E «E \ / II «H

•N I I "T" —^ ~T~ •••■•••Il I ~~y "T~ • . . la

Pour déterminer «;,, on doit observer que dans ce cas Téquation (V)

cJevient

= Un-i ( I -T- A„ 4- . . . ) ( B;, H- >B„ -f- . . . )

-h Wn-i(i-HA;,,4-^^.)(i -f-A„ -h. ••)(€« + •••); or

I — «n — *«« — ..•=(' — «/i- i — *«/i I—. ..)(»-+- A;, -h "A;, -!-•.•); donc

Cette équation étant différentielle du second ordre renferme deux constantes arbiti*aires; elles se détermineront au moyen des valeurs de u^ etu,. Or on a

w, = — L(i-{-EH->E-t-...)"K(F-H»F-h...).

Quoique, dans les deux derniers problèmes, les équations aux différences partielles considérées par rapport a la variable n ne passent pas le second ordre, on voit cependant que la méthode réussira généralement, quel que soit le degré de la différence des variables. Cette méthode suppose à la vérité que ,j^, ou «r^ et jy^., . .., suivant le Jegré de la différence de /?, sont données en fonctions de x^ ou par <ies équations linéaires entre ,r et ces quantités; or il peut arriver que <!ela ne soit pas. Je suppose, par exemple, que Ton ait les équations

OKmreê de L, — VHI. l8

suivantes :

yx — m—\yx-\

L'équation

\yx — «— ij'x— 1 ~î~rt-»-ij'x— I

est aux différences partielles; mais elle diffère des équations précédentes :

i" En ce que ^y^ et aj^ ne sont point données en fonctions de x, ou par deux équations différentielles;

2** En ce qu'elle cesse d'avoir lieu lorsque n = m.

Comme ce genre d'équations se rencontre quelquefois, et principalement dans l'analyse des hasards, je vais donner ici la manière de les intégrer.

J'observe pour cela que, si Ton pouvait réduire l'équation

nyx'^^n—\yx—l "^/i-f-lj'x— i>

laquelle est du troisième ordre par rapport a n, à une autre du second ordre, le problème serait résolu; je suppose en effet que l'équation du second ordre soit

Dans le cas de n = m — i , on aura

d'où, éliminant ;„«i7a; au moyen de l'équation ,nyx = m-iyx'-îf on aura une équation aux différences ordinaires entre x et ^yx'

Toute la difficulté consiste donc à abaisser l'équation du troisième ordre, par rapport à /i,

nyx^^^ n-iyx—l "^ n-^iyx~l

à une du second ordre; c'est l'objet du problème suivant.

Problème VIII. — L équation aux différences partielles du second ordi-e, fHir rapport an,

~+~ ^it •»— ljKx~+" ^n • n— l^^'-r— l ~^"*^« • /i-i.Vjc— 2 4" • • •

etani donnée, il faut l'abaisser à une autre du premier ordre par rapport à n.

Il est nécessaire pour cela que, dans une supposition particulière pour /it cette équation se réduise à une du premier ordre. Je suppose donc que, en faisant /i = i, on ait celle-ci

11 est aisé de voir, cela posé, que l'équation (y) peut toujours être transformée dans la suivante (0), du second ordre par rapport à n,

dont on déterminera les coefficients «,,, *«„, ..., 6;,, 'è,^, .77 de cette manière : Téquation (0) donne celle-ci

►i l'on ajoute ces différentes équations membre h membre, et que i on substitue dans leur somme, au lieu de

t-<i»«/i-ij'ar "+" t-i/i./i-ij'x— 1 ~T~ • • • > t-H • rt— tj^'x— 1 "î~ '-•/i • /i— I J'x-î + • • • »

leurs valeurs que fournit l'équation (y)» on aura, après avoir ordonné,

nYx — ; -. r~ [ «/«-» ( ^'»-l "^ ^n ■+- ^«-1 . *C„ 4- *6„ -, Cn )

r- „7x-3(*«/»-l — *«/»-! Art — ««, *Art 4- *Art

H- /i+ijx-i ( 'B„ — a^-, *B« — *a„-., B^ )

En comparant cette équation avec Téquation (0), on aura :

'*" i-C>rt,

Pour intégrer cette équation, je fais b„= — ~-^; ce qili donne

O — 5„i 4- Cn^n-i H- B«5

équation linéaire aux différences ordinaires.

I — Li,t c/rt—, 2o ^ An 4-^7^-1 4- *^>rt-l Grt -h bn-x *C,

De la première de ces équations, on aura

if B;i, — an-iB/ï-i .

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. Ul

substituant cette valeur de bn^^ dans la seconde, on aura

I — y^n — l On-^

ï — C„ bn-x

d'où Ton aura a^^, partant ^b^, et ainsi du reste. Enfin, on déterminera z/^ P^i* cette équation

C„ -^ »C« H- . . . -H N„ ( I — «;,! — *rt„-, — . . . )

ï — Grt 6„,

L'équation (y) du second ordre par rapport à n sera donc abaissée à une autre (0) du premier ordre; et l'on voit que la méthode précédente réussira généralement, quel que soit l'ordre de la proposée.

Des équations aux différences finies et partielles à quatre variables.

Jusqu'ici j'ai considéré les équations aux difTérenccs partielles entre trois variables „ja., n et a?; je vais présentement dire un mot de celles qui en renferment un plus grand nombre.

Je suppose que m.nyx représente une fonction des trois variables x^ m et /z, dont je regarde les différences comme constantes et égales à l'unité; je puis, dans cette fonction, faire varier /tz, n et ^ séparément, ou deux de ces quantités à la fois, ou toutes trois ensemble dans un rapport quelconque; or, s'il existe une équation entre ces différentes variations, elle sera ce que je nomme équation aux différences partielles à quatre variables. Cela posé,

Problème IX. — Je suppose que l'on ait l'équation aux différences partielles à quatre variables

Imtnyx~^ m^n* m,nyx—i~^ m-^n* m,nyx—% -H • • • ~^m-l^n ^^^ nr^n* m^\tnyx~^ /«L/i • m— i,iij^a:-l + »|L/fm— 1,/iJ'a:— 1~+" • • •>

on propose de déterminer m,nyx'

142 RECHERCHES SDR L'INTÉGRATION

Je suppose que, dans le cas de /i = i, on ait, ou l'on puisse avoir l'équation suivante

tlj'x ■+" l'/n • m,iyx—l "+" I^/n • m,l^x-S -h . . . -|- hm — O,

et que, dans le cas de m = i, on ait, ou l'on puisse avoir celle-ci on pourra, dans ce cas, transformer l'équation (û) dans la suivante

(^) m^nyx'^^ m^n • m.nt^jf— l ^~ m^n • m,nyx—i "+" m^n • m^nyx-^l -f- . . . -+- m^n*

dont on déterminera les coefficients de cette manière. Cette équation donne

nA*n' m—XtnJ'x ^~^ m'-'/ii/n— l^/i • m— lin^x— 1 "^" m-i^n» m—l,nyx—t~^ • • • ~H m—l^n)^ m^'n • m—l,r(yx-l ^^ m'-'/i (/«— l^/i* //i-i,nj'af-i ~+~ m-i^/i- m— l.iO^x— «"+" • • • + m—i^n )»

Si Ton ajoute toutes ces équations membre à membre, et qu'on élimine les quantités

au moyen de l'équation (û), on aura

m,nyx^^ mtnyx—l\nt—i^n m'^n)

"t" /n,n^a:— j(m-i^« ~^" m-i^if m^n~^ m—ï^tf m^n ~" m^n)

(cr)

m ffi—xy X • m)^ n

~t" m,n— ij'x— «( — m"/i~^ m-i^/»«mO|i -h m-l^n • mR/i ) -f-

~H m— iW/i(mt^/i+ m'-'/î "^ • • •)

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. ik3

Cette équation est aux différences partielles entre trois variables en considérant m comme constante, et elle est comprise dans celle du Problème VI de l'Article XX. Or, puisque l'équation (a) peut être transformée dans l'équation (tzr), on aura, par l'Article XX, les équations suivantes :

■+■ m—i^n ( mC/i 4- m\^n "^ • • • ) ( * — m^n—l — m^n—l — • • • )

Ces équations sont aux différences partielles à trois variables ; pour les intégrer, j'observe qu'elles sont toutes comprises dans celle-ci :

Je suppose donc que, dans le cas de /i = i, on ait iyj.== ?(^)- Cela posé, on pourra toujours transformer l'équation (b) dans la suivante

d'où l'on aura celle-ci :

n—iXx'n'^x^^ n^x\n~l^x* n—l^x—l "+" n-i^X' n—O^x-f^ ' ••)"*" n*X'n-i^x»

Si Ton y substitue, au lieu de J^x'n-^^yxf nT^x-n-^yx'-n •••» leurs valeurs tirées de l'équation (b), on aura

■^ «-1 bjc ( nyx-l — nRx-l • /^X«-l — «Mx-i )

nTay-i

+ «Tx-n— 1^;

d'où Ton tirera, en comparant cette équation avec l'équation (/),

rp "T~ n*-^x»

nJ-x-l

équations qui s'intègrent facilement par le Problème I en regardant n seule comme variable.

On pourrait faire des recherches analogues sur les équations aux différences partielles à cinq, six, etc. variables, et Ton voit que la méthode précédente réussira généralement, quel que soit le nombre de ces variables.

Apptication des recherches précédentes à l'analyse des hasards.

L'état présent du système de la Nature est évidemment une suite de ce qu'il était au moment précédent, et, si* nous concevons une intelligence qui, pour un instant donné, embrasse tous les rapports des êtres de cet Univers, elle pourra déterminer pour un temps quelconque pris dans le passé ou dans l'avenir la position respective, les mouvements, et généralement les affections de tous ces êtres.

L'Astronomie physique, celle de toutes nos connaissances qui fait le plus, d'honneur à l'esprit humain, nous offre une idée, quoique imparfaite, de ce que serait une semblable intelligence. La simplicité de la loi qui fait mouvoir les corps célestes, les rapports de leurs masses et de leurs distances, permettent à l'Analyse de suivre, jusqu'à un certain point, leurs mouvements; et, pour déterminer l'état du système de ces grands corps dans les siècles passés ou futurs, il suffit au géomètre que l'observation lui donne leur position et leur vitesse pour un instant quelconque : l'homme doit alors cet avantage à la puissance de l'instrument qu'il emploie, et au petit nombre de rapports qu'il embrasse dans ses calculs; mais l'ignorance des différentes causes qui

concourent a la production des événements, et leur complication, jointe k l'imperfection de l'Analyse, l'empêchent de prononcer avec la même certitude sur le plus grand nombre des phénomènes; il y a donc pour lui des choses incertaines, il y en a de plus ou moins probables. Dans rimpossibilité de les connaître, il a cherché à s'en dédommager en déterminant leurs différents degrés de vraisemblance, en sorte que nous devons à la faiblesse de l'esprit humain une des théories les plus délicates et les plus ingénieuses des Mathématiques, savoir la science des hasards ou des probabilités.

Avant que d'aller plus loin, il importe de fixer le sens de ces mots hasard et probabilité. Nous regardons une chose comme l'effet du hasard, lorsqu'elle n'offre à nos yeux rien de régulier, ou qui annonce un dessein, et que nous ignorons d'ailleurs les causes qui l'ont produite. Le hasard n'a donc aucune réalité en lui-même; ce n'est qu'un terme propre à désigner notre ignorance sur la manière dont les différentes parties d'un phénomène se coordonnent entre elles et avec le reste de la Nature.

La notion de probabilité tient a celle ignorance. Si nous sommes assurés que, sur deux événements qui ne peuvent exister ensemble, l'un ou l'autre doit nécessairement arriver, et que nous ne voyons aucune raison pour laquelle l'un arriverait plutôt que l'autre, l'existence et la non-existence de chacun d'eux est également probable. Pareillement, si de trois événements qui s'excluent mutuellement, l'un doit nécessairement arriver, et que nous ne voyons aucune raison pour laquelle l'un arriverait plutôt que l'autre, leur existence est également probable, mais la non-existonce de chacun d'eux est plus probable que son existence, et cela dans le rapport de 2 à i, parce que sur trois cas également probables il y en a deux qui lui sont favorables, et un seul qui lui est contraire.

Le nombre des cas possibles restant le même, la probabilité d'un événement croît avec le nombre des cas favorables; au contraire, le nombre des cas favorables restant le même, elle diminue à mesure que le nombre des cas possibles augmente; en sorte qu'elle est en raison

C£upret de L. — VUl. 19

ikS RECHERCHES SUR L'INTÉGRATION

directe du nombre des cas favorables et dans l'inverse du nombre de tous les cas possibles.

La probabilité de l'existence d'un événement n'est ainsi que le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles, lorsque nous ne voyons d'ailleurs aucune raison pour laquelle l'un de ces cas arriverait plutôt que l'autre. Elle peut être conséquemment représentée par une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables» et le dénominateur celui de tous les cas possibles.

Semblablement, la probabilité de la non-existence d'un événement est le rapport du nombre des cas qui lui sont contraires à celui de tous les cas possibles, et doit être par conséquent exprimée par une fraction dont le numérateur est le nombre des cas contraires, et le dénominateur celui de tous les cas possibles.

Il suit de là que la probabilité de l'existerlce d'un événement ajoutée avec la probabilité de sa non-existence fait une somme égale à l'unité qui représente conséquemment la certitude entière, car il est visible qu'un événement doit nécessairement ou bien arriver ou manquer.

D'ailleurs, une chose arrive certainement lorsque tous les cas possibles lui sont favorables, et la fraction qui exprime sa probabilité est alors l'unité elle-même. La certitude peut donc être représentée par l'unité, et la probabilité par une fraction de la certitude; elle peut approcher de plus en plus de l'unité, et même en différer moins que d'aucune quantité donnée; mais elle ne peut jamais devenir plus grande. La théorie des hasards a pour objet de déterminer ces fractions, et l'on voit par là que c'est le supplément le plus heureux que l'on puisse imaginer à l'incertitude de nos connaissances.

La certitude et la probabilité, telles que nous venons de les définir,, sont évidemment comparables entre elles et peuvent être soumises à un calcul rigoureux; il n'en est pas ainsi des états différents de l'esprit humain lorsqu'il voit que tous les cas possibles favorisent un événement, ou lorsque, dans ce nombre, il en aperçoit plusieurs qui lui sont contraires. Ces deux états sont absolument incomparables, et l'on ne peut dire du premier qu'il soit double, ou triple du second, parce

que la vérité est indivisible. 11 arrive ici la même chose que dans toutes les Sciences physico-mathématiques; nous mesurons Tintensité de la lumière, les différents degrés de chaleur des corps, leurs forces, leurs résistances, etc. Dans toutes ces recherches, les causes physiques de nos sensations, et non les sensations elles-mêmes, sont l'objet de l'Analyse.

La probabilité des événements sert à déterminer l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence, et c'est sous ce point de vue que la science des hasards est une des plus utiles de la vie civile. Ce mot espérance a différentes acceptions : il exprime ordinairement l'état de l'esprit humain lorsqu'il doit lui arriver un bien quelconque dans certaines suppositions qui ne sont que vraisemblables. Dans la théorie des chances, l'espérance est le produit de la somme espérée parla probabilité de l'obtenir. Pour distinguer les deux acceptions de ce terme, j'appellerai la première espérance morale, et la seconde, espérance mathématique.

Concevons n personnes qui aient une égale probabilité d'obtenir la somme a, et que cette somme doive certainement appartenir à l'une d'entre elles; la probabilité totale étant i, ou égale à la certitude, il

est visible que la probabilité de chacune de ces personnes est -i et

conséquemmenl leur espérance mathématique -• C'est aussi la somme

qui devrait leur revenir, si elles voulaient, sans courir les risques de l'événement, partager la somme entière a.

Si Tune de ces personnes/? avait une probabilité double de celle des autres, son espérance mathématique et, par conséquent, la somme qui devrait lui revenir dans le partage seraient pareillement deux fois plus grandes; car, si l'on conçoit n -+- 1 personnes qui aient une égale probabilité sur la somme a, leur probabilité pour l'obtenir sera — ^- — > et

leur espérance mathématique Or on peut supposer que Tune

d'entre elles cède ses prétentions et son espérance à p\ celle-ci acquerra conséquemment une double probabilité et une double espé-

ikS RECHERCHES SUR L'INTÉGRATION

rance exprimée par ; et dans le partage elle doit avoir une somme

— — double de celle des autres personnes.

On voit par là que Tespérance mathématique n*est autre chose que la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut point courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition de la somme entière se fasse proportionnellement à la probabilité de l'obtenir; c'est en eiïet la seule manière équitable de la répartir lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères, parce qu'avec un égal degré de probabilité on a un droit égal sur la somme espérée.

L'espérance morale dépend, ainsi que l'espérance mathématique, de la somme espérée et de la probabilité de l'obtenir; mais elle n'est pas toujours proportionnelle au produit de ces deux quantités; elle se règle sur mille circonstances variables, qu'il est presque toujours impossible de définir, et encore plus d'assujettir à l'Analyse; ces circonstances, il est vrai, ne servent qu'à augmenter ou à diminuer l'avantage que procure la somme espérée, et alors on peut regarder l'espérance morale elle-même comme le produit de cet avantage par la probabilité de l'obtenir; mais on doit distinguer, dans le bien espéré, sa valeur relative de sa valeur absolue; celle-ci est absolument indépendante du besoin et des autres gisons qui le font désirer, au lieu que la première croît avec ces différents motifs.

On ne peut donner aucune règle déterminée pour apprécier cette valeur relative; en voici cependant une fort ingénieuse que M. Daniel BernouUi propose dans le Volume de Pétersbourg pour l'année 1730. La valeur relative d'une très petite somme est, suivant cet illustre géomètre, proportionnelle à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée.

Cette règle n'est cependant pas générale, mais elle peut servir dans un fort grand nombre de circonstances, et c'est tout ce que l'on peut désirer dans cette matière.

La plupart de ceux qui ont écrit sur les hasards ont paru confondre l'espérance et la probabilité morale avec l'espérance et la probabilité

mathématique, ou régler au moins Tune sur l'autre; ils ont voulu ainsi cjonner à leurs théories une étendue dont elles ne sont pas suscept;ibles, ce qui les a rendues obscures et peu propres a satisfaire les esprits accoutumés à la clarté rigoureuse de la Géométrie. M. d*Aleml)ert a proposé contre elles des objections très fines, qui ont réveillé l'attention des géomètres; il a fait sentir Tabsurdité qu'il y aurait à se conduire» dans un grand nombre de circonstances, d'après les résultats du Calcul des Probabilités, et, par conséquent, la nécessité d'établir dans ces matières une distinction entre le mathématique et le moral ; cette partie des sciences lui devra donc l'avantage d'être appuyée dorénsrvant sur des principes clairs et d'être resserrée dans ses véritables bornes.

Qu'on me permette ici la digression suivante sur les difficultés dont l'Analyse des hasards a paru susceptible : la probabilité des choses incertaines et l'espérance qui se trouve liée à leur existence sont, comme je Tai dit, les deux objets de cette Analyse; la distinction établie précédemment entre l'espérance morale et l'espérance mathématique répond, ce me semble, à toutes les objections que l'on pourrait faire contre le second de ces deux objets; examinons par conséquent celles qui ont rapport au premier.

Dans la recherche de la probabilité des événements, on part de ce principe» savoir que la probabilité est le nombre des cas favorables divisé par celui de tous les cas possibles, ce qui est évident; il ne peut donc y avoir de difficulté qu'autant que l'on supposerait une égale possibilité à deux cas inégalement possibles; or on ne peut s'empéchcr de convenir que les applications que l'on a faites jusqu'ici du Calcul des Probabilités aux objets de la vie civile sont sujettes à cette difficulté, le suppose» par exemple, qu'au jeu de croix et de pile la pièce que Ton jette en l'air ait plus de pente à retomber d'un côté que de l'autre, mais que les deux joueurs ignorent de quel côté est la plus grande pente; il est visible qu'il y a autant à parier pour croix comme pour pSe; on peut donc supposer au premier coup, comme on le fait ordinairement» que croix et pile sont également probables ; mais cette sup-

position n'est plus permise si, par exemple, l'un des joueurs parie que sur deux coups il amènera croix; car alors on doit faire entrer en considération l'inégale possibilité de croix et de pile, puisque, bien que l'on ignore de quel côté se trouve la plus grande, cependant cette inégalité favorise toujours celui qui parie que croix n'arrivera pas en deux coups, en sorte que sa probabilité est plus grande que si croix et pile éi^ïeni également possibles; la cause de l'erreur dans laquelle on tombe vient de ce qu'on suppose également possibles ces quatre cas : i** croix au premier coup, croix au second, ce que je désigne de cette manière {croix, croix); 2® {croix, pile); 3° {pUe, croix); 4** {fH^, pile)^ ce qui n'est pas; car ces deux-ci {croix, croix)^ {pile, pile)^ sont plus

probables que les deux autres; en effet, je suppose que - — - repré-

sente la probabilité du côté qui a la plus grande pente, et "~ celle de l'autr* côté; cela posé, la probabilité de {croix, croix) serait

I -h 2 CJ H- CJ' • • '* -A 1 I U Ul * ' — 215J-+-OJ* ,'1 0. .. I

SI croix était le plus probable, et 7 s il était le

moins probable; mais, comme il n'y a pas plus de raison pour le supposer l'un plutôt que l'autre, il faut ajouter ensemble ces deux probabilités et en prendre la moitié, ce qui donne — j — pour la probabilité de {croix f croix), et partant aussi pour celle de {pile, pile); on trouvera pareillement la probabilité de {croix, pile), ou de {pile, croix),

égale à -^ — ; on voit donc que ces quatre cas ne sont pas également

possibles, et que l'inégalité des probabilités de croix et de pile, pourvu que l'on ignore de quel côté est la plus grande, favorise le joueur qui parie que sur deux coups croix n'arrivera pas.

Ce que je viens de dire du jeu de croix et depile peut s'appliquer au jeu des dés, et généralement à tous l^s jeux dans lesquels les différents événements sont susceptibles d'une inégalité physique; mais, ayant développé ailleurs cette remarque avec assez d'étendue {voir dans le Tome VI des Suçants étrangers un Mémoire Sur la probabilité des causes par les événements), j'observerai seulement que, bien que l'on ignore quels sont les plus probables de ces événements, cependant il arrive

ceci de remarquable, savoir, que Ton peut, dans presque tous les cas, déterminer auxquels des joueurs cette inégalité est avantageuse.

La Théorie des hasards suppose encore que si croix et pile sont également possibles, il en sera de même de toutes les combinaisons {croiœ, croixj croix, etc.), {pile, croix, pile, etc.), etc. Plusieurs philosophes ont pensé que cette supposition est inexacte, et que les combinaisons dans lesquelles un événement arrive plusieurs fois de suite sont moins possibles que les autres; mais il faudrait supposer pour cela que les événements passés ont quelque influence sur ceux qui doivent arriver, ce qui n'est point admissible. A la vérité, la marche ordinaire de la nature est d'entremêler les événemenls, mais cela vient, ce me semble, de ce que les combinaisons où ils sont mêlés sont beaucoup plus nombreuses. Voici, cependant, une difficulté spécieuse, à laquelle il est bon de répondre. Si croix arrivait, par exemple, vingt fois de suite, on serait fort tenté de croire que cela n'est pas l'efTet du hasard, tandis que si croix et pile étaient entremêlés d'une manière quelconque, on n'en chercherait point la cause. Or, pourquoi cette différence entre ces deux cas, si ce n'est parce que l'un est physiquement moins possible que l'autre? A cela, je réponds généralement que, là où nous apercevons de la symétrie, nous croyons toujours y reconnaître l'effet d'une cause agissante avec ordre, et nous raisonnons en cela conformément aux probabilités, parce que, un effet symétrique devant être nécessairement l'effet du hasard ou celui d'une cause régulière, la seconde de

ces suppositions est plus probable que la première. Soient — la proba-

bilité de son existence dans le cas où il serait dû au hasard, et - cette

probabilité s'il partait d'une cause régulière; la probabilité de l'existence de cette cause sera {voir le Tome VI des Savants étrangers)

II n^

d'où l'on voit que plus m sera grand par rapport k /i, plus aussi la pro-

habilité que révénement symétrique est Teffet d'une cause régulière augmentera. Ce n'est donc point parce que l'événement symétrique est moins possible que les autres, mais parce qu'il y a beaucoup plus à parier qu'il est dû à une cause agissante avec ordre qu'au pur hasard, que nous recherchons cette cause. Un exemple fort simple éclaircira cette remarque. Je suppose que l'on trouve sur une table des caractères d'imprimerie arrangés dans cet ordre, INFINITÉSIMAL; la raison qui nous porte à croire que cet arrangement n'est pas l'eflet du hasard ne peut venir de ce que, physiquement parlant, il est moins possible que les autres, parce que, si le mot infinitésimal n'était employé dans aucune langue, cet arrangement ne serait ni plus, ni moins possible, et cependant nous ne lui soupçonnerions alors aucune cause particulière. Mais, comme ce mot est en usage parmi nous, il est incomparablement plus probable qu'une personne aura ainsi disposé les caractères précédents, qu'il ne l'est que cette disposition est due au hasard. Je reviens présentement à mon objet.

L'incertitude des connaissances humaines porte ou sur les événements, ou sur les causes des événements. Si l'on est assuré, par exemple, qu'une urne ne renferme que des billets blancs et noirs dans un rapport donné, et que l'on demande la probabilité qu'en prenant au hasard un de ces billets il sera blanc, l'événemenit est incertain, mais la .cause dont dépend la probabilité de son existence, c'est-à-dire le rapport des billets blancs aux noirs, est connue.

Dans le problème suivant : Une urne étant supposée renfermer un nombre donné de billets blancs et noirs, si l'on en tire un billet blanc, déterminer la probabilité que la proportion des billets blancs aux noirs dans l'urne est celle de p à q; l'événement est connu et la cause inconnue.

On peut ramener à ces deux classes de problèmes tous ceux qui dépendent de la Théorie des hasards. Il en existe, à la vérité, un très grand nombre dans lesquels la cause et l'événement paraissent également inconnus; tel est celui-ci : Une urne étant supposée pouwir également renfermer tous les nombres des billets blancs et noirs depuis 2

jusqu'à n inclusivement ^ déterminer la probabilité qu en tirant au hasard deux de ces billets, ils seront blancs. Le rapport des billets blancs aux noirs, le nombre total des billets et l'événement qui doit en résulter sont inconnus; mais on doit regarder ici comme cause de l'événement l'égale possibilité de tous les nombres depuis 2 jusqu'à n, et l'indifférence des billets à être blancs ou noirs; ainsi ce problème est du genre de ceux dans lesquels, la cause étant connue, l'événement est inconnu.

Mon dessein n'étant point ici de donner un traité complet sur la Théorie des hasards, je me contenterai d'appliquer les recherches précédentes à la solution de plusieurs problèmes relatifs à cette Théorie; je me bornerai même ici à ceux dans lesquels, la cause étant connue, il s'agit de déterminer les événements, ayant considéré dans un autre Mémoire les cas où l'on se propose de remonter des événements aux causes (voir le Tome VI des Sachants étrangers).

Problême X. — Si dans un tas de x pièces on en prend un nombre au hasard j il faut déterminer la probabilité que ce nombre soit pair ou impair.

Je suppose que l'on puisse prendre indifféremment, ou une seule, ou plusieurs, ou toutes ces pièces à la fois.

Cela posé, soient y^: la somme des cas dans lesquels le nombre peut être pair, et *yaf celle des cas dans lesquels il peut être impair; il est visible que, si l'on augmente le nombre x de pièces d'une unité, la somme des cas pairs, représentée alors par j^^,.^,, sera égale : 1^ au nombre précédent des cas pairs; 2^ au nombre précédent des cas impairs, puisque chacun de ces cas, combiné avec la nouvelle pièce, donne un cas pair. On aura donc

ensuite le nombre des cas impairs, représenté par ^y^^^i, sera égal :

OEuvres de L. — VIII. ao

ISi RECHERCHES SUR L'INTÉGRATION

1^ au nombre précédent y^ des cas impairs; 2*^ au nombre précédent des cas pairs; 3^ à Tunité, puisque la nouvelle pièce peut être prise seule. On aura conséquemment

Pour intégrer ces deux équations, j'observe que l'équation (i)

donne

^yx = %» parlant, A« j^, = A . %.

Or l'équation (2) donne

^•yx=7x-H», donc A^/or^J^x-Hi; d'où il est facile de conclure

En intégrant cette équation par le Problème I, on aura

A étant une constante arbitraire; pour la déterminer, j'observe que, X étant I, on a

yx^=Oj donc A=:{, parlanl j-p=2*-* — i.

Maintenant, puisque Ton a yx= A v^» on aura */«= 2*-\ La somme de tous les cas possibles est visiblement

Si donc on nomme z^ la probabilité que le nombre de pièces est pair, et ,2^ celle qu'il est impair, on aura

Zy.Z=l et f5* =

d'où il résulte qu'il y a toujours plus d'avantage à parier pour les nombres impairs que pour les pairs.

Je suppose que l'on soit assuré que le nombre œ ne peut excéder le nombre n, mais, que ce nombre et tous les inférieurs sont également

possibles, on aura la somme de tous les cas impairs ^s'^+C. Or, oc étant I , on doit avoir a* -+- C = i ; donc C = — i . On trouvera pareillement la somme de tous les cas pairs = 2* — a? 4- C; or, a? étant i, on a 2*— a: -f- C = G. Donc C = — i; partant, la somme des cas impairs est 2" — I , et la somme des cas pairs est 2" — /i — i ; ainsi, la probabilité pour les impairs est

et la probabilité pour les pairs

XXVH.

Problème XL — Soit a une somme que Paul constitue en rente, de manière que l'intérêt soit — de ce qui lui est dû : je suppose que, pour des

raisons quelconques, on retienne chaque année lafrojction — de cet intérêt, en sorte que Paul, à la fin de la première année, par exemple, ne dqive percevoir que la quantité > cela posé, si on lui paye tous les ans la

somme —9 et, par conséquent, plus qu'il ne lui est dû, et que le surplus

soit employé à amortir le capital, on demande ce que deviendra ce capital à la af^"- année.

Soit j'^ ce capital à la a^^"^^ année; il est visible que, à la fin de

l'année oc, il ne sera dû a Paul que ja?(-- —)• Donc, puisqu'on lui

paye la somme — t le capital sera diminué de la quantité yx——'}

partant, on aura

yx+i — yx "zr ^~ y* „„

et, en intégrant comme dans le Problème I,

na . / n — 1\*-*

= hAlu ) ;

n — I \ mn ) '

or, posant â7 = i, Vjj= a; donc,

partant,

Si Ton demande Tannée x à laquelle ce capital sera zéro, on aura

\ mn J

donc