A/? 4-*A'/? 4-'AV +.. .4-""'*A

OEupret de L. — VUl. 1 2

90 UECIIRHCIIES SI l{ LINTÉf.H ATION

Vimv résoudre ces équations, ou peut faire usa^e des méthodes ordiuaircs d*élimination: mais eu voici une qui nie parait plus simple.

Je multiplie la première é(|uation par "~7^ ^^ J^ '^ retranche dr la seconde; je multiplie pareillement la secontle par ""'/?, et je la retranche de la troisième, et ainsi de suite, ce qui produit les équations suivantes :

'^1 ^i c^.i ^1 Oi

- - -. __ /i-iy, A/>"- >(/>— "-'/O V . . . :-" «A« »/;"-«(»-S/> — "-*/>).

•^i • • • 9" Vi ■ ■ • V'»- 1

Je multiplie encore la premiÎTC dr ces é(|uations par " -y?, et je la retranche de la seconde; je multiplie pareillement la seconde par""-/!, et je la retranche (h*, la IroisiiMue, re (jui <lonnt»

/i w/i -^,(«-3^, -«-'/OC--^/* -- ■' */)),

.L.n-2\ n-iptf^n-Zp n--\p^n-3p n-'ipy^^

en opérant sur ces dernières équations, comme sur les précédentes.

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, .ETC. 9i

on aura

et ainsi de suite.

De là il est aisé de conclure que, si l'on nomme :

/ la somme des qu«intités */^, ^/?, ^/>, . . . , ""*/?,

h la somme de leurs produits deux à deux,

I la somme de leurs produits trois à trois,

q la somme de leurs produits quatre à quatre, etc.,

*/la somme des quantités /?, ^p, '/?, . . . , "~*/?,

*A la somme de leurs produits deux à deux,

*{ la somme de leurs produits trois à trois, etc.,

et ainsi de suite, on aura

9i ?« ?3 • • • 9n 'pCp —P) Cp—'P)Cp-'^P)" . '

On peut déterminer d'une manière fort simple les quantités/, A, i, y, y, *A, *i, *y, ... ; je reprends pour cela l'équation

je la divise par a —p^ et l'équation résultante sera

Je multiplie cette résultante par a —p^ et j'aurai l'équation suivante

92 UECIIERCI1E8 SlIH L*1NTK(;RATI0N

je la compare avec Téquation (A), et j'en conclus

et, par conséquent.

J'ai supposé jusqu'ici que toutes les racines de Téquation (A) sont inégales, mais il peut arriver qu'une ou plusieurs de ces racines soient égales entre elles; voici dans ce cas la méthode qu'il faut suivre.

Je suppose que Ton ait/? — *p; on fera *p —p -h dp, et l'équation

donnera, en réduisant (p -f- dpf en séries.

Soient

,./ .rr//) ./•(.*• — \) dp^ \'\

B et I) étant des constantes arbitraires et finies; *A sera donc infiniment grand de l'ordre ^-; *A--^-» ^A^-, ••• seront infiniment petits. Partant

/x-?i?s.-?x[/?^(BH-l>^)-t-'AV + 'A '/>* + ...].

Si, de plus, on a p = ^p, on fera ^p—p^dp dans cette expression de Vr, et Ton aura

Soient

2A 4- B = »B, D h ^\ -^- : :']) et ^\ ''^'- rr: «E,

'6, 'D et 'E éfiant des constantes arbitraires et finies; on aura

j..= 9. «p, . . . ?« j jt»* ['B + «D ^ + «E ^^f^] 4- «A »/»« H- . . . j ; si de plus on avait /> = *p, on aurait

:K,= 9.<p,-9xj/>-[-B+'D:r-«-«E^^>-H'F"^"-'^;3"-^^]+*A*;>^-^..

et ainsi de suite; on déterminerait les constantes arbitraires, au moyen de n valeurs particulières de j^;.

Si Téquation (A) a deux racines imaginaires/^ et ^p, on fera

pz=ia-h b v/— I et *jP = ûj — b >J — i .

Soient

=:C0S^ et -=:Siny;

yjaa -h bb sjaa -h ab

on aura

A/>*4- »A '/>*= {aa h- ô6)' [a(cos^ 4- y/— ^ sinç)*-^ *A(cos^ — \f^\ sin^)*]

= (aa + 66)*[(A-4- *A)cos^a?-h (A--*A)v/--i sin^ar],

parce que

(cos^ dzv/— I sin^)*^: cos^a? di v^— i sin^x.

Soient

A-f-*A:=B et (A~^A)v/^ = *B,

B et *B étant réels; on aura

kp^-\- *A */?*=(aa-h ô6)»(Bcos^a:-4- *Bsin^^);

on aura donc alors

j*=9,ç,...(parL(^^ ■+" ^^)^(Bcos7J:-h *Bsin^a7) -i- 'A "/>*-+-.•• J ;

ce serait le même procédé s'il y avait un plus grand nombre d'imaginaires.

Si l'on suppose, dans les calculs précédents, 9^;= i» on aura le cas des suites récurrentes. De là résulte ce théorème :

94 KECHERCHES SUR LINTÉGRATION

Si l'on nomme Yj. le terme général (tune suite récurrente^ telle que l'on

ait

Y — rV -I- M'Y i-rt-^l'Y

le terme général dune suite telle que ion ait

et dans laquelle les constantes arbitraires qui viennent en intégrant sont les mêmes que dans la précédente, sera

Cest ce dont il est facile de s^assuror (rnilIcMirs; car, si i*on substitue cette valeur de j', dans Téquation

y x~ ^''^xy X -\ ~~ • • ♦ on aura

partant

équation qui a lieu par la supposition.

Lorsqu'on a, par l'article précédent, l'intégrale de Téquation

en y supposant X^= o, il est facile de conclure cette même intégrale, X^ étant quelconque. Pour cela, j'observe que, puisque, Xj. étant nul,

on a

j'^r:r 9i9,...9.aA/;'-u'A»/,^-u... : «-»A''-V>'),

on aura, par l'Article V,

d'où l'on conclura, par l'Article VU,

et ainsi de suite, partant

"«Îh-i— '-'=»+. — ?i?t- ■■?*+.(■'■''/' —A») ("''/' — V) C"'/' ~ '/')■■ ''"'/»'~''^': pareillement

d'où l'on conclura, en substituant ces valeurs dans la formule (II) de l'article VII et faisant Xj;= 9,9,. ..fp^'X^ pour abréger,

'' (p-'p)ip-'P)iP-'P)- V -^ F'*')

Si /» = '/?, on fera '/» =/> + dp. Soit K = t

aura Bett

96 RECHERCHES SUR LINTÉGRATION

Si, de plus, on di p = ^p, on fera, dans cette dernière expression de y^f ^P =P -+- dp^ et ainsi de suite.

On peut donc intégrer généralement toutes les équations diflerentielles comprises dans la forme suivante

d*où il résulte que, si Ton désigne par 0^ une fonction quelconque de a', Téquation suivante

est généralement intégrahie, puisqu*en faisant 0,;Kx=^x cette équation est de même forme que la précédente.

Voici maintenant une autre espèce d'équations diflerentielles linéaires, dont l'ordre dépend de la variable x\ soit, par exemple,

yx --- ^x-i jx-i -^ f'x ' lyx-t -+- fx-^yx- % -»- X,

-f- «X-* rx--4 -H />x-6.>'x-5 -+- /x-e7x-«

-+- ^X-^yx -7 -r- ^X-8/x-» -^ . . .

Il est facile de ramener ces équations à la forme de l'équation (B) du problème II, car on a

rx-a= «x-4 Va:-* 4- ^x-jjx-s -h/r-sjx-e -^- Xx-3

-^ ^X-7Vx-7 + ^x-87x-8-+- . • .

Si Ton retranche cette dernière équation de la précédente, on aura

Yx—^x-iyx-l-^^x-tyx't-^ (/r-3-M)jx-3-H Xa:— X,-,,

équation comprise dans l'équation (B).

Présentement voici un usage fort étendu du Calcul intégral aux différences finies, pour déterminer directement l'expression générale des quantités assujetties à une certaine loi qui sert à les former, expression que jusqu'ici il me semble que Ton a toujours cherché à tirer par voie d'induction, méthode non seulement indirecte, mais qui, de plus, doit être souvent en défaut.

Pour me faire mieux entendre, je prends l'exemple suivant: Soient 07 le sinus d'un angle z et u son cosinus; on a généralement, comme l'on sait,

sïnnz=z2usïn(n—'i)z — sin(/i — 2)^, d'où l'on tire

sin zzsza;, s\n2zi=a:{ aw), sin3-s = a:( 4"* — 0> sin4« = ^( 8a'— 4")»

sin5>z = ^(i6«* — 12a* -+- 1),

Il faut maintenant déterminer l'expression générale de s\nnz.

On peut y parvenir par voie d'induction, en continuant plus loin ces expressions et cherchant à découvrir la loi des différents coefficients des puissances de u; mais il arrivera, si ce n'est pas dans cet exemple, au moins dans une infinité d'autres, que celte loi sera très compliquée et très difficile à saisir : il importe conséquemment d'avoir une méthode générale et sûre pour la trouver dans tous les cas possibles.

Soit, pour cela, l'équation différentielle

vV) {

ORupret de L, — VHI. 1 3

Je suppose que l'on ait

: au

yt-

du^

-h yu

Si,

-h TTW*

9«4-ff,

Voici comment je conclus l'expression générale dey„. Je fais

partant,

X„-, = A„«, tt»-* 4- B«-, tf «-» 4- C„5 M'*-* 4- . . . ,

et ainsi de suite; si l'on substitue ces valeurs de y„^,yn-2* ••• dans réquation (y), on aura

yn=

u^ ( an An-i 4- *a„ A„, -h «a„ A„3 -f- ;/'»-» ( a„ B«i -H »a„ B„-, -t- «a„ B^.., H-

(/«-«( a;,C„-, -h 'anCn-t H- 'a„Cn-i 4- 4-»c„A«,-h 'c„ A;»3 4- »c„ A„4 4-

En comparant cette expression de y^ avec la précédente, on aura les équations suivantes

A|,= a,|Art i4- *a;iA„-.|4-*a„A«-t4-. . ., B»= «/iBi,-|4-*a„B„i4-*a;jBrt,4-. . .

au moyen desquelles on déterminera, par les méthodes précédentes, A„, B;,, ..., et Ton aura ainsi l'expression générale de y„.

Je suppose que l'on veuille avoir l'expression générale de s'innz; il est aisé de voir, par ce qui précède, qu'elle aura cette forme

sin/i5 =: j?( A„a'»-» 4- Bni/"-' 4- C„ a«-*4- DnM'»-' 4- . . . ) ;

donc

sin ( /ï — 2 ) 5 = a: ( A„>, M" -' -4- B„j m»-* -+- C;,, m"-' -^ . . . )•

Si l'on substitue ces valeurs de s\n(n — i)z et sin(n — 2)5 dans l'équation

sin/i2 z=L2u sin(/2 — i)z — sin(/i — 2 )5,

et, si Ton compare cette expression avec la précédente, on aura

,.. , B„— 2Brt.-i— A„j,

Au moyen de ces équations on déterminera A;,, B„t C;,, ..., mais on doit faire ici une observation à laquelle il est nécessaire de faire attention dans toutes les recherches qui dépendent du Calcul intégral aux différences finies; ce qui rend son usage fort délicat. Cette observation consiste en ce que les équations précédentes (A) ne commencent point à exister toutes à la fois, c'est-à-dire lorsque n a une même valeur dans ces équations. Pour le faire voir, j'observe que l'équation fondamentale

sin/i^ = 2</sin(/2 — i)z — sin(/i — 2)^5,

au moyen de laquelle j'ai conclu sin2:;, siu3;;, sin^z, ..., suppose connus les deux premiers sinus sino^ et sini:;; elle ne peut donc commencer à avoir lieu que lorsque n = 2; partant aussi, les équations (A) ne peuvent commencer à exister que lorsque n = 2, La première de ces équations commence à exister lorsque /i = 2, auquel cas on a Aa= 2Ai; ainsi, le plus petit indice de A;,, c'est-k-dire la moindre valeur que puisse avoir /i dans cette expression, est l'unité; la seconde équation ne peut donc commencer à avoir lieu que lorsque n = 3, auquel cas on a 61=282 —-Ai; partant, le plus petit indice de B;, est 2; la troisième équation ne peut donc commencer à avoir lieu que lorsque

n = 4, auquel cas on a C^ = 2C3 — 83; partant, le plus petit indice de C;, est 3» et ainsi de suite. Cela posé :

Si Ton intègre la première équation, on aura

H étant arbitraire; or, posant n = i, A;, = î, d'où H==^, on a A„ = 2''"*, partant A;,2= 2"-'. Si l'on substitue cette valeur de A„2 dans la seconde équation et qu'ensuite on l'intègre, on aura

puisque l'équation différentielle en B^j commence à exister lorsque n = 3, la constante arbitraire H doit être déterminée par la valeur de B„, lorsque n = 2; or, iine pouvant avoir d'exposant négatif dans l'expression de sin/2^, il suit que Ba= o, partant H = — 2; donc

B;, = — 2«-'(n — 2) et B«j=— 2'»-»(/i — 4).

Si l'on substitue cette valeur de B;,-^ dans la troisième équation, et qu'ensuite on l'intègre, on aura

C,= a-.(^^7iî^H);

or, posant /i==3, C^ = o, d'où H =6, on a Ç,^ = 2'^-^— '— — -s et

ainsi du reste. Donc

Soit encore s = angle sino?; on aura, en différentiant,

dz I

^ ~" v/» — "^*' et je veux avoir l'expression générale de ^^> dx étant supposé con-

stant. Pour cela, soit u =

du

dx

d^ii

dx^

d}u dx''

ôjy'-h ^x (i x'^Y

Il est aisé de voir, en considérant la loi de ces expressions de du, d^Uf ...f que l'expression générale de ^-^^ a la forme suivante

d'^u AMa:'*-+-B-a7«-*-f-CMa:"--*-i-D-a:'>-«-h. .

dx'

en diffërentiant cette expression, on a

(/H-l)And?

(/i4-3)B, /iA„

mais on a

rf^*tf __ A^H-t^^"^* H- B„-n J?~-> -h CnHt ^""^ -^ P/t-f^l »g""* -H . . . .

en comparant ces deux expressions de . „^p on aura les équations suivantes :

A«+i=(/l-+- l)An,

B„+,= (/i-h3)B;»h-/iA„,

Cn+l = (« + 5)C„ + (/l-2)B„,

Toutes ces équations commencent à exister à la fois et lorsque n = \; cela posé, la première donne

J^^fl — I*3*«J» • • *t j

la seconde donne

B„= 1.2.3. . ./i(w -Hi)(/i 4- 2) H4- V — — . , ^ L

ou

'L 2 (/l 4- l) (ai 4- 2) /iH-2j

On déterminera ia constante Q par cette condition que B;, soit zéro lorsque /i = i ; on a donc Q = Donc

La troisième équation donne, en intégrant et ajoutant les constantes convenables,

on trouvera pareillement

n — , o ^ ^ '-^-^ ^(^ — 0(^ — 2)(^ — 3)(/i — 4)(At--5)

et ainsi de suite. Partant,

il3 (/i — i)(/2 — a)(/t — 3)(/i — 4) ^^5 2.4 I .2.3.4

J*aL supposé, dans les deux exemples précédents, la loi des exposants connue, parce qu'elle était très facile à apercevoir; mais, s'il arrivait qu'elle fût compliquée, ce qui doit être extrêmement rare, on pourra la déterminer par la méthode précédente.

Voici encore un usage remarquable du Calcul intégral aux différences finies pour déterminer la nature des fonctions d'après des conditions données, ce qui est souvent utile, principalement dans le Calcul des différences partielles (*).

On propose de trouver une fonction de x telle qu'en y faisant ?>\XC' cessivementa: = <p(a:) eta? = vp(a:), on ait

(p(irr), ^(a?), H^ etXa- étant des fonctions données de x. Soit pour cela

De la première de ces équations, je conclus

x = T{uz) el <p(^) = II(w-), r(w^) et n(i/,) représentant des fonctions connues de w^; partant,

équation différentielle dont la différence constante est égale à l'unité, et que Ton peut intégrer dans plusieurs cas.

L'intégrale de cette équation donnera u^ en fonction de z, et l'équation X = r(a,) donnera x en fonction de z. Substituant cette valeur de X dans H^. et X^, ces quantités deviendront des fonctions de z, que je désigne par L^ et Z^. De plus, on a

(1) J'avais trouvé cette méthode sur la fin de 1772, à roccasioo de quelques problème^i que me proposa M. Monge, habile professeur de Mathématiques aux écoles du Génie à Mézières; je lui en fis part alors; dans le môme temps, je renvoyai à M. de la Grange, et je l'ai présentée à l'Académie au mois de février 1773. Depuis ce temps, M. le marquis de Condorcet a fait imprimer dans le Volume de TÂcadémie pour Tannée 1771 un fort beau Mémoire sur cet objet; mais la route que je suis difi'ère de la sienne en ce qu'il ne se propose pas, comme je le fais, de ramener la question aux équations différentielles dont la différence soit constante et égale à l'unité.

Téquation (a) deviendra donc, en supposant/(M,) = jx»

équation intégrable par le Problème I.

On doit observer ici, conformément à une remarque due à M. Euler, que les constantes qui viennent en intégrant les équations finies différentielles dont la variable est z, et dont la différence constante est l'unité, peuvent être supposées des fonctions quelconques de sin^irc et de cos 211-5, i: exprimant le rapport de la circonférence au diamètre.

Présentement, si Ton remet dans l'expression dey, au lieu de z sa valeur en a?, on aura/[^(a:)], et, si l'on change ^(a?) en x, on aura la fonction de x, qui satisfait au Problème. Les exemples suivants éclairciront cette méthode :

Il s'agit de trousser une fonction de x telle qu'en y changeant successivement X enocf^ et en mx^ on ait

f{x*i)=f{mx)'^py

met p étant constants.

Je fais M^= mx, et w^^., = af'', partant.

Pourintégrercetteéquation, jefaisM, = a; doncM2= -^' "3= yt^y> Soit w, = — ^: donc

Donc

ce qui donne

gz-^\ = qgzy

g^—kq^.

Or, posant s = 2, gz = q^ d'où A = -> on a g^=q^-\ De plus, on a

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. lOo

f:^, = q fs-h g. Donc /:= Aq' -h y~' Or» posant 5=2, /-=5'; donc A= — i— et /,= — ^(y' — 5^); donc

ifz= — r

Cette expression de u^ est complète, puisque a est arbitraire; maintenant Téquation

deviendra

yz^i—fz-^p-

Donc

js — C^-/?5 mf{nix).

II faut présentement avoir la valeur de :; en a?; or, puisqu*on a //.= mXf on aura

d'où Ton lire

1 7/1 J7 =: <7- in- — n)\ni

OU

mx

soit — — = K, et l'on trouvera

jj^