SJ— 1 CJTT
donc
2 y/—- I CJTT
Maintenant on a
et, en représentant/(w,) par /^,
donc
/,=zH + 2M5v/— i;
substituant au lieu de ^ sa valeur, on aura
cJ7r
L étant une constante arbitraire, laquelle peut être fonction quclconque de sin2ii;;etde cosait-z, ou de sm ^ ^=-^ et de cos ^ ■ ,
dV — ï CTt/ — I
et par conséquent de e ^ ; or, ê^^''''^ = g -\-hx\ donc L peut être fonction de (^g-\-hxY\ partant.
De$ équations aux différences finies^ lorsquon a plusieurs équations
entre plusieurs l'ariables.
Je suppose que Ton ait les deux équations suivantes entre les trois variables y^., ^y^^ et x
(0 Vo-H- ^xyjc-x= Bx%-+- Cx%-|,
La manière la plus simple de les intégrer est de les réduire par élimination à deux autres équations, Tune entre j^, et x, l'autre entre '7*ct a?; pour cela, je multiplie la première par *Cj;, la seconde par C^, et Je les retranche l'une dei'autre; ce qui donne
('C,- C,) Vx+ (*C,A,- C, »A,)/,, = ( »C,B,- C, »B,) »/,,
partant
i ( »C;,i - C;,-.i)/^i 4- (*C,-, A^, - C^, »A^, ) Jx-i
Je multiplie l'équation (i) par a, l'équation (2) par *a, et je les ajoute avec l'équation (3), ce qui donne
= (aBx4-<«»B^)%+(«C, + «a»C^+»C,,B^-.-C,/B,,)%.,; je fais disparaître Wx et *j^, au moyen des équations
et j'ai de cette manière une équation différentielle entre y^. et a; seules; par un procédé entièrement semblable, on en trouvera une entre * vv etâ?; et ce serait la même chose si l'on avait un plus grand nombre d'équations et de variables.
Il est aisé de voir que, s'il y avait dans chaque équation des termes tels quoT-p, X^:, . . . , T^^, X^. étant des fonctions quelconques de x^ elles seraient intégrables dans les mêmes cas ou elles le sont, ces termes n*y étant pas.
Lorsqu'on a w — i équations entre n variables, celles-ci pouvant avoir une infmité de rapports différents entre elles, l'intégration de ces équations présente ainsi un grand nombre de recherches curieuses; mais il est un cas qui mérite une attention particulière, en ce qu'il se rencontre quelquefois et principalement dans l'analyse des hasards; c'est le cas dans lequel ces équations rentrent en elles-mêmes.
Des équations différentielles rentrantes en elles-mêmes.
Si l'on a les équations suivantes, entre les n variables yx, yx>
yx
yx=A/ar-lf
yx — A^x— !•
Ces équations sont ce que j'appelle équations rentrantes en elles mêmes.
En général, si l'on dispose sur le périmètre de \^fig* A les n va-
JTA \rx
riables y^, y^, yx^ ..., ainsi que la figure les représente» et qu'alors une
fonction quelconque d'une de ces variables et de ses différences finies soit constamment égale à une fonction quelconque de celles qui la suivent et de leurs différences finies, l'équation qui en résulte est ce que je nomme équation rentrante en eUe-même. Si, par exemple, chacune (le ces variables est égale à deux fois celle qui la suit, lorsqu'on y suppose X diminuer d'une unité, plus à trois fois celle qui suit cette dernière, lorsqu'on y suppose œ diminuer de deux unités, on aura
Yx— 2/x-l -H 3 Jor-ï,
On voit par là que, bien que dans l'ordre des calculs la variable Va soit la première, on aurait pu cependant également commencer par une quelconque de ces variables, et les équations auraient été absolument les mêmes, ce qui est le caractère particulier de ce genre d'équations. Gela posé,
Problème III. ^ Je suppose que Von ait les équations rentrantes
ïx-^^yx-x -^ 'A/^-j-i- . . . — - \\y^ -H ^^yx-\ -t- 'B.v^. -f- . . . -h X.,.,
jr,4- A/x-1 + *AjKx 2 4- . . . = B j^ -h *B j,i -4- -B/^.j -f- . . . 4- X., ;
« foui déterminer yx^ Vx^ • • • • La première équation donne
y^-^ ^ïx-x ^- • A/,-, 4- ... 4- Ajar-l H- AVx-î 4- ... 4- * Ajor-î 4- . . .
^Bi/x-^ Ayx-i + *Ar^,4-. . .) -+-*b(/x-i -h A/^5 4- ^\ Vx-3 + - • •) -^ • • •
