I^XJ

• • • > nyxf

Si un terme quelconque ^yx^^ ces suites est constamment égal à un nombre quelconque de termes précédents pris dans plusieurs de ces suites, et multipliés chacun par une fonction de x et de n^ ces suites sont celles que j'ai nommées récurro-récurrentes, et l'équation qui exprime la loi d'après laquelle elles sont formées est une équation aux différences finies et partielles.

J'observerai ici que les suites (i) peuvent être considérées non seulement dans le sens horizontal, mais encore dans le sens vertical, et, au lieu que dans le premier sens x est leur indice, n le sera dans le second.

Je supposerai dans la suite, comme je l'ai fait ci-dessus dans les équations aux différences ordinaires, que les différences de a? et de /i

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sont constantes et égales à Tunité; si elles sont constantes sans être égales à l'unité» il sera toujours possible de les rendre telles, par l'introduction de nouvelles variables; je supposerai de plus (ce qui est encore permis) que les plus petites valeurs que puissent recevoir^ ein sont l'unité; et toutes les fois que je m'écarterai de cette supposition, l'état de la question le fera connaître. Gela pose : Si Ton a une équation aux différences partielles telle que

elle ne commence à avoir lieu que lorsque x et n sont plus grands que runité, comme dans les différences ordinaires l'équation iyar = «mJ*-! n'a lieu que lorsque x est plus grand que i; en sorte que ^y, reste arbitraire» et l'on ne détermine au moyen de cette équation que les valeurs de ^y^t j^j, ... ; de même, dans l'équation

ij'x OU nj', sont arbitraires; ainsi l'expression générale de „j^, renferme une fonction arbitraire.

En général, le nombre des fonctions arbitraires que renferme l'intégrale d'une équation aux différences partielles se déterminera parle degré de la différence de celle des deux quantités x et n qui varie le moins; ainsi, dans l'équation

le nombre des fonctions arbitraires que renferme l'intégrale est i, parce que, n étant ici celle des deux variables dont la différence est la plus petite, elle ne varie que d'une unité; en effet, il est clair que, si Ton connaît ,j'x, on peut déterminer j^j., 3 j^;, 4^,, ... au moyen de l'équation

H n'y a donc alors que «j^^? d'arbitraire.

Problème V. — L'équation aux différences finies et partielles

nyx ^^— • »II« • n—ij^x—l "+■ « "x • n—tyx—t "+" n"x • n—O^x^t -f- . • . 4- n^x

étant donnée, on propose de l'intégrer.

Puisque» dans chaque terme de cette équation, la variable n décroit suivant la même loi que la variable a?, je puis supposer a? = /i 4- K, K étant une constante quelconque; ^„ ^H^j, iH^., . . . deviennent alors fonctions de a? et de K; je représente dans ce cas «j^? par "*; n^x* *,H,, . . . par La-, *L;p, . . . , enfin ^^P^^ par X^,; l'équation proposée devient donc

équation aux différences ordinaires, et dont l'intégrale a cette forme par les Articles précédents, en y restituant au lieu de K sa valeur X — n,

Mjj =1 C . n^x "+" C . ^Zx ■+- C . ^Zx -h ... -h nRjf ;

C, *C, 'G, ... sont des constantes arbitraires, lesquelles peuvent être fonctions de K ou dex — n; on aura donc

nyx= i»5«.?(^ — n)-^ i5*.*?(^ — /l) H- î-ar.'?(^ — /l) + • • • + i»Rx ;

on déterminera les fonctions arbitraires f(x — n), *<f(x — /i), ... au moyen des valeurs de nXx^ dans autant de suppositions particulières pour X qu'il y a de ces fonctions arbitraires.

L'équation proposée aux différences partielles est donc généralement intégrable, ce qui vient de ce que dans chaque terme n et a? varient de la même manière; mais, si l'on excepte ce cas et quelques autres fort rares, il est impossible d'avoir une intégrale entièrement débarrassée de tout signe d'intégration. Pour le faire voir par un exemple fort simple, je suppose que l'on ait à intégrer l'équation

en supposant ij'jy= ç(^). on aura

partant aj'*= 2ç(iF); on trouvera pareillement

et généralement

telle est donc la valeur complète de nfx* ^n ayant soin d'ajouter à chaque intégration une constante arbitraire.

On peut simplifier cette valeur et la réduire à des quantités affectées du simple signe d'intégration, de la manière suivante.

Il faut réduire la double intégrale £^(p(a:) à de simples intégrales; je fais pour cela

en différentiant, il vient

l(p{a:) = (z^-h AO [9(jr) 4- 2 9(x)] — 5^2 9(x) — ^^ ^{œ) OU

Donc àzjg=:i et t^-^ Sj.-\- ^^'^ j© puis donc supposer z^---x et /,= a? -h I , ce qui donne

2*9 (j?) =a?29(x) — 2(jF -+- 1)9(0:);

on réduira, par un procédé semblable, lé^^(x) à des quantités affectées d'an seul signe d'intégration; mais il sera impossible de l'en débarrasser entièrement.

Voici maintenant une méthode d'intégrer les équations aux différences partielles, dans laquelle l'inconvénient des quantités affectées de plusieurs signes d'intégration n'est point à craindre.

Ogmwres de L. - yin. 16

Problèbie VI. — L'équation aux différences finies et partielles

étant donnée, on propose de V intégrer.

Pour cela je cherche à ramener l'intégration à celle d'une équation aux différences ordinaires. Je suppose donc que l'on ait 4ja:= ?(^)î l'équation (A) donnera la suivante

ensuite

3/0:= A3.^rx-i-+- *A3.5i'a:,-h. . .H- Na-h B,.,7;p -h 'B,.,/x-i-+-. . .;

d'où il est facile de conclure

%yx— Aa-a^r^-i — *A3.j^j:2— ...— A,(^^| — Aj.iJ'x-î —...)— *Aj(|J^x-î — ••.)

=^ '^zx^'x A2. jj^x— 1 — ...)■+■ ^%\iyx—\ — Aj.^^x-i — . . .) -f- . . .

Si l'on substitue, au lieu de

ty'x Aj . jjKx-i • • • »

t^x-l Aj . ^or— 1 — • • • »

leurs valeurs tirées de l'équation (i), on aura une équation de cette forme :

Cette équation est aux différences ordinaires; pour j'intégrer parles Articles précédents, il faut connaître ^Uj. et les racines de l'équation

or cette équation est la même que celle-ci

et, partant» elle est égale à la suivante :

En suivant le même procédé pour ^r^, gj^, et généralement pour ij'j., on transformera l'équation (A) du Problème dans la suivante

qu'il sera facile d'intégrer lorsqu'on connaîtra „«^ et les racines de Téquation

or on verra facilement que cette équation est la même que celle-ci

d'où il est facile de conclure a„, 'a^,,

Pour déterminer présentement la valeur de ,,//,., j'observe (|ue, de l'équation

on tire

Si Ton ajoute toutes ces équations membre à membre» on aura

■+- Bn'n-i^x-+' *Bn•«-l"x-l-^-• • • •

Or, si Ton substitue, au lieu de

B/i . n—ij^x—t "♦" Bu . n—O^x—i -+-.••,

leurs valeurs données par l'équation du problème, on aura

n^x ^ri'nyx—l • • • N;,:=:i ^n—l (/0^«— i ^n ' nYx—i • • • ^n)

+ ^n—l\rO'x-t ••• — N;,)

~^Bn-n—l^x~^ Bn.n tWx—l "+"••• •

En ordonnant les différents termes de cette équation, on aura

-+- n^x-i ( *««-! — «n-1 A„ -h » An )

H" n^x-s ( ^n-l — ûtrt i Art — ût|»— 1 . Art -H Art)