IH

\ mn J

Je suppose que Tintérêt soit de 5 pour loo, et que l'on retienne ji\ sur cet intérêt, on aura

m = 20 et n = io;

partant,

On peut résoudre de la même manière le problème suivant :

Une personne doit la somme a, et veut s'acquitter au bout de h années.

en sorte quelle ne doive rien à Vannée A -h i , l'intérêt étant toujours —

de la quantité due ; il s'agit de trouver ce qu'elle doit donner pour cela, chaque année.

Soient/? cette quantité, et y^. ce qu'elle doit à la rc"*™* année, on aura, par la méthode précédente,

d'où je conclus en intégrant 7^= mp -i- Afi -i- —j • Or, posant a? == I, j^= a; donc

a = mp -H A ;

partant,

y^= mp-^{a — mp) (^-^J^J l

mais, en faisant a? = A + 1 , on a

par la supposition ; donc

Problême XII. — J'imagine un solide composé d'un nombre n de faces pcrfailement égales y et que je désigne par les nombres i , 2, 3, . . . , n\ je ^yeux avoir la probabilité que, en un nombre x de coups, j'amènerai ces n faces de suite dans l'ordre i , 2, 3, /| , . . . , w.

Je nomme y^f cette probabilité, et Uj. le nombre des cas favorables; le nombre de tous les cas possibles est n^; car, si l'on nomme /^ ce nombre au coup rr, il sera /^« au coup x — i. Or, le nombre des cas au coup X — 1 doit se combiner avec toutes les faces du solide, pour former tous les cas possibles au coup or; on a donc

tx'=^ /l/jj l,

ce qui donne

Or, posant a? = i , /^ == n ; donc

A = i et /-=n-^.

On aura donc

Ux __

Or Ug est évidemment égal au nombre des cas favorables au coup x — 1 Qiultiplié par le nombre des faces du solide, plus au nombre des cas 4ans lesquels la combinaison i, 2, 3, ..., /i peut arriver précisément ^u coup or; de plus, tous les cas dans lesquels cette combinaison n'est point arrivée au coup x — n donnent chacun un cas dans lequel elle sirrivera précisément au coup x. Le nombre de ces cas est /i*""" — Wj..„ ;

on aura donc

«x= /i«ar-i -H /i'-" — Ux-n l partant, 7^=^,., — ^^ -^ ^,

équation que Ton intégrera facilement par les méthodes précédentes. Soit /i = 2 : on aura

d'oii je conclus, en intégrant.

Jx=I-+-

or, posant x = i,y^=o, et posant a? = 2, /^ = j ; donc, A = — ^, et B = — ^ ; partant, j^^. = i — ^ "•" *

Problème XIII. — Je suppose un nombre n de joueurs (i), (2), (3), . . . , (n) jouant de cette manière : (i) j'oue avec (2), et s'il gagne il gagne la partie; s' Une perd ni gagne, il continue déjouer avec (2), jusqu'à ce que l'un des deux gagne. Que si(ï) perd, (2) joue avec (3) ; s'il le gagne, il gagne la partie; s* il ne perd ni gagne, il continue déjouer avec (3); mais s'il perd, (3) joue avec (4), et ainsi de suite jusqu'à ce que Vun des joueurs ait vaincu celui qui le suit; c'est-à-dire que (i) soit t^ainqueur de (2), ou (2) de (3), ou (3)ûfe(4)> ..., om (/i — i) de(n)^ ou (n) de (i). De plus, la probabilité d'un quelconque des joueurs pour gagner l'autre égale {, et celle de ne gagner ni perdre égale j. Cela posé, il faut déterminer la probabilité que l'un de ces joueurs gagnera la partie au coup X.

fi Soit Uj. la probabilité qu'au coup x, (n) sera vainqueur de (/i — i) :

on aura

Wx=i w^-i-HÎ«x-i-

Soit maintenant :^;r la probabilité que (/i), au coup x^ gagnera la

partie ; z^ la probabilité que ce sera (n — i), et ainsi de suite : on aura

5jp= j«j;<. Partant,

On aura de même

^ i jr X, r

-*x"'~ 8 '*'x—l — ï -«x— If

en sorte que ces équations sont rentrantes. Gela posé, en suivant la méthode exposée précédemment pour ce genre d'équations, on aura

^x — f ^x-t ->- ôî ^«-« — 1 v^x-i — s *x-iy = p *x-i ;

partant,

-^x — t ^x-i ^" ôï ^x—i — ôj -^x-» — Ôj V^x-1 s ^x-tJ — âî ''«-3 5

d'où, en continuant d'opérer ainsi, on aura

-x- j^x-i4-— j-^— 3-,^x-i ;-75^;3 3-,-x-3 + gTi^*-/.;

on aura pareillement

«x~3^^iH ^^^^ 3-,«x-î j-j^ jï^x-i-t- ji -*-/!.

et ainsi de suite pour les autres variables s^, z^.,

Pour intégrer ces différentes équations, il faut résoudre celle-ci

(/— jy= 3^; ou, en faisant/— ^ = y, y"— ^ = o, ce qu'il est aisé

de faire, par le beau théorème de Cote. Il ne reste plus ainsi de difficulté que dans la détermination des constantes arbitraires qui viennent par l'intégration. Pour cela, il est nécessaire d'avoir la probabilité de gagner de chaque joueur pour un nombre n de coups. Or, pour ce qui

regarde le joueur (i), sa probabilité de gagner au premier coup est ^;

au second coup elle est^; au troisième coup elle est ^9 •••> en sorte que Ton a

en mettant sous chaque coup la probabilité de gagner du joueur (i) à ce coup; on formera de même pour le joueur (2) la suite

2, 3, 4> 5, ..., /l-hl,

y 77X> 7779 TTif

et pour le joueur (3) celle-ci :

3i»-hj

et ainsi de suite pour les autres joueurs.

Problème XIV. — Deux joueurs A et B, dont les adresses respectives sont en raison dep àq^ jouent ensemble de manière que, sur un nombre ce de coups, il en manque n au joueur A, et conséquemment x — /i ai/ joueur B, pour gagner; il s'agit de déterminer la probabilité respective de ces deux joueurs.

Soit nyx I^ probabilité de B pour gagner; il est clair qu'au coup suivant elle sera, ou n-<7a:-o si B perd, ou nyx-\^ s'il gagne. Or, la probabilité qu'il gagnera est — ^> et celle qu'il perdra, ^ - On a donc

Cette équation est aux différences partielles. Pour l'intégrer j'observe que, lorsque n = i, on a ,7^.= ^ ^x^-h » puisque dans ce cas

« j'x =: o; on aura donc par Je Problème VI, article XX,

et l'on trouvera que l'équation

est la même que celle-ci :

On aura d'ailleurs 1/,»= — ^7— "«-m donc M„=Hf — ^ — j • Or, posant

/i = I, M„ = o; donc H = o, et m« = o. L'expression de ^yx sera donc

(art. IX)

•^'=(7i7p:rî[C„+D,(^-.)+E/ — ^+...

-h L„ ^ -^ rt — ^ i •

Pour déterminer les constantes arbitraires C;,, D^, Ë„, . . . , lesquelles peuvent être des fonctions de n, j'observe que, si l'on fait a? = /i, on aura «yn= i; car il est visible que A perd nécessairement, lorsque sur n coups il lui en manque n\ si l'on fait a? = /i — 1, on aura pareillement n7„-, = 1; car l'équation (^g) donne

partant „^^., = 1; pareillement, si l'on fait x = n — 2, on aura ^^j,= 1, et ainsi de suite. Si donc on fait dans l'expression de nyx'^ 0? = I , on aura „y, = i ; partant, C„ = i . Si l'on fait a? = 2, on aura

OEuvret de h. — VIII, 2 I

partant, D„ = ^- Si l'on fait a; = 3, on aura

.= (C„+.D„4-E,)-iL = (.-^.J-HE,)^^., donc E„ = ^> et ainsi de suite; d'où il est facile de conclure

7 ; ri H- — (^ — l) +^

ifl-l /r —

qn-i

i)\x — a). . .(x — 71 -t-QI 1.2.3. . .(/i — I) J

Problème XV. — Trois joueurs A, B, C, dont les adresses réactives sont représentées par les lettres p^ q^ r, jouent ensemble de manière que, sur un nombre X de coups, il en manquemà A^nàB et x — m — n à C; on propose de déterminer la probabilité respective de ces trois joueurs pour

gagner.

Soit TO,rtJjr la probabilité de C pour gagner; il est clair qu'après un nouveau coup elle sera, ou ;„,,„7^J,, ou ;„,,, j,.j, ou «.«r^-i ; or la

probabilité qu'elle sera m-i^nYx-i est -, la probabilité qu'elle

sera m^n-^yx-, est^^^^^> et la probabilité qu'elle sera^n^y^-i est

' On aura donc

Cette équation est aux différences partielles à quatre variables, et s'intègre par le Problème IX; mais, pour cela, il faut que l'on ait deux équations particulières pour les cas de /w = i et de /i = i; pour les trouver, j'observe que, si l'on fait m = i, on aura

KP) \,nyx- —^-^T^x.nyx-i-^ ^^^^^t.^-i^'-i»

parce que, lorsque /w = i , on a m-i,fijir-i = o.

L'équation {p) est aux différences partielles à deux variables; pour l'intégrer, j'observe que, si l'on y suppose n = i, on a

de cette équation et de l'équation (/>), on conclura facilement, par le Problème VI,

On aura semblablement

Au moyen de ces équations et de l'équation (o), on déterminera, par le Problème IX, l'expression générale de m^nyxl ainsi le Problème proposé n'a d'autre difficulté que la longueur du calcul.

La méthode générale du Problème IX conduit à une équation finale très élevée; mais, au moyen de considérations particulières, je suis arrivé à la solution du Problème précédent d'une manière beaucoup plus simple, que je vais développer. Je fais pour abréger p-hq -:- r = i , et l'équation (o) donne

et si l'on fait m = i^ l'équation {q) donne

Soit

Substituant dans cette équation, au lieu de a,«-.i jay-j, 2,ii-<y:p-3' •••• leurs valeurs tirées de l'équation (o'), on aura

d'où, en comparant avec l'équation (s), on aura :

i^ ûj^^ ~ a„«, -f. r, partant, a;,= (/^ -+- i)r-h G; or, posant /i = r, a„ = 2r; donc, G = o.

2" *a„= *a,,| — a„-i^> partant, *a,^= — ^-^^ — -^r^ -h G; or, posant n = ij *an= — r^; donc, G = o.

3"* -an = -a„-i'^ ^ -r^; donc, ^0;^= ^-A^ -'r^-f- G; or,

posant n = I, ^a„ = o; donc, G = o, et ainsi du reste. Partant,

piitftyx-i — ^n-fi^nyx-t — • • •)

en vertu de l'équation (q).

4"* n^x-~9'n^i^x-i' Oï*» on a ,X;r = o; donc, 2Xjp = o, et généralement „X^=: o. On a donc

__ /t(/t-M) j ^ (/i~i)n(nH-i)

On aura, par un procédé entièrement semblable,

et généralement

équation dont l'intégrale est

,nj'x - /^ ^m^n i . a .3 . . ."(m -h « - 2 ) "^ '"^'' I . 2 . 3 . . . (m -h A - 3)

- (.r — 2) . . . (J7 — 771 — /l -h 5 ) pi