soit aperçu que cette recherche dépend de l'intégration d'une équation linéaire aux différences finies, et qui y ait appliqué la belle méthode des coefficients indéterminés de M. d'Alembert (voir le Vol. I des

Mémoires de Turin). Je me suis proposé ensuite d'approfondir ce calcul intéressant, dans un Mémoire imprimé dans le Tome lY de ceux de Turin; et depuis, ayant eu occasion d'y réfléchir davantage, j'ai fait sur cela de nouvelles recherches dont je rendrai bientôt compte. Je dois observer ici que M. le marquis de Gondorcet a donné d'excellentes choses sur cette matière, dans son Traité du Calcul intégral, et dans les Mémoires de l' Académie.

Il n'était question jusqu'alors que des équations aux différences ordinaires et des suites qui en dépendent; mais la solution de plusieurs problèmes sur les hasards m'a conduit à une nouvelle espèce de suites que j'ai nommées récurro-récurrentes, et dont je crois avoir donné le premier la théorie et indiqué l'usage dans la Science des probabilités (tx)ir le t. VI des Savants étrangers) (*). Les équations dont ces suites dépendent sont à peu près, dans les différences finies, ce que les équations aux différences partielles sont dans les différences infiniment petites; ce que j'ai donné sur ces équations n'est qu'un essai : en les approfondissant, j*ai vu qu'elles étaient fort importantes dans la Théorie des chances, et qu'elles donnaient une méthode de les traiter beaucoup plus généralement qu'on ne l'a fait encore : c'est ce qui m'engage à les considérer de nouveau; mais, les nouvelles recherches que j'ai faites sur cet objet supposant celles que j'ai déjà données, je vais reprendre ici toute cette matière.

On peut concevoir ainsi les équations aux diflerences finies; j'imagine la suite

/ij j't» y%y /4» yi9 • • • » /x»

formée suivant une loi telle que l'on ait constamment

(A) ^x-^xyx-^-'^x^yx'^' Px AVx-+-. . .+ Sx A»7»;

les noiïibres i, 2, 3, ..., â?, placés au bas des j, indiquent le rang

(«) roirp. 5.

7â KËCHEUCIIES SLH l/IM KGUATION

qu'occupe y dans la suite, ou, ce qui revient au même, l'indice de la série; les quantités Xj., M^, iN^, ... sont dos fonctions quelconques de la variable x^ dont la dilierence es( supposée constante et égale à Tunité. La caractéristique A sert à exprimer la différence finie de la quantité devant laquelle elle est placée, comme dans TAnalyse infinitésimale la lettre d exprime la différence infiniment petite des quantités. Cela posé, Téquation précédente est une équation aux différences finies, qui peut généralement représenter les équations de ce genre, où la variable Xx ^^ ses diflerences sont sous une forme linéaire.

Quoique j*aie supposé la différence constante de x égale à l*unité, cela ne diminue en rien la généralité de Téquation précédente (A);

car, si cette différence, au lieu d'être i , est égale à y, on fera — = x\

et y^ étant fonction de x deviendra fonction de qx'\ je nomme y^^' cette dernière fonction. Or on a, par bypothèse,

la différence constante de x' étant i. Pareillement,

et ainsi du reste. L*équation (A) sera donc transformée dans la suivante

dans laquelle la différence de x' est égale à Tunité.

On peut former aisément d'autres équations différentielles, dans lesquelles jj et ses différences entreraient d'une manière quelconque; mais celles qui sont comprises dans Téquation (A) sont les seules qu'il soit véritablement intéressant de considérer.

Avant que de rechercher à les intégrer, je vais rappeler ici un principe fort utile dans l'analyse des différences infiniment petites, et qui s'applique également et avec le même avantage aux différences finies: voici en quoi il consiste :

Toute fonction de .v qui, renfermant n constantes arbitraires irréttuc^

tibles, satisfait pour y tg dans une équation différentielle de l'ordre /i, entre X ety^g^ est l'expression complète de y^.

Par constantes irréductibles, j'entends qu'elles sont telles que deux ou plusieurs ne peuvent se réduire à une seule; il suit de là que, si une fonction renfermant n constantes arbitraires irréductibles satisfait pour j^ dans une équation différentielle de Tordre /i — i, cette équa-' tion est sûrement identique; car, si elle ne l'était pas, la fonction la plus générale de x qui pût y satisfaire pour y^ ne renfermerait que n — i constantes arbitraires irréductibles.

Pour la commodité du calcul, je supposerai que les quantités notées de cette manière, *H, *H, ..., ou *M, ^M, ..., expriment des quantités différentes et qui peuvent n'avoir aucun rapport entre elles; mais celles-ci, H, , H^, H,, . . . , H^, ou M, , M2, M,, . . . , M^, représentent les différents termes d'une suite formée suivant une loi quelconque, les nombres i, 2, 3, . . . , a? désignant le rang des H ou des M dans la suite. Cela posé, puisque l'on a

je puis donner à l'équation (A) cette forme

Xa: = -f-/ar(Ma:— Nx4-P,~...) -^7«+l(Nx— aPar-H...)

d'où il résulte que toute équation linéaire aux différences finies peut être généralement représentée par celle-ci

(B) yx=^xyx-i'^'^xyx-t^-^xyx-%'^'"'^''~^n^yx-n'^^x; l'équation