Brt.rt-lWx-t- •Brt.„-|«a:-l

-+- Nrt ( I — a«-i — *art-i — ...).

Si Ton compare maintenant terme à terme cette dernière équation avec l'équation (2), on aura les suivantes :

«/»= «i»-i-+- Art,

*«n=*«n-l— «rt-lArt-H'Art,

««rt = *«n-l — *an-i Art — «n-l • *Art H" 'Art,

On pourrait, en intégrant ces équations, déterminer a^f ^a^, ..., s'il n'était pas beaucoup plus simple de les conclure par la méthode précédente.

Enfin on aura

Pour intégrer cette dernière équation, j'observe que, puisque ^j.= o{x)^ on aura <m^= ?(^); d'où je conclus

,iijp= N,(i — a, -~. ..)-<- B,<p(j?) -h 'B,9(j? — i) H-. . .;

on aurait de la même manière ,11^, «i/^, . . . , et l'on voit qu'en procédant ainsi on aura généralement

donc

Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (3), on aura

^a,= N„ ( I — a„-, — *âr„-, — ...)-+- C„i (B„ -i- 'B„ 4- . . . )

d'où, en comparant avec l'équation (4), on aura

Cn= C«-i (B„-f- *B„ 4- . . .) -H N„(i — a„«,— •««, -. . .).

En intégrant ces différentes équations et ajoutant les constantes convenables, on aura les valeurs de 6„, *6„, ..., C„, et partant celle de

nUj,. Les constantes doivent être telles, qu'en supposant n = i on ait „i/^=(p(a?); en sorte que Ton doit avoir C, = o, 6^ = 1, *6^ = o, ^h^ = o

En intégrant l'équation (2) à laquelle se réduit Téquation du problème, cette opération introduit dans l'expression de «y^rdes constantes arbitraires, lesquelles peuvent être fonctions de n\ mais ces fonctions ne sont pas arbitraires, puisque l'intégrale de l'équation (A) ne peut renfermer d'autre fonction arbitraire que 9 (a?); on les déterminera de cette manière.

Si l'on nomme pn, *Pn^ ^p,„ ... les racines de l'équation

/■/'■/'■••' on aura, par l'Article X,

nyx= C„pl -f- *C;,.>/?J H- *C;, . */?î -h . . .-h nL:r.

Si Ton substitue cette expression de „yj. dans l'équation (A), on en tirera, en comparant les termes homologues par rapport à x, autant d'équations différentielles qu'il y a de fonctions C^,, ^C^, . .., et, en intégrant ces équations, on déterminera ces fonctions.

Au lieu de faire «jKx= ?(^)» on peut imaginer une équation différentielle quelconque entre ,j^ etx; je suppose que cette équation soit celle d'une suite récurrente, en sorte que l'on ait

F, *F, . . .et L étant constants; en suivant la méthode du problème, on parviendra à l'équation suivante

et l'on trouvera que l'équation

est la même que celle-ci :

On aura ensuite

Un= tt„-i(B„-i- *B„4-. . .) -+- N;,(i — a„, — ^a„, — . . .)»

d'où il sera facile de conclure la valeur de ^v^.

Le cas dans lequel l'équation entre < j^ et x est celle d'une suite récurrente est celui qui se rencontre le plus fréquemment dans l'application de cette théorie.

On peut observer ici que les quantités 8;^, *B„, ... n'entrent point dans la formation de a^, ^a^; . . . , mais simplement dans celle de u„; d'où il suit que, lorsque cette quantité est nulle (ce qui doit arriver très souvent), l'équation (5) restera la même quelles que soient les quantités B^, ^B^, ...; de là il résulte que, dans ce cas, ces quantités n'influent dans la solution du problème que sur la détermination des constantes arbitraires qui viennent de l'intégration de l'équation (5).

Pour éclaircir la théorie précédente par quelques exemples, je suppose que l'on ait les deux équations

Si dans la première équation on fait ,y, = i, on formera à son moyen la série suivante i, 2, Zj* 8, i6, .. .. La seconde équation donne

et, si l'on suppose 2j< — o« on aura ^y^ =2, ,^3 = 8, ... ; on formera de cette manière la suite o, 2, 8, 24, .... En continuant ainsi et sup-

posant toujours 3J, = o, 47» = 0, 5^, r^ o, . . . , on formera les suites récurro-récurrentes :

II faut présentement déterminer le terme général de ces suites ou, ce qui revient au même, l'expression de nyx- Pour cela, j'observe que l'on a, par l'Article précédent.

xyx~ «« • nyx-\ + '«n . nyx-l "h • • • 4- M„ ;

ensuite l'équation

est dans ce cas celle-ci

dont toutes les racines sont égales à 2; on a, de plus, u^= 2 £/«.,; donc w^ = H.2''. Or, posant n = i, on a «;,=: o, donc H = 0; on aura ainsi, par l'Article IX,

Pour déterminer les constantes arbitraires G;,, D^, . . . , on substituera cette valeur de ^yx dans l'équation

nyx — 2.^yj,, -h 2.„|^jr i,

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. 129 en observant que

(jT — i)(a? — a)...(.r — /1-+-1) {.x — 2) (œ — 3)...(^ — n) {x — a)...(j? — n-t-i)

(jT — 0(07 — 2),..(x — /iH- 2) (j: — 2),,, {or — /1-+-1) (x — 2)., .{a: — n -h 2)

■ ^f^m^^mi . ■ ■■■ ■■ — ^w— M ■ — — ■ ' ' ^—^^-i»! ■■ ■ I I ■ ■■■ M ■■■■■■ —■ liH *'T** ■' ■ ^^*^— ■ ■ - ■■ ■ -■ ■ ^ ■^■^^^^^— •

et l'on aura

+ (D^-hEJ

{X'-2),..{x — n) ^ ^^ ^{x — 2).,.{x — n'hi)

/f rfc V (^ — 2). . .(j: — w -h 2) + (E„ + D„,,) , ,, 3,, (^3) -+-..-.

En comparant terme à terme, on aura :

1° C„= C„., ; donc C;,= A. Or, posant /i = i, la quantité

se réduit à son premier facteur i, et les quantités suivantes

deviennent nulles; donc ,7j, = A2*-*.0r on a ,j, = i; donc A=i=C„.

2° D„=D;,,, partant 0»= A et 27^= 2^-M^^^^ -h Aj. Or posant

,r = i, on a jj, = o par la formation des suites précédentes; donc A = G et D;,= o.

On trouvera semblablement E„ = o, F„ = o, ... ; donc

rx=a

«./jr

ORuvres </« £. — VIII. 1 7

Soient, par exemple, a; = 8 et n = 5; on aura

Je prends encore pour exemple les deux équations

\yx — '^'xyx—u

nyx= {n -h i),nyx-i-^n-iyx-l

Si Ton suppose

i7i = ^ j7i = o, 8/1 = 0, *ri=Oi

on formera les séries suivantes :

Pour trouver maintenant le terme général de ces suites, ou Texpre sion de «ja?» j'observe que Ton a, par l'Article précédent,

nXx = ^n • n/x-1 "^ ^n • » J'ar— t "^ ^n • nj^x—i "H • • • 4" W;, ,

et que l'équation

est la même que celle-ci

enfin, que l'on a d'où, en intégrant.

i/*=Ha».

Or, posant n = i , on a u, = o ; donc

H = o ei «i„=o.

En intégrant, on aura donc

équation dans laquelle il faut présentement déterminer les constantes

arbitraires C^, 'C„, Pour cela, je substitue cette valeur de „yjg dans

l'équation

ce qui donne

= («-+- i)C«a*-«-f. (/i -h i).*C„3*-«-+-. . .-h C«ta*-*-*- *C,-t3'-*4- ... ;

d'où, en comparant terme à terme, j'aurai

a. C«=(/i-hi). Cn-h C„i.

Il est visible que la première équation ne commence à avoir lieu que lorsque n = 2; la seconde, lorsque n = 3; la troisième, lorsque /i = 4» En intégrant la première, on aura

Or, puisque l'on a ,yx= 2*"', on aura C, = i; donc

le signe + ayant lieu si n est impair, et le signe — s'il est pair. On aura pareillement

Or, posant /t = 2, on a

Donc, puisque ^y, = o, on aura *C2= i; partant

le signe -+- ayant lieu si n est pair, et le signe — s'il est impair. On trouvera, par un calcul semblable,

Donc

y,=± — ^ ^r,x-.lz:l3

ZLi 5X-I ^ («-!)(/» -a) ,

le signe -H ayant lieu si n est impair, et le signe — s'il est pair. Soient // == 4 et iP = 7 ; on aura

*r7 = -74-5(2'-3.3«-+-4.4*-5*) = 9io.

Problême VII. — L équation différentielle

nJx-t-A„.„V;c,-i-'A«.„/;c,-^...-f-N„= B„.„-,^;r-H*B„.„,/ar-|-H...

e/an/ donnée, on propose de l'intégrer.

En suivant l'analyse du Problème précédent, je fais |j^=ç(a:) et 2^^= *<p(a?); l'équation proposée donnera donc

-hCj. 9(a:)-h*C3. (p(j:-— 1)-+-. . .

et

d*où l'on tirera

ijx -^ A4 . 4/x, -4- * A4 . 47jr-i H- . . . 4- N4

-+-A4(47x-i-+- A4.4rx-j-H...)

= B4(5/x -+- As.,Jar-l-H-..)